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2019-2020年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I
2.2函数的单调性与最值理1.函数的单调性1单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数y=fx的定义域为A,区间I⊆A,如果对于区间I内的任意两个值x1,x2当x1x2时,都有fx1fx2,那么就说函数fx在区间I上是增函数当x1x2时,都有fx1fx2,那么就说函数fx在区间I上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2单调区间的定义如果函数y=fx在区间I上是单调增函数或单调减函数,那么就说函数y=fx在区间I上具有单调性,区间I叫做y=fx的单调区间.2.函数的最值前提设函数y=fx的定义域为A,如果存在x0∈A,使得条件对于任意的x∈A,都有fx≤fx0对于任意的x∈A,都有fx≥fx0结论fx0为最大值fx0为最小值【思考辨析】判断下面结论是否正确请在括号中打“√”或“×”1在增函数与减函数的定义中,可以把“任意两个值x1,x2”改为“存在两个值x1,x2”. × 2对于函数fx,x∈D,若x1,x2∈D且x1-x2·[fx1-fx2]0,则函数fx在D上是增函数. √ 3函数y=fx在[1,+∞上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞. × 4函数y=的单调递减区间是-∞,0∪0,+∞. × 5所有的单调函数都有最值. × 6对于函数y=fx,若f1f3,则fx为增函数. × 1.xx·北京改编下列函数中,
①y=;
②y=x-12;
③y=2-x;
④y=log
0.5x+1,在区间0,+∞上为增函数的是________.答案
①解析
①中,函数y=在[-1,+∞上为增函数,所以函数在0,+∞上为增函数,故正确;
②中,函数y=x-12在-∞,1上为减函数,在[1,+∞上为增函数,故错误;
③中,函数y=2-x=x在R上为减函数,故错误;
④中,函数y=log
0.5x+1在-1,+∞上为减函数,故错误.2.若函数fx=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞,则a的值为________.答案 -6解析 由图象易知函数fx=|2x+a|的单调增区间是[-,+∞,令-=3,∴a=-
6.3.设函数y=x2-2x,x∈[-2,a],若函数的最小值为ga,则ga=________.答案 解析 ∵函数y=x2-2x=x-12-1,∴对称轴为直线x=
1.当-2≤a1时,函数在[-2,a]上单调递减,则当x=a时,ymin=a2-2a;当a≥1时,函数在[-21]上单调递减,在[1,a]上单调递增,则当x=1时,ymin=-
1.综上,ga=4.教材改编已知函数fx=,x∈
[26],则fx的最大值为________,最小值为________.答案 2 解析 可判断函数fx=在
[26]上为减函数,所以fxmax=f2=2,fxmin=f6=.5.教材改编已知函数fx=x2-2ax-3在区间
[12]上具有单调性,则实数a的取值范围为________________________________________________________________________.答案 -∞,1]∪[2,+∞解析 函数fx=x2-2ax-3的图象开口向上,对称轴为直线x=a,画出草图如图所示.由图象可知函数在-∞,a]和[a,+∞上都具有单调性,因此要使函数fx在区间
[12]上具有单调性,只需a≤1或a≥2,从而a∈-∞,1]∪[2,+∞.题型一 确定函数的单调性区间命题点1 给出具体解析式的函数的单调性例1 1下列函数中,
①y=lnx+2;
②y=-;
③y=x;
④y=x+,在区间0,+∞上为增函数的是________.2函数的单调递增区间是____________.3函数y=-x2+2|x|+3的单调增区间为_________________________________________.答案 1
① 2-∞,-2 3-∞,-1],
[01]解析 1y=lnx+2的增区间为-2,+∞,∴在区间0,+∞上为增函数.2因为在定义域上是减函数,所以求原函数的单调递增区间,即求函数t=x2-4的单调递减区间,结合函数的定义域,可知所求区间为-∞,-2.3由题意知,当x≥0时,y=-x2+2x+3=-x-12+4;当x0时,y=-x2-2x+3=-x+12+4,二次函数的图象如图.由图象可知,函数y=-x2+2|x|+3在-∞,-1],
