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2019-2020年高考数学一轮复习第八章立体几何层级快练49文1.下面三条直线一定共面的是 A.a,b,c两两平行 B.a,b,c两两相交C.a∥b,c与a,b均相交D.a,b,c两两垂直答案 C2.xx·广东文若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是 A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定答案 D解析 在正六面体中求解,也可以借助教室中的实物帮助求解.在如图所示的正六面体中,不妨设l2为直线AA1,l3为直线CC1,则直线l1,l4可以是AB,BC;也可以是AB,CD;也可以是AB,B1C1,这三组直线相交,平行,垂直,异面,故选D.3.若P是两条异面直线l,m外的任意一点,则 A.过点P有且仅有一条直线与l,m都平行B.过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直C.过点P有且仅有一条直线与l,m都相交D.过点P有且仅有一条直线与l,m都异面答案 B解析 对于选项A,若过点P有直线n与l,m都平行,则l∥m,这与l,m异面矛盾;对于选项B,过点P与l,m都垂直的直线,即过P且与l,m的公垂线段平行的那一条直线;对于选项C,过点P与l,m都相交的直线有一条或零条;对于选项D,过点P与l,m都异面的直线可能有无数条.4.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确是 A.A,M,O三点共线B.A,M,O,A1不共面C.A,M,C,O不共面D.B,B1,O,M共面答案 A解析 连接A1C1,AC,则A1C1∥AC,∴A1,C1,A,C四点共面,∴A1C⊂平面ACC1A1,∵M∈A1C,∴M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1,∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.∴A,M,O三点共线.5.xx·江西景德镇模拟将图
①中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线折起得到空间四面体ABCD如图
②,则在空间四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是 A.相交且垂直B.相交但不垂直C.异面且垂直D.异面但不垂直答案 C解析 在题图
①中,AD⊥BC,故在题图
②中,AD⊥BD,AD⊥DC,又因为BD∩DC=D,所以AD⊥平面BCD,又BC⊂平面BCD,D不在BC上,所以AD⊥BC,且AD与BC异面,故选C.6.空间不共面的四点到某平面的距离相等,则这样的平面的个数为 A.1B.4C.7D.8答案 C解析 当空间四点不共面时,则四点构成一个三棱锥,如图.
①当平面一侧有一点,另一侧有三点时,令截面与四个面之一平行时,满足条件的平面有4个;
②当平面一侧有两点,另一侧有两点时,满足条件的平面有3个,所以满足条件的平面共有7个.
7.xx·江西上饶一模如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,过点A作平面α平行平面BDC1,平面α与平面A1ADD1交于直线m,与平面A1ABB1交于直线n,则m与n所成的角为 A.B.C.D.答案 C解析 由题意,m∥BC1,n∥C1D,∴∠BC1D即为m与n所成的角.∵△BC1D是等边三角形,∴∠BC1D=,∴m与n所成的角为.8.xx·课标全国Ⅱ,理已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 A.B.C.D.答案 C解析 如图所示,将直三棱柱ABC-A1B1C1补成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,连接AD1,B1D1,则AD1∥BC1,所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角.因为∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,所以AB1=,AD1=.在△B1D1C1中,∠B1C1D1=60°,B1C1=1,D1C1=2,所以B1D1==,所以cos∠B1AD1==,选择C.
9.xx·内蒙古包头模拟如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是 A.0,B.0,]C.[0,]D.0,]答案 D10.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为 A.B.C.D.答案 C解析 连接BA1,则CD1∥BA1,于是∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成的角或补角.设AB=1,则BE=,BA1=,A1E=1,在△A1BE中,cos∠A1BE==,选C.
11.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论中错误的是 A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.△AEF的面积与△BEF的面积相等答案 D解析 由AC⊥平面DBB1D1,可知AC⊥BE,故A正确.由EF∥BD,EF⊄平面ABCD,知EF∥平面ABCD,故B正确.A到平面BEF的距离即A到平面DBB1D1的距离为,且S△BEF=BB1×EF=定值,故VA-BEF为定值,即C正确.12.下列各图是正方体和正四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的图形是 答案 D解析
①在A中易证PS∥QR,∴P,Q,R,S四点共面.
②在C中易证PQ∥SR,∴P,Q,R,S四点共面.
③在D中,∵QR⊂平面ABC,PS∩面ABC=P且P∉QR,∴直线PS与QR为异面直线.∴P,Q,R,S四点不共面.
④在B中P,Q,R,S四点共面,证明如下取BC中点N,可证PS,NR交于直线B1C1上一点,∴P,N,R,S四点共面,设为α.可证PS∥QN,∴P,Q,N,S四点共面,设为β.∵α,β都经过P,N,S三点,∴α与β重合,∴P,Q,R,S四点共面.13.xx·湖南永州一模设三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,∠BCA=90°,BC=CA=2,若该棱柱的所有顶点都在体积为的球面上,则直线B1C与直线AC1所成角的余弦值为 A.-B.C.-D.答案 B解析 由已知,若三棱柱的所有顶点都在球面上,则由两个全等的三棱柱构成的长方体的8个顶点也在球面上,且外接球的直径为长方体的体对角线,由球体的体积可得其直径为4,由于长方体底面是边长为2的正方形,故侧面的对角线为
2.由余弦定理可知,直线B1C与直线AC1所成的余弦值为=.14.有下列四个命题
①若△ABC在平面α外,它的三条边所在的直线分别交平面α于P,Q,R,则P,Q,R三点共线;
②若三条直线a,b,c互相平行且分别交直线l于A,B,C三点,则这四条直线共面;
③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面;
④若a不平行于平面α,且a⊄α,则α内的所有直线与a异面.其中正确命题的序号是________.答案
①②解析 在
①中,因为P,Q,R三点既在平面ABC上,又在平面α上,所以这三点必在平面ABC与平面α的交线上,即P,Q,R三点共线,所以
①正确.在
②中,因为a∥b,所以a与b确定一个平面α,而l上有A,B两点在该平面上,所以l⊂α,即a,b,l三线共面于α;同理a,c,l三线也共面,不妨设为β,而α,β有两条公共的直线a,l,所以α与β重合,即这些直线共面,所以
②正确.在
③中,不妨设其中有四点共面,则它们最多只能确定7个平面,所以
③错.在
④中,由题设知,a与α相交,设a∩α=P,如图,在α内过点P的直线l与a共面,所以
④错.
