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2019-2020年高考数学一轮复习第九章解析几何第8讲曲线与方程理
一、选择题1.已知两定点A11,B-1,-1,动点P满足·=,则点P的轨迹是 A.圆B.椭圆C.双曲线D.拋物线解析设点Px,y,则=1-x1-y,=-1-x,-1-y,所以·=1-x-1-x+1-y-1-y=x2+y2-
2.由已知x2+y2-2=,即+=1,所以点P的轨迹为椭圆.答案 B2.已知点F,直线l x=-,点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是 .A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线解析 由已知|MF|=|MB|.由抛物线定义知,点M的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线,故选D.答案 D3.设圆x+12+y2=25的圆心为C,A10是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则M的轨迹方程为 .A.-=1B.+=1C.-=1D.+=1解析 M为AQ垂直平分线上一点,则|AM|=|MQ|,∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,故M的轨迹为椭圆,∴a=,c=1,则b2=a2-c2=,∴椭圆的标准方程为+=
1.答案 D4.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M-12,Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是 .A.2x+y+1=0B.2x-y-5=0C.2x-y-1=0D.2x-y+5=0解析 由题意知,M为PQ中点,设Qx,y,则P为-2-x,4-y,代入2x-y+3=0,得2x-y+5=
0.答案 D5.已知二面角α-l-β的平面角为θ,点P在二面角内,PA⊥α,PB⊥β,A,B为垂足,且PA=4,PB=5,设A,B到棱l的距离分别为x,y,当θ变化时,点x,y的轨迹方程是 A.x2-y2=9x≥0B.x2-y2=9x≥0,y≥0C.y2-x2=9y≥0D.y2-x2=9x≥0,y≥0解析实际上就是求x,y所满足的一个等式,设平面PAB与二面角的棱的交点是C,则AC=x,BC=y,在两个直角三角形Rt△PAC,Rt△PBC中其斜边相等,根据勾股定理即可得到x,y所满足的关系式.如图,x2+42=y2+52,即x2-y2=9x≥0,y≥0.答案 B6.在平行四边形ABCD中,∠BAD=60°,AD=2AB,若P是平面ABCD内一点,且满足x+y+=0x,y∈R.则当点P在以A为圆心,||为半径的圆上时,实数x,y应满足关系式为 .A.4x2+y2+2xy=1B.4x2+y2-2xy=1C.x2+4y2-2xy=1D.x2+4y2+2xy=1解析 如图,以A为原点建立平面直角坐标系,设AD=
2.据题意,得AB=1,∠ABD=90°,BD=.∴B、D的坐标分别为
10、1,,∴=10,=1,.设点P的坐标为m,n,即=m,n,则由x+y+=0,得=x+y,∴据题意,m2+n2=1,∴x2+4y2+2xy=
1.答案 D
二、填空题7.已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A-
10、B10且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是____________.解析设抛物线焦点为F,过A、B、O作准线的垂线AA
1、BB
1、OO1,则|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4,由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,∴|FA|+|FB|=4,故F点的轨迹是以A、B为焦点,长轴长为4的椭圆去掉长轴两端点.答案+=1y≠
08.如图,点Fa0a0,点P在y轴上运动,M在x轴上运动,N为动点,且·=0,+=0,则点N的轨迹方程为________.解析 由题意,知PM⊥PF且P为线段MN的中点,连接FN,延长FP至点Q使P恰为QF之中点;连接QM,QN,则四边形FNQM为菱形,且点Q恒在直线l x=-a上,故点N的轨迹是以点F为焦点,直线l为准线的抛物线,其方程为y2=4ax.答案 y2=4ax9.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M在AB上,且AM=AB,点P在平面ABCD上,且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1,在平面直角坐标系xAy中,动点P的轨迹方程是________.解析 过P作PQ⊥AD于Q,再过Q作QH⊥A1D1于H,连接PH、PM,可证PH⊥A1D1,设Px,y,由|PH|2-|PM|2=1,得x2+1-=1,化简得y2=x-.答案 y2=x-
