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2019-2020年高考数学一轮复习第六章数列
6.4数列求和数列的综合应用课时练理
1.[xx·冀州中学猜题]已知等比数列{an}中的各项都是正数，且5a1，a34a2成等差数列，则＝ A．－1B．1C．52nD．52n－1答案 C解析 设等比数列{an}的公比为qq0，则依题意有a3＝5a1＋4a2，即a1q2＝5a1＋4a1q，q2－4q－5＝0，解得q＝－1或q＝
5.又q0，因此q＝5，所以＝＝q2n＝52n，选C.2．[xx·武邑中学仿真]已知正项等差数列{an}满足an＋1＋an－1＝an≥2，等比数列{bn}满足bn＋1bn－1＝2bnn≥2，则log2a2＋b2＝ A．－1或2B．0或2C．2D．1答案 C解析 由题意可知an＋1＋an－1＝2an＝a，解得an＝2n≥2由于数列{an}每项都是正数，故an＝0舍去，又bn＋1bn－1＝b＝2bnn≥2，所以bn＝2n≥2，所以log2a2＋b2＝log24＝
2.3．[xx·衡水中学模拟]已知等比数列{an}的公比q＝2，且2a4，a648成等差数列，则{an}的前8项和为 A．127B．255C．511D．1023答案 B解析 ∵2a4，a648成等差数列，∴2a6＝2a4＋48，∴2a1q5＝2a1q3＋48，解得a1＝1，∴S8＝＝
255.4．[xx·冀州中学期中]已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝lgan，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}的前n项和的最大值等于 A．126B．130C．132D．134答案 C解析 ∵bn＋1－bn＝lgan＋1－lgan＝lg为常数，∴{bn}为等差数列．设公差为d，则∴由bn＝－2n＋24≥0，得n≤12，∴{bn}的前11项为正，第12项为零，从第13项起为负，∴S11，S12最大且S11＝S12＝
132.
5.[xx·衡水中学仿真]设数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，记数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn.若a5＝b5，a6＝b6，且S7－S5＝4T6－T4，则＝________.答案 －解析 由S7－S5＝4T6－T4得，a6＋a7＝4b5＋b6，又a5＝b5，a6＝b6，所以a6＋a7＝4a5＋a6，所以6a1＋25d＝0，所以a1＝－d，又q＝＝＝＝－5，所以＝＝＝＝－.6．[xx·枣强中学预测]已知数列{an}的通项公式为an＝25－n，数列{bn}的通项公式为bn＝n＋k，设cn＝若在数列{cn}中，c5≤cn对任意n∈N*恒成立，则实数k的取值范围是________．答案 [－5，－3]解析 cn是取an和bn中的较大值，又c5是数列{cn}中的最小项，由于函数y＝25－n是减函数，函数y＝n＋k是增函数，所以b5≤a5≤b6或a5≤b5≤a4，即5＋k≤25－5≤6＋k或25－5≤5＋k≤25－4，解得－5≤k≤－4或－4≤k≤－3，所以－5≤k≤－
3.7．[xx·冀州中学一轮检测]如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点123456的横、纵坐标分别对应数列{an}n∈N*的前12项如下表所示，按如此规律下去，则axx＋axx＋axx＝________.a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6答案 1007解析 由a1＝1，a2＝1，a3＝－1，a4＝2，a5＝2，a6＝3，a7＝－2，a8＝4可知，这个数列的规律是奇数项为1，－12，－23，－3，…，偶数项为123，…，故axx＋axx＝1，axx＝1006，故axx＋axx＋axx＝
1007.8．[xx·武邑中学一轮检测]等差数列{an}的前n项和记为Sn，若S4≥4，S7≤28，则a10的最大值为________．答案 16解析 ∵等差数列{an}的前n项和为Sn，S4≥4，S7≤28，∴即∴∴≤a10≤4＋6d，∴≤4＋6d，解得d≤2，∴a10≤4＋6×2＝
16.