15.如图,正三棱柱ABC-A′B′C′的底面边长和侧棱长均为2,D、E分别为AA′与BC的中点,则A′E与BD所成角的余弦值为________.答案 解析 取B′B中点F,连接A′F,则有A′F綊BD,∴∠FA′E或其补角即为所求.∵正三棱柱ABC-A′B′C′棱长均为
2.∴A′F=,FE=,A′E=.∴cos∠FA′E=,故A′E与BD所成角余弦值为.16.如图所示,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD且BC=AD,BE∥AF且BE=AF,G,H分别为FA,FD的中点.1证明四边形BCHG是平行四边形;2C,D,F,E四点是否共面?为什么?答案 1略 2共面,证明略解析 1证明∵G,H分别为FA,FD的中点,∴GH綊AD.又∵BC綊AD,∴GH綊BC.∴四边形BCHG为平行四边形.2C,D,F,E四点共面.理由如下由BE綊AF,G是FA的中点,得BE綊GF.所以EF綊BG.由1知,BG綊CH,所以EF綊CH.所以EC∥FH.所以C,D,F,E四点共面.
17.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60°,对角线AC与BD交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为60°.1求四棱锥的体积;2若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的余弦值.答案 12 2解析 1在四棱锥P-ABCD中,∵PO⊥平面ABCD,∴∠PBO是PB与平面ABCD所成的角,∴∠PBO=60°.在Rt△AOB中,BO=AB·sin30°=1,∵PO⊥OB,∴PO=BO·tan60°=.∵底面菱形的面积S=×2××2=2,∴四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=×2×=
2.2取AB的中点F,连接EF,DF,如图所示.∵E为PB中点,∴EF∥PA,∴∠DEF为异面直线DE与PA所成的角或其补角.在Rt△AOB中,AO==OP,∴在Rt△POA中,PA=,∴EF=.在正三角形ABD和正三角形PDB中,DF=DE=,由余弦定理,得cos∠DEF====.∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为.1.如图所示,M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点,给出下列四个命题
①过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都相交;
②过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都垂直;
③过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都相交;
④过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都平行.其中真命题是 A.
②③④B.
①③④C.
①②④D.
①②③答案 C解析 将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转任意不等于k∈Z的角度,所得的平面与直线AB,B1C1都相交,故
③错误,排除A,B,D,选C.2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=2ED,CF=2FA,则EF与BD1的位置关系是 A.相交但不垂直B.相交且垂直C.异面D.平行答案 D解析 连接D1E并延长,与AD交于点M,因为A1E=2ED,可得M为AD的中点,连接BF并延长,交AD于点N,因为CF=2FA,可得N为AD的中点,所以M,N重合,且=,=,所以=,所以EF∥BD
1.
3.如图所示,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 A.B.C.D.答案 D解析 连接BC1,易证BC1∥AD1,则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.连接A1C1,设AB=1,则AA1=2,A1C1=,A1B=BC1=,故cos∠A1BC1==.
4.如图所示,点A是平面BCD外一点,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,且EF=,则异面直线AD和BC所成的角为________.答案 90°解析 如图,设G是AC的中点,连接EG,FG.因为E,F分别是AB,CD的中点,故EG∥BC且EG=BC=1,FG∥AD,且FG=AD=
1.即∠EGF为所求.又EF=,由勾股定理逆定理可得∠EGF=90°.5.xx·课标全国Ⅲa,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论
①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;
②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;
③直线AB与a所成角的最小值为45°;
④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是________.填写所有正确结论的编号答案
②③解析 本题考查空间线面角的求解.如图,将直线a,b平移到边BC旋转出的圆中,MN为圆C的直径,则可设MB,NB所在直线分别为直线a,b,∠ABC=45°.利用最小角定理cos∠ABCcos∠MBC=cos∠ABM和cos∠ABCcos∠NBC=cos∠ABN,当AB与a成60°角时,即∠ABM=60°,则cos45°·cos∠MBC=cos60°,解得∠MBC=45°,则∠NBC=45°,所以∠ABN=60°,所以
①错误,
②正确;当点B在圆C上运动时,当点B运动到点N时,∠MBC=0°,cos∠MBC=1,∠ABM的最小值为∠ABC=45°,当点B运动到点M时,直线b为MN所在直线,直线a为过点M且与圆C相切,易得a⊥平面ABC,所以直线AB与a所成角的最大值为90°,所以
③正确,
④错误,综上所述,正确的编号是
②③.。