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2019-2020年高考数学一轮复习第七章立体几何
7.2空间几何体的表面积与体积课时提升作业理
一、选择题每小题5分共35分
1.xx·福建高考某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积等于 A.8+2B.11+2C.14+2D.15【解析】选B.由三视图可知该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱所以S=2×1+2×1×+2×2+1×2+1×2+×2=11+
2.
2.xx·重庆高考某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为 A.+πB.+πC.+2πD.+2π【解析】选A.由三视图可知该几何体为三棱锥和半个圆柱构成的组合体.由图中数据可知三棱锥的体积为V1=××1×2×1=半个圆柱的体积为V2=×π×12×2=π所以几何体的体积为+π.
3.xx·郑州模拟已知体积为的正三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三视图如图所示则此三棱柱的高为 A.B.C.1D.【解析】选C.由三视图可知正三棱柱的底面边长为2设正三棱柱的高为h正三棱柱的体积为×2×·h=解得h=
1.
4.xx·邯郸模拟某几何体的三视图如图所示若其正视图为等腰梯形侧视图为正三角形则该几何体的表面积为 A.2+2B.6C.4+2D.8【解析】选B.根据几何体的三视图知该几何体是一个三棱柱在两端各去掉一个全等的三棱锥如图所示:底面ABCD是矩形AB=2AD=1EF平行底面且EF=
1.过点E作EM⊥AB垂足为M则AM=所以EM=1DE=AE==.所以S梯形ABFE=×1+2×1==S梯形CDEFS△ADE=S△BCF=×1×=×1×1=S矩形ABCD=2×1=2;所以该几何体表面积S表面积=2+2×+2×=
6.【加固训练】已知一个空间几何体的三视图如图所示其中俯视图是边长为6的正三角形若这个空间几何体存在唯一的一个内切球与该几何体各个面都相切则这个几何体的表面积是 A.18 B.36 C.45 D.54【解析】选D.由三视图知几何体为正三棱柱.因为俯视图是边长为6的正三角形所以几何体的内切球的半径R=6××=所以三棱柱的侧棱长为
2.所以几何体的表面积S=2××6×6×+3×6×2=
54.
5.xx·浏阳模拟一几何体的三视图如图所示若正视图和侧视图都是等腰直角三角形直角边长为1则该几何体外接球的表面积为 A.4πB.3πC.2πD.π【解析】选B.由三视图知几何体是四棱锥且四棱锥的一条侧棱垂直于底面高等于1其底面是边长为1的正方形所以四棱锥的外接球即是边长为1的正方体的外接球所以外接球的直径为所以外接球的表面积为S=4π=3π.【加固训练】三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上SA⊥平面ABCAB⊥BC又SA=AB=BC=1则球O的表面积为 A.π B.π C.3π D.12π【解析】选C.依题意球O的直径为SC且SC=又AB⊥BC所以AC2=AB2+BC2故SC==即球O的半径为所以球O的表面积为S=4π×=3π.
6.xx·泉州模拟一个四棱锥的底面为正方形其三视图如图所示则这个四棱锥的体积是 A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由题干图知此几何体为一个四棱锥其底面为一个对角线长为2的正方形故其底面积为4××1×1=2由三视图知其中一条侧棱为棱锥的高其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形.由于此侧棱长为对角线长为2故棱锥的高为=3所以此棱锥的体积为×2×3=
2.【加固训练】xx·开封模拟已知某几何体的三视图单位:cm如图所示则该几何体的体积是 A.108cm3 B.100cm3C.92cm3D.84cm3【解析】选B.由三视图可知该几何体是由一个长、宽、高分别为636的长方体在一顶角上去掉一个侧棱长分别为434的三棱锥的多面体所以其体积为V=6×3×6-××4×3×4=100cm
3.
7.xx·成都模拟某几何体正视图与侧视图相同其正视图与俯视图如图所示且图中的四边形都是边长为2的正方形正视图中两条虚线互相垂直则该几何体的体积是 A.B.6C.4D.【解析】选A.由三视图知该几何体是一个棱长为2的正方体挖去一个以该正方体的中心为顶点以该正方体的上底面为底面的四棱锥后得到的几何体所以该几何体的体积V=23-×22×1=.