[01]上是增函数.命题点2 解析式含参函数的单调性例2 试讨论函数fx=a≠0在-11上的单调性.解 设-1x1x21,fx=a=a,fx1-fx2=a-a=,由于-1x1x21,所以x2-x10,x1-10,x2-10,故当a0时,fx1-fx20,即fx1fx2,函数fx在-11上递减;当a0时,fx1-fx20,即fx1fx2,函数fx在-11上递增.综上,当a0时,fx在-11上单调递减;当a0时,fx在-11上单调递增.引申探究若本题中的函数变为fx=a0,则fx在-11上的单调性如何?解 设-1x1x21,则fx1-fx2=-==,∵-1x1x21,∴x2-x10,x1x2+10,x-1x-
10.又∵a0,∴fx1-fx20,∴函数在-11上为减函数.思维升华 确定函数单调性的方法1定义法和导数法,证明函数单调性只能用定义法和导数法;2复合函数法,复合函数单调性的规律是“同增异减”;3图象法,图象不连续的单调区间不能用“∪”连结. 已知a0,函数fx=x+x0,证明函数fx在0,]上是减函数,在[,+∞上是增函数.证明 方法一 任意取x1x20,则fx1-fx2=-=x1-x2+=x1-x2+=x1-x
2.当≥x1x20时,x1-x201-0,有fx1-fx20,即fx1fx2,此时,函数fx=x+a0在0,]上为减函数;当x1x2≥时,x1-x201-0,有fx1-fx20,即fx1fx2,此时,函数fx=x+a0在[,+∞上为增函数;综上可知,函数fx=x+a0在0,]上为减函数,在[,+∞上为增函数.方法二 f′x=1-,令f′x0,则1-0,解得x或x-舍.令f′x0,则1-0,解得-x.∵x0,∴0x.故fx在0,]上为减函数,在[,+∞上为增函数.题型二 函数的最值例3 已知函数fx=,x∈[1,+∞,a∈-∞,1].1当a=时,求函数fx的最小值;2若对任意x∈[1,+∞,fx0恒成立,试求实数a的取值范围.解 1当a=时,fx=x++2在[1,+∞上为增函数,fxmin=f1=.2fx=x++2,x∈[1,+∞.
①当a≤0时,fx在[1,+∞内为增函数.最小值为f1=a+
3.要使fx0在x∈[1,+∞上恒成立,只需a+30,即a-3,所以-3a≤
0.
②当0a≤1时,fx在[1,+∞上为增函数,fxmin=f1=a+
3.所以a+30,a-3,所以0a≤
1.综上所述,fx在[1,+∞上恒大于零时,a的取值范围是-31].思维升华 求函数最值的常用方法1单调性法先确定函数的单调性,再由单调性求最值;2图象法先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值;3换元法对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值. 1函数fx=的最大值为________.2已知函数fx=-a0,x0,若fx在上的值域为[,2],则a=________.答案 12 2解析 1当x≥1时,函数fx=为减函数,所以fx在x=1处取得最大值,为f1=1;当x1时,易知函数fx=-x2+2在x=0处取得最大值,为f0=
2.故函数fx的最大值为
2.2由反比例函数的性质知函数fx=-a0,x0在上单调递增,所以即解得a=.题型三 函数单调性的应用命题点1 比较大小例4 已知函数fx=log2x+,若x1∈12,x2∈2,+∞,则fx1________0,fx2________
0.判断大小关系答案 解析 ∵函数fx=log2x+在1,+∞上为增函数,且f2=0,∴当x1∈12时,fx1f2=0,当x2∈2,+∞时,fx2f2=0,即fx10,fx
20.命题点2 解不等式例5 已知函数fx为R上的减函数,则满足ff1的实数x的取值范围是______________.答案 -10∪01解析 由fx为R上的减函数且ff1,得即∴-1x0或0x
1.命题点3 求参数范围例6 1如果函数fx=ax2+2x-3在区间-∞,4上是单调递增的,则实数a的取值范围是__________.2已知fx=满足对任意x1≠x2,都有0成立,那么a的取值范围是________.答案 1 2[,2解析 1当a=0时,fx=2x-3,在定义域R上是单调递增的,故在-∞,4上单调递增;当a≠0时,二次函数fx的对称轴为x=-,因为fx在-∞,4上单调递增,所以a0,且-≥4,解得-≤a
0.综合上述得-≤a≤
0.2由已知条件得fx为增函数,∴解得≤a2,∴a的取值范围是[,2.思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略1比较大小.比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.2解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.3利用单调性求参数.
