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2019-2020年高考数学一轮复习第九章解析几何第3讲直线与圆圆与圆的位置关系理
一、选择题1.已知集合A={x,y|x,y为实数,且x2+y2=1},B={x,y|x,y为实数,且x+y=1},则A∩B的元素个数为 .A.4B.3C.2D.1解析 法一 直接法集合A表示圆,集合B表示一条直线,又圆心00到直线x+y=1的距离d==<1=r,所以直线与圆相交,故选C.法二 数形结合法画图可得,故选C.答案 C2.若直线x-y+1=0与圆x-a2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是 .A.[-3,-1]B.[-13]C.[-31]D.-∞,-3]∪[1,+∞解析 由题意可得,圆的圆心为a0,半径为,∴≤,即|a+1|≤2,解得-3≤a≤
1.答案 C3.若圆x-a2+y-b2=b2+1始终平分圆x+12+y+12=4的周长,则a,b满足的关系是 A.a2+2a+2b-3=0B.a2+b2+2a+2b+5=0C.a2+2a+2b+5=0D.a2-2a-2b+5=0解析即两圆的公共弦必过x+12+y+12=4的圆心,两圆相减得相交弦的方程为-2a+1x-2b+1y+a2+1=0,将圆心坐标-1,-1代入可得a2+2a+2b+5=
0.答案 C4.若圆C1x2+y2+2ax+a2-4=0a∈R与圆C2x2+y2-2by-1+b2=0b∈R恰有三条切线,则a+b的最大值为 .A.-3B.-3C.3D.3解析 易知圆C1的圆心为C1-a0,半径为r1=2;圆C2的圆心为C20,b,半径为r2=
1.∵两圆恰有三条切线,∴两圆外切,∴|C1C2|=r1+r2,即a2+b2=
9.∵2≤,∴a+b≤3当且仅当a=b=时取“=”,∴a+b的最大值为
3.答案 D5.若曲线C1x2+y2-2x=0与曲线C2yy-mx-m=0有四个不同的交点,则实数m的取值范围是 .A.B.∪C.D.∪解析 C1x-12+y2=1,C2y=0或y=mx+m=mx+1.当m=0时,C2y=0,此时C1与C2显然只有两个交点;当m≠0时,要满足题意,需圆x-12+y2=1与直线y=mx+1有两交点,当圆与直线相切时,m=±,即直线处于两切线之间时满足题意,则-m0或0m.综上知-m0或0m.答案 B6.如右图,一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动,M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么,当小圆这样滚过大圆内壁的一周,点M,N在大圆内所绘出的图形大致是 .解析 如图,建立直角坐标系,由题意可知,小圆O1总与大圆O相内切,且小圆O1总经过大圆的圆心O.设某时刻两圆相切于点A,此时动点M所处位置为点M′,则大圆圆弧的长与小圆圆弧的长之差为0或2π.切点A在
三、四象限的差为0,在
一、二象限的差为2π.以切点A在第三象限为例,记直线OM与此时小圆O1的交点为M1,记∠AOM=θ,则∠OM1O1=∠M1OO1=θ,故∠M1O1A=∠M1OO1+∠OM1O1=2θ.大圆圆弧的长为l1=θ×2=2θ,小圆圆弧的长为l2=2θ×1=2θ,则l1=l2,即小圆的两段圆弧与的长相等,故点M1与点M′重合.即动点M在线段MO上运动,同理可知,此时点N在线段OB上运动.点A在其他象限类似可得,故M,N的轨迹为相互垂直的线段.观察各选项知,只有选项A符合.故选A.答案 A
二、填空题7.直线y=x被圆x2+y-22=4截得的弦长为________.解析 由题意得,圆x2+y-22=4的圆心为02,半径为2,圆心到直线x-y=0的距离d==.设截得的弦长为l,则由2+2=22,得l=
2.答案 28.设集合A=x,yx-22+y2≤m2,x,y∈R,B={x,y|2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R},若A∩B=∅,则实数m的取值范围是________.解析 ∵A∩B≠∅,∴A≠∅,∴m2≥.∴m≥或m≤
