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2019-2020年高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明
6.4合情推理与演绎推理课时提升作业理
一、选择题每小题5分共25分
1.xx·宜昌模拟下面几种推理过程是演绎推理的是 A.两条直线平行同旁内角互补如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角则∠A+∠B=180°B.某校高三1班有55人2班有54人3班有52人由此得高三所有班人数均超过50人C.由平面三角形的性质推测空间四面体的性质D.在数列{an}中a1=1an=n≥2由此归纳出{an}的通项公式【解析】选A.A项中两条直线平行同旁内角互补大前提∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角小前提∠A+∠B=180°结论是从一般到特殊的推理是演绎推理.而BD是归纳推理C是类比推理.
2.xx·十堰模拟依次写出数列a1=1a2a3…ann∈N*的法则如下:如果an-2为自然数且未写过则写an+1=an-2否则就写an+1=an+3则a6= A.4B.5C.6D.7【解析】选C.根据题中法则依次逐个代入得a2=4a3=2a4=0a5=3a6=
6.
3.xx·佛山模拟对于数25规定第1次操作为23+53=133第2次操作为13+33+33=55如此反复操作则第xx次操作后得到的数是 A.25B.250C.55D.133【解析】选B.由题意知第3次操作为53+53=250第4次操作为23+53+03=133第5次操作为13+33+33=55….因此每次操作后的得数呈周期排列且周期为3又xx=672×3故第xx次操作后得到的数是
250.【加固训练】xx·揭阳模拟对于正实数aMa为满足下述条件的函数fx构成的集合:∀x1x2∈R且x2x1有-ax2-x1fx2-fx1ax2-x1下列结论中正确的是 A.若fx∈gx∈则fx·gx∈B.若fx∈gx∈且gx≠0则∈C.若fx∈gx∈则fx+gx∈D.若fx∈gx∈且a1a2则fx-gx∈【解题提示】对于-ax2-x1fx2-fx1ax2-x
1.变形有-aa令k=又fx∈gx∈利用不等式的性质可得fx+gx∈.从而得出正确答案.【解析】选C.对于-ax2-x1fx2-fx1ax2-x1即有-aa令k=有-aka又fx∈gx∈即有-a1kfa1-a2kga2因此有-a1-a2kf+kga1+a2因此有fx+gx∈.
4.给出下列三个类比结论:
①abn=anbn与a+bn类比则有a+bn=an+bn;
②logaxy=logax+logay与sinα+β类比则有sinα+β=sinαsinβ;
③a+b2=a2+2ab+b2与a+b2类比则有a+b2=a2+2a·b+b
2.其中正确结论的个数是 A.0B.1C.2D.3【解析】选B.a+bn≠an+bnn≠1a·b≠0故
①错误.sinα+β=sinαsinβ不恒成立如α=30°β=60°sin90°=1sin30°·sin60°=故
②错误.由向量的运算公式知
③正确.
5.xx·广东高考若集合E={pqrs|0≤ps≤40≤qs≤40≤rs≤4且pqrs∈N}F={tuvw|0≤tu≤40≤vw≤4且tuvw∈N}用cardX表示集合X中的元素个数则cardE+cardF= A.50B.100C.150D.200【解析】选D.当s=4时pqr都是取0123中的一个有4×4×4=64种当s=3时pqr都是取012中的一个有3×3×3=27种当s=2时pqr都是取01中的一个有2×2×2=8种当s=1时pqr都取0有1种所以card=64+27+8+1=
100.当t=0时u取1234中的一个有4种当t=1时u取234中的一个有3种当t=2时u取34中的一个有2种当t=3时u取4有1种所以tu的取值有1+2+3+4=10种同理vw的取值也有10种所以card=10×10=100所以card+card=100+100=
200.【加固训练】
1.我国的刺绣有着悠久的历史如图所示中的1234为刺绣最简单的四个图案这些图案都是由小正方形构成小正方形个数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣小正方形的摆放规律相同设第n个图形包含fn个小正方形.则fn的表达式为 A.fn=2n-1 B.fn=2n2C.fn=2n2-2nD.fn=2n2-2n+1【解析】选D.我们考虑f2-f1=4f3-f2=8f4-f3=12…结合图形不难得到fn-fn-1=4n-1累加得fn-f1=2nn-1=2n2-2n故fn=2n2-2n+
1.
