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2019-2020年高考数学一轮复习第九章计数原理与概率课时达标54分类加法计数原理与分步乘法计数原理[解密考纲]本考点考查用两个原理解决计数问题.
一、选择题1.现有2门不同的考试要安排在5天之内进行,每天最多进行一门考试,且不能连续两天有考试,那么不同的考试安排方案种数是 A A.12 B.6 C.8 D.16解析若第一门安排在开头或结尾,则第二门有3种安排方法,这时,共有C×3=6种方案.若第一门安排在中间的3天中,则第二门有2种安排方案,这时,共有3×2=6种方案.综上可得,所有的不同的考试安排方案有6+6=12种,故选A.2.用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 C A.324 B.648 C.328 D.360解析首先应考虑0,当0排在个位时,有A=9×8=72个,当0不排在个位时,有AA=4×8=32个.当不含0时,有A·A=4×7×8=224个,由分类加法计数原理,得符合题意的偶数共有72+32+224=328个.3.有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学,在数学检测时要求每位教师不能在本班监考,则监考的方法有 B A.8种 B.9种 C.10种 D.11种解析设四位监考教师分别为A,B,C,D,所教班分别为a,b,c,d,假设A监考b,则余下三人监考剩下的三个班,共有3种不同方法,同理A监考c,d时,也分别有3种不同方法,由分类加法计数原理共有3+3+3=9种.4.如图所示的五个区域中,中心区域是一幅图画,现在要求在其余四个区域中涂色,现有四种颜色可供选择,要求每一个区域只涂一种颜色,相邻区域涂色不同,则不同的涂色方法种数为 C A.64 B.72 C.84 D.96解析分成两类,A和C同色时有4×3×3=36种;A和C不同色时有4×3×2×2=48种,所以一共有36+48=84种,故选C.5.某体育彩票规定从01至36共36个号中抽出7个号为一注,每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号,从11至20中选2个连续的号,从21至30中选1个号,从31至36中选1个号组成一注,则这人把这种特殊要求的号买全,至少要花 D A.3360元 B.6720元 C.4320元 D.8640元解析从01至10中选3个连续的号共有8种选法;从11至20中选2个连续的号共有9种选法;从21至30中选1个号有10种选法;从31至36中选一个号有6种选法,由分步乘法计数原理知共有8×9×10×6=4320种选法,故至少需花4320×2=8640元,故选D.6.设集合I={12345},选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有 B A.50种 B.49种 C.48种 D.47种解析当A中最大的数为1时,B可以是{2345}的非空子集,即有24-1=15种方法;当A中最大的数为2时,A可以是{2},也可以是{12},B可以是{345}的非空子集,即有2×23-1=14种方法;当A中最大的数为3时,A可以是{3},{13},{23},{123},B可以是{45}的非空子集,即有422-1=12种方法;当A中最大的数为4时,A可以是{4},{14},{24},{34},{124},{134},{234},{1234},B可以是{5},有8×1=8种方法,故共有15+14+12+8=49种方法.
二、填空题7.把座位编号为12345的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人,每人至少一张,至多两张,且分得的两张票必须是连号,那么不同的分法种数为__96__用数字作答.解析先将票分为符合条件的4份,由题意,4人分5张票,且每人至少一张,至多两张,则三人每人一张,一人2张,且分得的票必须是连号,相当于将12345这五个数用3个板子隔开,分为四部分且不存在三连号.在4个空位插3个板子,共有C=4种情况,再对应到4个人,有A=24种情况,则共有4×24=96种情况.8.如图所示的几何体由一个正棱锥P-ABC与正三棱柱ABC-A1B1C1组合而成,现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色底面A1B1C1不涂色,要求相邻的面均不同色,则不同的染色方案共有__12__种.解析先涂三棱锥P-ABC的三个侧面,然后涂三棱柱ABC-A1B1C1的三个侧面,共有3×2×1×2=12种不同的涂色方案.9.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为12,…,9的9个小正方形如图,使得任意相邻有公共边的小正方形所涂颜色都不相同,且标号为159的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有__108__种.123456789解析把区域分成三部分,第一部分159,有3种涂法.第二部分478,当57同色时,48各有2种涂法,共4种涂法;当57异色时,7有2种涂法,48均只有1种涂法,故第二部分共4+2=6种涂法.第三部分与第二部分一样,共6种涂法.由分步乘法计数原理,可得共有3×6×6=108种涂法.
三、解答题10.一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡,另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡.1某人要从两个袋子中任取一张手机卡自己使用,共有多少种不同的取法?2某人想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡,供自己今后选择使用,问一共有多少种不同的取法?解析1任取一张手机卡,可以从10张不同的中国移动卡中任取一张,或从12张不同的中国联通卡中任取一张,每一类办法都能完成这件事,故应用分类加法计数原理,有10+12=22种不同的取法.2从移动、联通卡中各取一张,则要分两步完成从移动卡中任取一张,再从联通卡中任取一张,故应用分步乘法计数原理,有10×12=120种不同的取法.11.有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.1从中任选一幅画布置房间,有几种不同的选法?2从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间,有几种不同的选法?3从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间,有几种不同的选法?解析1利用加法计数原理知,有5+2+7=14种不同的选法.2国画有5种不同的选法,油画有2种不同的选法,水彩画有7种不同的选法,利用乘法计数原理得到5×2×7=70种不同的选法.3选法分三类,分别为选国画与油画、油画与水彩画、国画与水彩画,由分类加法计数原理和分步乘法计数原理知共有5×2+2×7+5×7=59种不同的选法.12.编号为A,B,C,D,E的五个小球放在如图所示的五个盒子里,要求每个盒子只能放一个小球,且A球不能放在12号,B球必须放在与A球相邻的盒子中,则不同的放法有多少种?解析根据A球所在位置分三类
①若A球放在3号盒子内,则B球只能放在4号盒子内,余下的三个盒子放球C,D,E,则根据分步乘法计数原理得,3×2×1=6种不同的放法.
②若A球放在5号盒子内,则B球只能放在4号盒子内,余下的三个盒子放球C,D,E,则根据分步乘法计数原理得,3×2×1=6种不同的放法.
③若A球放在4号盒子内,则B球可以放在2号,3号,5号盒子中的任何一个,余下的三个盒子放球C,D,E有3×2×1=6种不同的放法,根据分步乘法计数原理,得3×6=18种不同的方法.综上所述,由分类加法计数原理得不同的放法共有6+6+18=30种.。