0.显然B≠∅.要使A∩B≠∅,只需圆x-22+y2=m2m≠0与x+y=2m或x+y=2m+1有交点,即≤|m|或≤|m|,∴≤m≤2+.又∵m≥或m≤0,∴≤m≤2+.当m=0时,20不在0≤x+y≤1内.综上所述,满足条件的m的取值范围为.答案 9.从原点向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为________.解析 数形结合法如图,圆x2+y2-12y+27=0可化为x2+y-62=9,圆心坐标为06,半径为
3.在Rt△OBC中可得∠OCB=,∴∠ACB=,∴所求劣弧长为2π.答案 2π10.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是________.解析 画图可知,圆上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,该圆半径为2即圆心O00到直线12x-5y+c=0的距离d<1,即0<<1,∴-13<c<
13.答案 -1313
三、解答题11.已知圆C x2+y2-8y+12=0,直线l ax+y+2a=
0.1当a为何值时,直线l与圆C相切;2当直线l与圆C相交于A,B两点,且|AB|=2时,求直线l的方程.解 将圆C的方程x2+y2-8y+12=0化成标准方程为x2+y-42=4,则此圆的圆心为04,半径为
2.1若直线l与圆C相切,则有=2,解得a=-.2过圆心C作CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,得解得a=-7或a=-
1.故所求直线方程为7x-y+14=0或x-y+2=
0.12.已知与圆C x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l交x轴,y轴于A,B两点,|OA|=a,|OB|=ba2,b2.1求证a-2b-2=2;2求线段AB中点的轨迹方程;3求△AOB面积的最小值.解1证明圆的标准方程是x-12+y-12=1,设直线方程为+=1,即bx+ay-ab=0,圆心到该直线的距离d==1,即a2+b2+a2b2+2ab-2a2b-2ab2=a2+b2,即a2b2+2ab-2a2b-2ab2=0,即ab+2-2a-2b=0,即a-2b-2=
2.2设AB中点Mx,y,则a=2x,b=2y,代入a-2b-2=2,得x-1y-1=x1,y1.3由a-2b-2=2得ab+2=2a+b≥4,解得≥2+舍去≤2-,当且仅当a=b时,ab取最小值6+4,所以△AOB面积的最小值是3+
2.13.设直线l的方程为y=kx+b其中k的值与b无关,圆M的方程为x2+y2-2x-4=
0.1如果不论k取何值,直线l与圆M总有两个不同的交点,求b的取值范围;2b=1时,l与圆交于A,B两点,求|AB|的最大值和最小值.解 圆M的标准方程为x-12+y2=5,∴圆心M的坐标为10,半径为r=.1∵不论k取何值,直线l总过点P0,b,∴欲使l与圆M总有两个不同的交点,必须且只需点P在圆M的内部,即|MP|,即1+b25,∴-2b2,即b的取值范围是-22.2当l过圆心M时,|AB|的值最大,最大值为圆的直径长
2.当l⊥MP时,此时|MP|最大,|AB|的值最小,|MP|2=2==1+≤1+=2,当且仅当k=1时取等号.最小值为2=2=
2.14.已知圆M x2+y-22=1,Q是x轴上的动点,QA,QB分别切圆M于A,B两点.1若Q10,求切线QA,QB的方程;2求四边形QAMB面积的最小值;3若|AB|=,求直线MQ的方程.解 1设过点Q的圆M的切线方程为x=my+1,则圆心M到切线的距离为1,∴=1,∴m=-或0,∴QA,QB的方程分别为3x+4y-3=0和x=
1.2∵MA⊥AQ,∴S四边形MAQB=|MA|·|QA|=|QA|==≥=.∴四边形QAMB面积的最小值为.3设AB与MQ交于P,则MP⊥AB,MB⊥BQ,∴|MP|==.在Rt△MBQ中,|MB|2=|MP||MQ|,即1=|MQ|,∴|MQ|=3,∴x2+y-22=
9.设Qx0,则x2+22=9,∴x=±,∴Q±,0,∴MQ的方程为2x+y-2=0或2x-y+2=
0.。