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2019-2020年高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ课时达标检测六函数的奇偶性及周期性理对点练一 函数的奇偶性1.xx·肇庆模拟在函数y=xcosx,y=ex+x2,y=lg,y=xsinx中,偶函数的个数是 A.3B.2C.1D.0解析选B y=xcosx是奇函数,y=lg和y=xsinx是偶函数,y=ex+x2是非奇非偶函数,所以偶函数的个数是2,故选B.2.已知函数fx=asinx+bln+t,若f+f=6,则实数t= A.-2B.-1C.1D.3解析选D 令gx=asinx+bln,则易知gx为奇函数,所以g+g=0,则由fx=gx+t,得f+f=g+g+2t=2t=6,解得t=
3.故选D.3.若fx和gx都是定义在R上的函数,则“fx与gx同是奇函数或同是偶函数”是“fx·gx是偶函数”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件解析选A 若函数fx与gx同是R上的奇函数或偶函数,则f-x·g-x=-fx·-gx=fx·gx或f-x·g-x=fx·gx,即fx·gx是偶函数,∴充分性成立;必要性不成立,如fx=gx=满足fx·gx是偶函数,但fx与gx都不是奇函数或偶函数.故选A.4.xx·唐山统考fx是R上的奇函数,当x≥0时,fx=x3+ln1+x,则当x0时,fx= A.-x3-ln1-xB.x3+ln1-xC.x3-ln1-xD.-x3+ln1-x解析选C 当x0时,-x0,f-x=-x3+ln1-x,∵fx是R上的奇函数,∴当x0时,fx=-f-x=-[-x3+ln1-x],∴fx=x3-ln1-x.对点练二 函数的周期性1.xx·江南十校联考设fx=x+sinxx∈R,则下列说法错误的是 A.fx是奇函数B.fx在R上单调递增C.fx的值域为RD.fx是周期函数解析选D 因为f-x=-x+sin-x=-x+sinx=-fx,所以fx为奇函数,故A正确;因为f′x=1+cosx≥0,所以函数fx在R上单调递增,故B正确;fx的值域为R,故C正确;fx不是周期函数,D错误,故选D.2.函数fx的周期为4,且x∈-22],fx=2x-x2,则f2018+f2019+f2020的值为________.解析由fx=2x-x2,x∈-22]知f-1=-3,f0=0,f2=0,又fx的周期为4,所以f2018+f2019+f2020=f2+f-1+f0=0-3+0=-
3.答案-33.已知定义在R上的函数fx满足fx+3=-fx,当-3≤x-1时,fx=-x+22,当-1≤x3时,fx=x,则f1+f2+f3+…+f2017=________.解析因为fx+3=-fx,所以fx+6=fx,即函数fx是周期为6的周期函数,当-3≤x-1时,fx=-x+22,当-1≤x3时,fx=x,所以f-3=-1,f-2=0,f-1=-1,f0=0,f1=1,f2=2,所以f-3+f-2+f-1+f0+f1+f2=-1+0-1+0+1+2=1,所以f1+f2+f3+…+f2017=336×[f-3+f-2+f-1+f0+f1+f2]+f2017=336+f1=336+1=
337.答案337对点练三 函数性质的综合问题1.已知函数fx是R上的偶函数,gx是R上的奇函数,且gx=fx-1,若f0=2,则f2018的值为 A.2B.0C.-2D.±2解析选C ∵g-x=f-x-1,∴-gx=fx+1.又gx=fx-1,∴fx+1=-fx-1,∴fx+2=-fx,fx+4=-fx+2=fx,则fx是以4为周期的周期函数,∴f2018=f2=f0+2=-f0=-
