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2019-2020年高考数学一轮复习第八章立体几何第7讲立体几何中的向量方法一理
一、选择题1.直线l1,l2相互垂直,则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是 A.s1=112,s2=2,-10B.s1=01,-1,s2=200C.s1=111,s2=22,-2D.s1=1,-11,s2=-22,-2解析两直线垂直,其方向向量垂直,只有选项B中的两个向量垂直.答案 B2.已知a=,b=满足a∥b,则λ等于 .A.B.C.-D.-解析 由==,可知λ=.答案 B3.平面α经过三点A-101,B112,C2,-10,则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是 .A.B.6,-2,-2C.422D.-114解析 设平面α的法向量为n,则n⊥,n⊥,n⊥,所有与或、平行的向量或可用与线性表示的向量都与n垂直,故选D.答案 D4.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为 .A.2B.C.D.1解析 连接AC,交BD于点O,连接EO,过点O作OH⊥AC1于点H,因为AB=2,所以AC=2,又CC1=2,所以OH=sin45°=
1.答案 D5.已知a=2,-13,b=-14,-2,c=75,λ,若a,b,c三向量共面,则实数λ等于 .A.B.C.D.解析 由题意得c=ta+μb=2t-μ,-t+4μ,3t-2μ,∴∴.答案 D6.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则||为 .A.aB.aC.aD.a解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则Aa00,C10,a,a,N.设Mx,y,z,∵点M在AC1上且=,∴x-a,y,z=-x,a-y,a-z∴x=a,y=,z=.得M,∴||==a.答案 A
二、填空题7.若向量a=1,λ,2,b=2,-12且a与b的夹角的余弦值为,则λ=________.解析 由已知得==,∴8=36-λ,解得λ=-2或λ=.答案 -2或8.在四面体PABC中,PA,PB,PC两两垂直,设PA=PB=PC=a,则点P到平面ABC的距离为________.解析 根据题意,可建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz,则P000,Aa,00,B0,a0,C00,a.过点P作PH⊥平面ABC,交平面ABC于点H,则PH的长即为点P到平面ABC的距离.∵PA=PB=PC,∴H为△ABC的外心.又∵△ABC为正三角形,∴H为△ABC的重心,可得H点的坐标为.∴PH==a.∴点P到平面ABC的距离为a.答案 a9.平面α的一个法向量n=01,-1,如果直线l⊥平面α,则直线l的单位方向向量是s=________.解析直线l的方向向量平行于平面α的法向量,故直线l的单位方向向量是s=±.答案±10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为正方形A1B1C1D1四边上的动点,O为底面正方形ABCD的中心,M,N分别为AB,BC的中点,点Q为平面ABCD内一点,线段D1Q与OP互相平分,则满足=λ的实数λ的有____________个.解析 建立如图的坐标系,设正方体的边长为2,则Px,y2,O110,∴OP的中点坐标为,又知D1002,∴Qx+1,y+10,而Q在MN上,∴xQ+yQ=3,∴x+y=1,即点P坐标满足x+y=
1.∴有2个符合题意的点P,即对应有2个λ.答案 2
三、解答题11.已知a=x41,b=-2,y,-1,c=3,-2,z,a∥b,b⊥c,求a,b,c.解 因为a∥b,所以==,解得x=2,y=-4,这时a=241,b=-2,-4,-1.又因为b⊥c,所以b·c=0,即-6+8-z=0,解得z=2,于是c=3,-22.12.如图所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.求证1AM∥平面BDE;2AM⊥平面BDF.证明 1建立如图所示的空间直角坐标系,设AC∩BD=N,连接NE.则N,E001,A,,0,M∴=.=.∴=且NE与AM不共线.∴NE∥AM.又∵NE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,∴AM∥平面BDE.2由1知=,∵D,00,F,,1,∴=0,,1∴·=0,∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF=F,∴AM⊥平面BDF.13.在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点.1求证EF⊥CD;2在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB,并证明你的结论.1证明 如图,以DA、DC、DP所在直线分别为x轴,y轴、z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,则D
000、Aa
00、Ba,a
0、C0,a
0、E、P00,a、F.=,=0,a0.∵·=0,∴⊥,即EF⊥CD.2解 设Gx0,z,则=,若使GF⊥平面PCB,则由·=·a00=a=0,得x=;由·=·0,-a,a=2+a=0,得z=
0.∴G点坐标为,即G点为AD的中点.14.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.1证明CD⊥平面PAE;2若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD的体积.解 如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设PA=h,则相关各点的坐标为A000,B400,C4,30,D050,E240,P00,h.1易知=-420,=240,=00,h.因为·=-8+8+0=0,·=0,所以CD⊥AE,CD⊥AP.而AP,AE是平面PAE内的两条相交直线,所以CD⊥平面PAE.2由题设和1知,·分别是平面PAE,平面ABCD的法向量.而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,所以|cos〈,〉|=|cos〈,〉|,即=.由1知,=-420,=00,-h,又=40,-h,故=.解得h=.又梯形ABCD的面积为S=×5+3×4=16,所以四棱锥P-ABCD的体积为V=×S×PA=×16×=.。