10.曲线C是平面内与两个定点F1-10和F210的距离的积等于常数a2a1的点的轨迹,给出下列三个结论
①曲线C过坐标原点;
②曲线C关于坐标原点对称;
③若点P在曲线C上,则△F1PF2的面积不大于a
2.其中,所有正确结论的序号是________.解析
①曲线C经过原点,这点不难验证是错误的,如果经过原点,那么a=1,与条件不符;
②曲线C关于原点对称,这点显然正确,如果在某点处|PF1||PF2|=a2,关于原点的对称点处也一定符合|PF1||PF2|=a2;
③三角形的面积S△F1F2P2≤,很显然S△F1F2P=|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤|PF1||PF2|=.所以
②③正确.答案
②③
三、解答题
11.如图,已知F10,直线l x=-1,P为平面上的动点,过点P作l的垂线,垂足为点Q,且·=·.求动点P的轨迹C的方程.解法一设点Px,y,则Q-1,y,由·=·,得x+10·2,-y=x-1,y·-2,y,化简得C y2=4x.法二由·=·,得·+=0,∴-·+=0,∴2-2=
0.∴||=||.∴点P的轨迹C是抛物线,由题意,轨迹C的方程为y2=4x.12.设椭圆方程为x2+=1,过点M01的直线l交椭圆于A,B两点,O为坐标原点,点P满足=+,点N的坐标为,当直线l绕点M旋转时,求1动点P的轨迹方程;2||的最大值,最小值.解 1直线l过定点M01,当其斜率存在时设为k,则l的方程为y=kx+
1.设Ax1,y1,Bx2,y2,由题意知,A、B的坐标满足方程组消去y得4+k2x2+2kx-3=
0.则Δ=4k2+124+k
20.∴x1+x2=-,x1x2=.Px,y是AB的中点,则由消去k得4x2+y2-y=
0.当斜率k不存在时,AB的中点是坐标原点,也满足这个方程,故P点的轨迹方程为4x2+y2-y=
0.2由1知4x2+2=,∴-≤x≤而|NP|2=2+2=2+=-32+,∴当x=-时,||取得最大值,当x=时,||取得最小值.13.在平面直角坐标系xOy中,椭圆E+=1a0,b0经过点A,且点F0,-1为其一个焦点.1求椭圆E的方程;2设随圆E与y轴的两个交点为A1,A2,不在y轴上的动点P在直线y=b2上运动,直线PA1,PA2分别与椭圆E交于点M,N,证明直线MN通过一个定点,且△FMN的周长为定值.解 1根据题意可得可解得∴椭圆E的方程为+=
1.2由1知A102,A20,-2,Px0,4为直线y=4上一点x0≠0,Mx1,y1,Nx2,y2,直线PA1方程为y=x+2,直线PA2方程为y=x-2,点Mx1,y1,A102的坐标满足方程组可得点Nx2,y2,A20,-2的坐标满足方程组可得由于椭圆关于y轴对称,当动点P在直线y=4上运动时,直线MN通过的定点必在y轴上,当x0=1时,直线MN的方程为y+1=,令x=0,得y=1可猜测定点的坐标为01,并记这个定点为B.则直线BM的斜率kBM===,直线BN的斜率kBN===,∴kBM=kBN,即M,B,N三点共线,故直线MN通过一个定点B0,1,又∵F0,-1,B01是椭圆E的焦点,∴△FMN周长为|FM|+|MB|+|BN|+|NF|=4b=8,为定值.14.已知向量a=x,y,b=10,且a+b⊥a-b.1求点Qx,y的轨迹C的方程;2设曲线C与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N,又点A0,-1,当|AM|=|AN|时,求实数m的取值范围.解 1由题意得a+b=x+,y,a-b=x-,y,∵a+b⊥a-b,∴a+b·a-b=0,即x+x-+y·y=
0.化简得+y2=1,∴Q点的轨迹C的方程为+y2=
1.2由得3k2+1x2+6mkx+3m2-1=0,由于直线与椭圆有两个不同的交点,∴Δ0,即m23k2+
1.
①i当k≠0时,设弦MN的中点为PxP,yP,xM、xN分别为点M、N的横坐标,则xP==-,从而yP=kxP+m=,kAP==-,又|AM|=|AN|,∴AP⊥MN.则-=-,即2m=3k2+1,
②将
②代入
①得2mm2,解得0m2,由
②得k2=0,解得m,故所求的m的取值范围是.ii当k=0时,|AM|=|AN|,∴AP⊥MN,m23k2+1,解得-1m
1.综上,当k≠0时,m的取值范围是,当k=0时,m的取值范围是-
11.。