2.xx·北京高考有语文、数学两学科成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A同学每科成绩不低于B同学且至少有一科成绩比B高则称“A同学比B同学成绩好”.现有若干同学他们之中没有一个人比另一个成绩好且没有任意两个人语文成绩一样数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生 A.2B.3C.4D.5【解析】选B.用DEF分别表示优秀、合格和不合格.显然语文成绩得D的学生最多只有1个语文成绩得E的也最多只有1个得F的也最多只有1个因此学生最多只有3个.显然DFEEFD满足条件故学生最多3个.
3.下列推理是归纳推理的是 A.若AB为定点动点P满足|PA|+|PB|=2a|AB|则P点的轨迹为椭圆B.由a1=1an=3n-1求出S1S2S3猜想出数列的前n项和Sn的表达式C.由圆x2+y2=r2的面积πr2猜想出椭圆+=1的面积S=πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】选B.从S1S2S3猜想出数列的前n项和Sn是从特殊到一般的推理所以B是归纳推理.选项A是演绎推理选项CD是类比推理.
二、填空题每小题5分共15分
6.xx·黄山模拟观察下列等式:13=1213+23=3213+23+33=6213+23+33+43=102…根据上述规律第n个等式为 .【解析】观察所给等式左右两边的构成易得第n个等式为13+23+…+n3==.答案:13+23+…+n3=【加固训练】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:他们研究过图1中的13610…由于这些数能够表示成三角形将其称为三角形数;类似地称图2中的14916…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是 A.289 B.1024 C.1225 D.1378【解析】选C.观察三角形数:13610…记该数列为{an}则a1=1a2=a1+2a3=a2+3…an=an-1+n.所以a1+a2+…+an=a1+a2+…+an-1+1+2+3+…+n⇒an=1+2+3+…+n=观察正方形数:14916…记该数列为{bn}则bn=n
2.把四个选项的数字分别代入上述两个通项公式可知使得n都为正整数的只有
1225.
7.xx·襄阳模拟在平行四边形ABCD中有AC2+BD2=2AB2+AD2类比这个性质在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中有A+B+C+D= .【解题提示】根据平行六面体的性质可以得到它的各个面以及它的对角面均为平行四边形多次使用已知条件中的定理再将所得等式相加可以计算出正确结论.【解析】如图平行六面体的各个面以及对角面都是平行四边形因此在平行四边形ABCD中AC2+BD2=2AB2+AD2…
①;在平行四边形ACC1A1中A1C2+A=2AC2+A…
②;在平行四边形BDD1B1中B1D2+B=2BD2+B…
③;
②、
③相加得A1C2+A+B1D2+B=2AC2+A+2BD2+B…
④将
①代入
④再结合AA1=BB1得A+B1D2+A1C2+B=4AB2+AD2+A答案:4AB2+AD2+A【加固训练】观察下列几个三角恒等式:
①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1;
②tan5°tan100°+tan100°tan-15°+tan-15°tan5°=1;
③tan13°tan35°+tan35°tan42°+tan42°tan13°=
1.一般地若tanαtanβtanγ都有意义你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为 .【解析】所给三角恒等式都为tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1的结构形式且αβγ之间满足α+β+γ=90°所以可猜想当α+β+γ=90°时tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=
1.答案:当α+β+γ=90°时tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=
18.已知数列{an}为等差数列若am=aan=bn-m≥1mn∈N*则am+n=.类比等差数列{an}的上述结论对于等比数列{bn}bn0n∈N*若bm=cbn=dn-m≥2mn∈N*则可以得到bm+n= .【解析】设数列{an}的公差为d1则d1==.所以am+n=am+nd1=a+n·=.类比推导方法可知:设数列{bn}的公比为q由bn=bmqn-m可知d=cqn-m所以q=所以bm+n=bmqn=c·=.答案:【一题多解】本题还可以采用如下解法:直接类比设数列{an}的公差为d1数列{bn}的公比为q因为等差数列中an=a1+n-1d1等比数列中bn=b1qn-1因为am+n=所以bm+n=.答案:15分钟 30分
1.5分观察下式:1+3=221+3+5=321+3+5+7=421+3+5+7+9=52…据此你可归纳猜想出一般结论为 A.1+3+5+…+2n-1=n2n∈N*B.1+3+5+…+2n+1=n2n∈N*C.1+3+5+…+2n-1=n+12n∈N*D.1+3+5+…+2n+1=n+12n∈N*【解析】选D.观察可见第n行左边有n+1个奇数右边是n+
12.