①视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数;
②需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;
③分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值. 1fx是定义在0,+∞上的单调增函数,满足fxy=fx+fy,f3=1,当fx+fx-8≤2时,x的取值范围是__________.2若fx=-x2+2ax与gx=在区间
[12]上都是减函数,则a的取值范围是__________.答案 189] 201]解析 12=1+1=f3+f3=f9,由fx+fx-8≤2,可得f[xx-8]≤f9,因为fx是定义在0,+∞上的增函数,所以有解得8x≤
9.2由fx=-x2+2ax在
[12]上是减函数可得
[12]⊆[a,+∞,∴a≤
1.∵y=在-1,+∞上为减函数,∴由gx=在
[12]上是减函数可得a0,故0a≤
1.1.确定抽象函数单调性解函数不等式典例 14分函数fx对任意的m、n∈R,都有fm+n=fm+fn-1,并且x0时,恒有fx
1.1求证fx在R上是增函数;2若f3=4,解不等式fa2+a-
52.思维点拨 1对于抽象函数的单调性的证明,只能用定义.应该构造出fx2-fx1并与0比较大小.2将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点.要构造出fMfN的形式.规范解答1证明 设x1,x2∈R,且x1x2,∴x2-x10,∵当x0时,fx1,∴fx2-x
11.[2分]fx2=f[x2-x1+x1]=fx2-x1+fx1-1,[4分]∴fx2-fx1=fx2-x1-10⇒fx1fx2,∴fx在R上为增函数.[6分]2解 ∵m,n∈R,不妨设m=n=1,∴f1+1=f1+f1-1⇒f2=2f1-1,[8分]f3=4⇒f2+1=4⇒f2+f1-1=4⇒3f1-2=4,∴f1=2,∴fa2+a-52=f1,[11分]∵fx在R上为增函数,∴a2+a-51⇒-3a2,即a∈-32.[14分]解函数不等式问题的一般步骤第一步定性确定函数fx在给定区间上的单调性;第二步转化将函数不等式转化为fMfN的形式;第三步去f运用函数的单调性“去掉”函数的符号“f”,转化成一般的不等式或不等式组;第四步求解解不等式或不等式组确定解集;第五步反思反思回顾.查看关键点,易错点及解题规范.温馨提醒 本题对函数的单调性的判断是一个关键点.不会运用条件x0时,fx1,构造不出fx2-fx1=fx2-x1-1的形式,便找不到问题的突破口.第二个关键应该是将不等式化为fMfN的形式.解决此类问题的易错点忽视了M、N的取值范围,即忽视了fx所在单调区间的约束.[方法与技巧]1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤1取值;2作差;3定量;4判断.2.确定函数单调性有四种常用方法定义法、导数法、复合函数法、图象法,也可利用单调函数的和差确定单调性.3.求函数最值的常用求法单调性法、图象法、换元法.[失误与防范]1.分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性,还要注意衔接点.2.函数在两个不同的区间上单调性相同,一般要分开写,用“,”或“和”连结,不要用“∪”.A组 专项基础训练时间40分钟1.下列函数fx中,
①fx=;
②fx=x-12;
③fx=ex;
④fx=lnx+1,满足“对任意x1,x2∈0,+∞,当x1x2时,都有fx1fx2”的是________.填序号答案
①解析 由题意知fx在0,+∞上是减函数.
