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2019-2020年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I第2讲函数的单调性与最值练习
一、选择题
1.若函数fx=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞,则a的值为 A.-2B.2C.-6D.6解析 由图象易知函数fx=|2x+a|的单调增区间是[-,+∞,令-=3,∴a=-
6.答案 C
2.xx·北京卷下列函数中,在区间-1,1上为减函数的是 A.y=B.y=cosxC.y=lnx+1D.y=2-x解析 ∵y=与y=lnx+1在-1,1上为增函数,且y=cosx在-1,1上不具备单调性.∴A,B,C不满足题意.只有y=2-x=在-1,1上是减函数.答案 D
3.定义新运算“⊕”当a≥b时,a⊕b=a2;当ab时,a⊕b=b2,则函数fx=1⊕xx-2⊕x,在区间[-2,2]上的最大值等于 A.-1B.1C.6D.12解析 由已知得当-2≤x≤1时,fx=x-2,当1x≤2时,fx=x3-
2.∵fx=x-2,fx=x3-2在定义域内都为增函数.∴fx的最大值为f2=23-2=
6.答案 C
4.已知函数y=fx的图象关于x=1对称,且在1,+∞上单调递增,设a=f,b=f2,c=f3,则a,b,c的大小关系为 A.cbaB.bacC.bcaD.abc解析 ∵函数图象关于x=1对称,∴a=f=f,又y=fx在1,+∞上单调递增,∴f2ff3,即bac.答案 B
5.fx是定义在0,+∞上的单调增函数,满足fxy=fx+fy,f3=1,当fx+fx-8≤2时,x的取值范围是 A.8,+∞B.8,9]C.[8,9]D.0,8解析 2=1+1=f3+f3=f9,由fx+fx-8≤2,可得f[xx-8]≤f9,因为fx是定义在0,+∞上的增函数,所以有解得8x≤
9.答案 B
二、填空题
6.xx·宁波调研设函数fx=若ff1=4a,则实数a=________,函数fx的单调增区间为________.解析 ∵fx=∴f1=12+1=2,ff1=f2=22+2a,由ff1=4a,∴22+2a=4a,∴a=
2.当x≤1时,fx在-∞,0]上递减,在[0,1]上递增,且f1=2;当x1时,fx=2x+2x在1,+∞上递增,令x=1时f1=2+2=4,故fx的单调增区间为[0,1]∪1,+∞=[0,+∞.答案 2 [0,+∞
7.xx·绍兴调研函数fx=-log2x+2在区间[-1,1]上的最大值为________.解析 由于y=在R上递减,y=log2x+2在[-1,1]上递增,所以fx在[-1,1]上单调递减,故fx在[-1,1]上的最大值为f-1=
3.答案
38.xx·潍坊模拟设函数fx=若函数y=fx在区间a,a+1上单调递增,则实数a的取值范围是________.解析 作出函数fx的图象如图所示,由图象可知fx在a,a+1上单调递增,需满足a≥4或a+1≤2,即a≤1或a≥
4.答案 -∞,1]∪[4,+∞
三、解答题
9.已知函数fx=-a0,x
0.1求证fx在0,+∞上是增函数;2若fx在上的值域是,求a的值.1证明 设x2x10,则x2-x10,x1x20,∵fx2-fx1=-=-=0,∴fx2fx1,∴fx在0,+∞上是增函数.2解 ∵fx在上的值域是,又由1得fx在上是单调增函数,∴f=,f2=2,易知a=.