2.5分命题p:已知椭圆+=1ab0F1F2是椭圆的两个焦点P为椭圆上的一个动点过点F2作∠F1PF2补角平分线的垂线垂足为M则OM的长为定值.类比此命题在双曲线中也有命题q:已知双曲线-=1a0b0F1F2是双曲线的两个焦点P为双曲线上的一个动点过点F2作∠F1PF2的 的垂线垂足为M则OM的长为定值.【解析】对于椭圆延长F2M与F1P的延长线交于点Q.由对称性知M为F2Q的中点且|PF2|=|PQ|从而OM∥F1Q且|OM|=|F1Q|.而|F1Q|=|F1P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a所以|OM|=a.对于双曲线过点F2作∠F1PF2内角平分线的垂线垂足为点M类比可得OM=a.答案:内角平分线
3.5分xx·黄冈模拟观察下列等式:
①cos2α=2cos2α-1;
②cos4α=8cos4α-8cos2α+1;
③cos6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1;
④cos8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1;
⑤cos10α=mcos10α-1280cos8α+1120cos6α+ncos4α+pcos2α-
1.可以推测m-n+p= .【解析】m=128×4=512;p=10×5=50根据系数和等于1可以求出n=-
400.答案:962【加固训练】xx·武汉模拟在计算“1×2+2×3+…+nn+1”时某同学学到了如下一种方法:先改写第k项:kk+1=[kk+1k+2-k-1kk+1]由此得1×2=1×2×3-0×1×22×3=2×3×4-1×2×3……nn+1=[nn+1n+2-n-1nn+1].相加得1×2+2×3+…+nn+1=nn+1n+
2.类比上述方法请你计算“1×2×3+2×3×4+…+nn+1n+2”其结果是 结果写成关于n的一次因式的积的形式.【解析】先改写第k项:kk+1k+2=[kk+1k+2k+3-k-1kk+1k+2]由此得1×2×3=1×2×3×4-0×1×2×32×3×4=2×3×4×5-1×2×3×4……nn+1n+2=[nn+1n+2n+3-n-1nn+1·n+2]相加得1×2×3+2×3×4+…+nn+1n+2=nn+1n+2n+
3.答案:nn+1n+2n+
34.15分已知椭圆具有性质:若MN是椭圆C上关于原点对称的两个点点P是椭圆上任意一点当直线PMPN的斜率都存在并记为kPMkPN时那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线-=1写出具有类似特性的性质并加以证明.【解析】类似的性质为:若MN是双曲线-=1上关于原点对称的两个点点P是双曲线上任意一点当直线PMPN的斜率都存在并记为kPMkPN时那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.证明如下:设点MP的坐标分别为mnxy则N-m-n.因为点Mmn在已知双曲线上所以n2=m2-b
2.同理y2=x2-b
2.则kPM·kPN=·==·=定值.【加固训练】某同学在一次研究性学习中发现以下五个式子的值都等于同一个常数:
①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;
②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;
③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;
④sin2-18°+cos248°-sin-18°cos48°;
⑤sin2-25°+cos255°-sin-25°cos55°.1试从上述五个式子中选择一个求出这个常数.2根据1的计算结果将该同学的发现推广为三角恒等式并证明你的结论.【解析】1选择
②式计算如下:sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=.2归纳三角恒等式sin2α+cos230°-α-sinαcos30°-α=.证明如下:sin2α+cos230°-α-sinαcos30°-α=+-sinαcos30°cosα+sin30°sinα=-cos2α++cos60°cos2α+sin60°sin2α-sinαcosα-sin2α=-cos2α++cos2α+sin2α-sin2α-1-cos2α=1-cos2α-+cos2α=.。