二、填空题每小题5分共15分
8.xx·石家庄模拟一个几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为 .【解析】由三视图可知该几何体是一个长方体内挖去一个圆柱体如图所示.长方体的长、宽、高分别为431表面积为4×3×2+3×1×2+4×1×2=38圆柱的底面圆直径为2母线长为1侧面积为2π×1×1=2π圆柱的两个底面面积和为2×π×12=2π.故该几何体的表面积为38+2π-2π=
38.答案:
389.xx·四川高考在三棱柱ABC-A1B1C1中∠BAC=90°其正视图和侧视图都是边长为1的正方形俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形设点MNP分别是ABBCB1C1的中点则三棱锥P-A1MN的体积是 .【解析】由三视图易知几何体ABC-A1B1C1是上、下底面为等腰直角三角形的直三棱柱则又S△PMN=MN·NP=××1=点A到平面PMN的距离h=所以=VA-PMN=S△PMN·h=××=.答案:
10.xx·浏阳模拟若如图为某直三棱柱侧棱与底面垂直被削去一部分后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图则其正视图的面积为 三棱锥D-BCE的体积为 .【解析】由题意可知正视图为直角三角形直角边长为24故正视图的面积为×2×4=4;四棱锥B-ACDE中AE⊥平面ABC所以AE⊥AB又AB⊥AC且AE和AC相交所以AB⊥平面ACDE又AC=AB=AE=2CD=4由四棱锥B-ACDE的体积V=××2=4又三棱锥E-ACB的体积为××2×2×2=所以三棱锥D-BCE的体积为4-=.答案:4 20分钟 40分
1.5分xx·武汉模拟已知某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为 A.B.3πC.D.6π【解析】选B.由三视图可知此几何体如图所示是底面半径为1高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的所以V=×π×12×4=3π.【一题多解】解答本题还有以下解法:选B.由三视图可知此几何体是底面半径为1高为4的圆柱从母线的中点处截去了圆柱的直观图如图1所示我们可用大小与形状完全相同的几何体补成一个半径为1高为6的圆柱如图2所示则所求几何体的体积为V=×π×12×6=3π.
2.5分xx·安徽高考一个多面体的三视图如图所示则该多面体的表面积为 A.21+B.18+C.21D.18【解析】选A.由三视图可知原几何体是一个正方体截去两个全等的小正三棱锥.正方体的表面积为S=24两个全等的三棱锥是以正方体的相对顶点为顶点侧面是三个全等的直角边长为1的等腰直角三角形其侧面面积的和为3三棱锥的底面是边长为的正三角形其表面积的和为故所求几何体的表面积为24-3+=21+.
3.5分xx·肇庆模拟有一球内接圆锥底面圆周和顶点均在球面上其底面积为3π已知球的半径R=2则此圆锥的体积为 .【解析】由πr2=3π得圆锥的底面半径为r=如图设OO1=x则x===1圆锥的高h=R+x=3或h=R-x=
1.所以圆锥的体积为V=Sh=×3π×3=3π或V=Sh=×3π×1=π.答案:3π或π【加固训练】xx·佛山模拟点ABCD在同一个球的球面上AB=BC=AC=若四面体ABCD体积的最大值为则这个球的表面积为 A.π B.8πC.D.【解题提示】根据几何体的特征判定外接球的球心求出球的半径即可求出球的表面积.【解析】选C.根据题意知△ABC是一个等边三角形其面积为外接圆的半径为
1.小圆的圆心为Q若四面体ABCD的体积取最大值由于底面积S△ABC不变高最大时体积最大所以DQ与平面ABC垂直时体积最大最大值为S△ABC×DQ=所以DQ=4设球心为O半径为R则在Rt△AQO中OA2=AQ2+OQ2即R2=12+4-R2所以R=则这个球的表面积为S=4π=.
4.12分已知一个几何体的三视图如图所示.1求此几何体的表面积.2如果点PQ在正视图中所示位置:P为所在线段中点Q为顶点求在几何体表面上从P点到Q点的最短路径的长.【解析】1由三视图知:此几何体是一个圆锥加一个圆柱其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.S圆锥侧=2πa·a=πa2S圆柱侧=2πa·2a=4πa2S圆柱底=πa2所以S表面=πa2+4πa2+πa2=+5πa
2.2沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面如图.则PQ===a所以从P点到Q点在侧面上的最短路径的长为a.
5.13分已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形侧面是全等的等腰梯形且侧面面积等于两底面面积之和求棱台的体积.【解析】如图所示在三棱台ABC-A′B′C′中O′O分别为上、下底面的中心DD′分别是BCB′C′的中点且DD′是等腰梯形BCC′B′的高又因为B′C′=20cmBC=30cm所以S侧=3××20+30×DD′=75DD′.S上+S下=×202+302=325cm
2.由S侧=S上+S下得75DD′=325所以DD′=cm又因为O′D′=×20=cmOD=×30=5cm所以棱台的高h=O′O===4cm由棱台的体积公式可得棱台的体积为V=S上+S下+=×=1900cm
3.即棱台的体积为1900cm
3.。