10.已知函数fx=2x-的定义域为0,1]a为实数.1当a=1时,求函数y=fx的值域;2求函数y=fx在区间0,1]上的最大值及最小值,并求出当函数fx取得最值时x的值.解 1当a=1时,fx=2x-,任取1≥x1>x2>0,则fx1-fx2=2x1-x2-=x1-x
2.∵1≥x1>x2>0,∴x1-x2>0,x1x2>
0.∴fx1>fx2,∴fx在0,1]上单调递增,无最小值,当x=1时取得最大值1,所以fx的值域为-∞,1].2当a≥0时,y=fx在0,1]上单调递增,无最小值,当x=1时取得最大值2-a;当a<0时,fx=2x+,当≥1,即a∈-∞,-2]时,y=fx在0,1]上单调递减,无最大值,当x=1时取得最小值2-a;当<1,即a∈-2,0时,y=fx在上单调递减,在上单调递增,无最大值,当x=时取得最小值
2.能力提升题组建议用时25分钟
11.xx·郑州质检若函数fx=axa0,a≠1在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数gx=1-4m在[0,+∞上是增函数,则a= A.4B.2C.D.解析 当a1,则y=ax为增函数,有a2=4,a-1=m,此时a=2,m=,此时gx=-在[0,+∞上为减函数,不合题意.当0a1,则y=ax为减函数,有a-1=4,a2=m,此时a=,m=.此时gx=在[0,+∞上是增函数.故a=.答案 D
12.xx·东阳第一中学模拟已知函数fx=ex-1,gx=-x2+4x-3,若存在fa=gb,则实数b的取值范围为 A.[0,3]B.1,3C.[2-,2+]D.2-,2+解析 由题可知fx=ex-1-1,gx=-x2+4x-3=-x-22+1≤1,若fa=gb,则gb∈-1,1],即-b2+4b-3-1,即b2-4b+20,解得2-b2+.所以实数b的取值范围为2-,2+.答案 D
13.对于任意实数a,b,定义min{a,b}=设函数fx=-x+3,gx=log2x,则函数hx=min{fx,gx}的最大值是________.解析 依题意,hx=当0x≤2时,hx=log2x是增函数,当x2时,hx=3-x是减函数,∴hx在x=2时,取得最大值h2=
1.答案
114.已知函数fx=lgx+-2,其中a是大于0的常数.1求函数fx的定义域;2当a∈1,4时,求函数fx在[2,+∞上的最小值;3若对任意x∈[2,+∞恒有fx0,试确定a的取值范围.解 1由x+-2>0,得>0,当a>1时,x2-2x+a>0恒成立,定义域为0,+∞,当a=1时,定义域为{x|x>0且x≠1},当0<a<1时,定义域为{x|0<x<1-或x>1+}.2设gx=x+-2,当a∈1,4,x∈[2,+∞时,∴g′x=1-=
0.因此gx在[2,+∞上是增函数,∴fx在[2,+∞上是增函数.则fxmin=f2=ln.3对任意x∈[2,+∞,恒有fx
0.即x+-21对x∈[2,+∞恒成立.∴a3x-x
2.令hx=3x-x2,x∈[2,+∞.由于hx=-+在[2,+∞上是减函数,∴hxmax=h2=
2.故a2时,恒有fx
0.因此实数a的取值范围为2,+∞.
15.xx·义乌模拟a∈R,设函数fx=x|x-a|-x.1若a=3时,求fx函数的单调区间;2若a≤0,对于任意的x∈[0,t],不等式-1≤fx≤6恒成立,求实数t的最大值及此时a的值.解 1当a=3时,fx=函数fx的单调递增区间为-∞,1,3,+∞,单调递减区间为1,
3.2fx=
①当a≤-1时,a≤≤0,fx在[0,t]上单调递增,fxmin=f0=0,fxmax=ft=t2-a+1t,由题意得fxmax≤6,即t2-a+1t≤6,解得0≤t≤.令m=-a+1≥0,hm==在[0,+∞上单调递减,所以hxmax=h0=,即当a=-1时,tmax=.
②当-1a≤0时,a≤0,fx在上单调递减,在上单调递增,fxmin=f=-∈,满足fxmin≥-1,fxmax=ft=t2-a+1t由题意得fxmax≤6,即t2-a+1t≤6,解得0≤t≤,令m=a+10,hm=在0,1]上单调递增,所以hmmax=h1=3,即当a=0时,tmax=
3.综上所述,tmax=3,此时a=
0.。