①中,fx=满足要求;
②中,fx=x-12在
[01]上是减函数,在1,+∞上是增函数;
③中,fx=ex是增函数;
④中,fx=lnx+1在0,+∞上是增函数.2.已知函数y=log2ax-1在12上单调递增,则实数a的取值范围是__________.答案 [1,+∞解析 要使y=log2ax-1在12上单调递增,则a0且a-1≥0,∴a≥
1.3.已知函数y=fx的图象关于x=1对称,且在1,+∞上单调递增,设a=f,b=f2,c=f3,则a,b,c的大小关系为______________.答案 bac解析 ∵函数图象关于x=1对称,∴a=f=f,又y=fx在1,+∞上单调递增,∴f2ff3,即bac.4.若函数fx=x2-2x+m在[3,+∞上的最小值为1,则实数m的值为________.答案 -2解析 ∵fx=x-12+m-1在[3,+∞上为单调增函数,且fx在[3,+∞上的最小值为1,∴f3=1,即22+m-1=1,m=-
2.5.已知函数fx=2ax2+4a-3x+5在区间-∞,3上是减函数,则a的取值范围是__________.答案 [0,]解析 当a=0时,fx=-12x+5,在-∞,3上是减函数,当a≠0时,由得0a≤,综上a的取值范围是0≤a≤.6.已知函数fx=,则该函数的单调增区间为________.答案 [3,+∞解析 设t=x2-2x-3,由t≥0,即x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥
3.所以函数的定义域为-∞,-1]∪[3,+∞.因为函数t=x2-2x-3的图象的对称轴为x=1,所以函数在-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞上单调递增.又因为y=在[0,+∞上单调递增.所以函数fx的增区间为[3,+∞.7.已知函数fx=若fx在0,+∞上单调递增,则实数a的取值范围为________.答案 12]解析 由题意,得12+a-2≤0,则a≤2,又y=ax-ax1是增函数,故a1,所以a的取值范围为1a≤
2.8.函数fx=x-log2x+2在区间[-11]上的最大值为________.答案 3解析 由于y=x在R上递减,y=log2x+2在[-1,1]上递增,所以fx在[-11]上单调递减,故fx在[-11]上的最大值为f-1=
3.9.已知fx=x≠a.1若a=-2,试证明fx在-∞,-2内单调递增;2若a0且fx在1,+∞上单调递减,求a的取值范围.1证明 任设x1x2-2,则fx1-fx2=-=.∵x1+2x2+20,x1-x20,∴fx1fx2,∴fx在-∞,-2上单调递增.2解 任设1x1x2,则fx1-fx2=-=.∵a0,x2-x10,∴要使fx1-fx20,只需x1-ax2-a0在1,+∞上恒成立,∴a≤
1.综上所述,a的取值范围是01].10.设函数y=fx是定义在0,+∞上的函数,并且满足下面三个条件
①对任意正数x,y,都有fxy=fx+fy;
②当x1时,fx0;
③f3=-
1.1求f1,f的值;2如果不等式fx+f2-x2成立,求x的取值范围.解 1令x=y=1易得f1=
0.而f9=f3+f3=-1-1=-2,且f9+f=f1=0,故f=
2.2设0x1x2,则1,f0,由fxy=fx+fy得fx2=f=fx1+ffx1,所以fx是减函数.由条件
①及1的结果得f[x2-x]f,其中0x2,由函数fx在R上单调递减,可得由此解得x的取值范围是.B组 专项能力提升时间20分钟11.对于任意实数a,b,定义min{a,b}=设函数fx=-x+3,gx=log2x,则函数hx=min{fx,gx}的最大值是________.答案 1解析 依题意,hx=当0x2时,hx=log2x是增函数;当x≥2时,hx=3-x是减函数,∴hx在x=2时,取得最大值h2=
1.12.定义新运算当a≥b时,ab=a;当ab时,ab=b2,则函数fx=1xx-2x,x∈[-22]的最大值等于________.答案 6解析 由已知,得当-2≤x≤1时,fx=x-2,当1x≤2时,fx=x3-
2.∵fx=x-2,fx=x3-2在定义域内都为增函数.∴fx的最大值为f2=23-2=
6.13.xx·山东定义运算“⊗”x⊗y=x,y∈R,xy≠0,当x>0,y>0时,x⊗y+2y⊗x的最小值为________.答案 解析 由题意,得x⊗y+2y⊗x=+=≥=,当且仅当x=y时取等号.14.已知函数fx=lgx+-2,其中a是大于0的常数.1求函数fx的定义域;2当a∈14时,求函数fx在[2,+∞上的最小值;3若对任意x∈[2,+∞恒有fx0,试确定a的取值范围.解 1由x+-20,得0,当a1时,x2-2x+a0恒成立,定义域为0,+∞,当a=1时,定义域为{x|x0且x≠1},当0a1时,定义域为{x|0x1-或x1+}.2设gx=x+-2,当a∈14,x∈[2,+∞时,g′x=1-=0恒成立,所以gx=x+-2在[2,+∞上是增函数.所以fx=lg在[2,+∞上是增函数.所以fx=lg在[2,+∞上的最小值为f2=lg.3对任意x∈[2,+∞恒有fx0,即x+-21对x∈[2,+∞恒成立.所以a3x-x2,令hx=3x-x2,而hx=3x-x2=-2+在x∈[2,+∞上是减函数,所以hxmax=h2=2,所以a
2.。