2.2.xx·湖南联考已知函数fx是R上的奇函数,且在区间[0,+∞上单调递增,若a=f,b=f,c=f,则a,b,c的大小关系为 A.bacB.cbaC.bcaD.abc解析选B ∵,∴tan-1cos0,又sin0,∴tancossin.∵函数fx是R上的奇函数,且在区间[0,+∞上单调递增,∴函数fx是R上的增函数,∴cba,故选B.3.xx·邢台摸底考试已知定义在-11上的奇函数fx,其导函数为f′x=1+cosx,如果f1-a+f1-a20,则实数a的取值范围为 A.01B.1,C.-2,-D.1,∪-,-1解析选B 依题意得f′x0,则fx是定义在-11上的增函数.不等式f1-a+f1-a20等价于f1-a2-f1-a=fa-1,则有解得1a,选B.4.xx·湖北武汉模拟已知函数fx是奇函数,且满足f2-x=fxx∈R,当0x≤1时,fx=lnx+2,则函数y=fx在区间-24]上的零点个数是 A.7B.8C.9D.10解析选C 由函数fx是奇函数且满足f2-x=fx知,fx是周期为4的周期函数,且关于直线x=1+2kk∈Z成轴对称,关于点2k0k∈Z成中心对称.当0x≤1时,令fx=lnx+2=0,得x=,由此得y=fx在区间-24]上的零点分别为-2+,-,0,,2-,22+,4-,4,共9个零点,故选C.5.xx·四川高考已知函数fx是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,fx=4x,则f+f1=________.解析∵fx为奇函数,周期为2,∴f1=f1-2=f-1=-f1,∴f1=
0.∵fx=4x,x∈01,∴f=f=f=-f=-4=-
2.∴f+f1=-
2.答案-26.xx·天津高考已知fx是定义在R上的偶函数,且在区间-∞,0上单调递增.若实数a满足f2|a-1|>f-,则a的取值范围是________.解析∵fx是偶函数,且在-∞,0上单调递增,∴fx在0,+∞上单调递减,f-=f,∴f2|a-1|>f,∴2|a-1|<=2,∴|a-1|<,即-<a-1<,即<a<.答案7.xx·台州模拟已知函数gx是R上的奇函数,且当x0时,gx=-ln1-x,函数fx=若f2-x2fx,则实数x的取值范围是________.解析设x0,则-x
0.∵x0时,gx=-ln1-x,∴g-x=-ln1+x.又∵gx是奇函数,∴gx=ln1+xx0,∴fx=其图象如图所示.由图象知,函数fx在R上是增函数.∵f2-x2fx,∴2-x2x,即-2x
1.所以实数x的取值范围是-21.答案-21[大题综合练——迁移贯通]1.已知函数fx是定义在R上的偶函数,f0=0,当x0时,fx=logx.1求函数fx的解析式;2解不等式fx2-1-
2.解1当x0时,-x0,则f-x=log-x.因为函数fx是偶函数,所以f-x=fx.所以函数fx的解析式为fx=2因为f4=log4=-2,fx是偶函数,所以不等式fx2-1-2可化为f|x2-1|f4.又因为函数fx在0,+∞上是减函数,所以|x2-1|4,解得-x,即不等式的解集为-,.2.xx·湖南长郡中学测试已知函数fx=是奇函数.1求实数m的值;2若函数fx在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.解1设x0,则-x0,所以f-x=--x2+2-x=-x2-2x.又fx为奇函数,所以f-x=-fx,于是x0时,fx=x2+2x=x2+mx,所以m=
2.2要使fx在[-1,a-2]上单调递增,结合fx的图象如图所示知所以1a≤3,故实数a的取值范围是13].3.函数fx的定义域为D={x|x≠0},且满足对任意x1,x2∈D,有fx1·x2=fx1+fx2.1求f1的值;2判断fx的奇偶性并证明你的结论;3如果f4=1,fx-12且fx在0,+∞上是增函数,求x的取值范围.解1∵对于任意x1,x2∈D,有fx1·x2=fx1+fx2,∴令x1=x2=1,得f1=2f1,∴f1=
0.2fx为偶函数.证明令x1=x2=-1,有f1=f-1+f-1,∴f-1=f1=
0.令x1=-1,x2=x,有f-x=f-1+fx,∴f-x=fx,∴fx为偶函数.3依题设有f4×4=f4+f4=2,由2知,fx是偶函数,∴fx-12⇔f|x-1|f16.又fx在0,+∞上是增函数.∴0|x-1|16,解得-15x17且x≠
1.∴x的取值范围是-151∪117.。