9.[xx·武邑中学月考]已知数列{an}的通项公式为an＝，前n项和为Sn，若对任意的正整数n，不等式S2n－Sn恒成立，则常数m所能取得的最大整数为________．答案 5解析 要使S2n－Sn恒成立，只需S2n－Snmin.因为S2n＋1－Sn＋1－S2n－Sn＝S2n＋2－S2n－Sn＋1－Sn＝a2n＋1＋a2n＋2－an＋1＝＋－＋－＝－0，所以{S2n－Sn}为递增数列，所以S2n－Sn≥S2－S1＝，所以⇒m，m所能取得的最大整数为
5.10．[xx·衡水中学热身]数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1n≥1．1求{an}的通项公式；2等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.解 1由an＋1＝2Sn＋1，可得an＝2Sn－1＋1n≥2，两式相减得an＋1－an＝2an，则an＋1＝3ann≥2．又a2＝2S1＋1＝3，∴a2＝3a
1.故{an}是首项为1，公比为3的等比数列，∴an＝3n－
1.2设{bn}的公差为d.由T3＝15，即b1＋b2＋b3＝15，可得b2＝5，故b1＝5－d，b3＝5＋d，又a1＝1，a2＝3，a3＝9，由a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列可得5－d＋1·5＋d＋9＝5＋32，解得d＝2或d＝－
10.∵等差数列{bn}的各项为正，∴d0，∴d＝2，b1＝3，∴Tn＝3n＋×2＝n2＋2n.11．[xx·冀州中学期末]某企业为了进行技术改造，设计了两种方案，甲方案一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元．两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息．若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？参考数据取
1.0510＝
1.
6291.310＝
13.
7861.510＝
57.665解 甲方案中，每年所获利润组成等比数列，首项为1，公比为1＋30%，所以10年所获得的总利润为S10＝1＋1＋30%＋1＋30%2＋…＋1＋30%9＝＝
42.62万元，贷款到期时，需要偿还银行的本息是101＋5%10＝
16.29万元，故使用甲方案所获纯利润为
42.62－
16.29＝
26.33万元．乙方案中，每年的利润组成等差数列，首项为1，公差为
0.5，所以10年所获得的总利润为T10＝1＋1＋
0.5＋1＋2×
0.5＋…＋1＋9×
0.5＝10×1＋×
0.5＝
32.5万元，从第一年起，每年的贷款在到期时所产生的本息组成等比数列，首项为1×1＋5%10万元，公比为，故贷款到期时，需要偿还银行的本息是1×[1＋5%10＋1＋5%9＋…＋1＋5%]＝
1.05×≈
13.21万元，故使用乙方案所获纯利润为
32.5－
13.21＝
19.29万元．综上可知，甲方案获利更多．
12.[xx·衡水中学预测]数列{an}满足an＋1＝，a1＝
1.1证明数列是等差数列；2求数列的前n项和Sn，并证明＋＋…＋.解 1证明∵an＋1＝，∴＝，化简得＝2＋，即－＝2，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．2由1知＝2n－1，∴Sn＝＝n
2.证法一＋＋…＋＝＋＋…＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝.证法二数学归纳法当n＝1时，＝1，＝，不等式成立．假设当n＝k时，不等式成立，即＋＋…＋.则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋，又∵＋－＝1－＋－1＋＝－＝0，∴＋＋…＋＋，∴原不等式成立．解法三＋＋…＋＝＋＋…＋1，又∵1，∴＋＋…＋.能力组
13.[xx·枣强中学热身]设fx是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有fx·fy＝fx＋y，若a1＝，an＝fnn∈N*，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是 A.B.C.D.答案 C解析 因为对任意实数x，y∈R，都有fx·fy＝fx＋y，所以令x＝n，y＝1，得fn·f1＝fn＋1，即＝＝f1＝，所以数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，an＝n，所以Sn＝＝1－，则Sn∈.故选C.14．[xx·衡水中学猜题]已知函数fx＝log2x－logx20x1，数列{an}满足f2an＝2nn∈N*．1求数列{an}的通项公式；2判断数列{an}的单调性．解 1由已知得log22an－＝2n，∴an－＝2n，即a－2nan－1＝0，∴an＝n±.∵0x1，∴02an1，∴an
0.∴an＝n－.2∵an＋1－an＝n＋1－－n－＝1－1－＝0，∴an＋1an，∴{an}是递增数列．15．[xx·衡水中学一轮检测]在数列{an}中，a1＝1，an＋1·an＝an－an＋
1.1求数列{an}的通项公式；2若bn＝lg，求数列{bn}的前n项和Sn.解 1由题意得－＝1，又因为a1＝1，所以＝
1.所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以＝n，即an＝.所以数列{an}的通项公式为an＝.2由1得bn＝lgn－lgn＋2，所以Sn＝lg1－lg3＋lg2－lg4＋lg3－lg5＋…＋lgn－2－lgn＋lgn－1－lgn＋1＋lgn－lgn＋2＝lg1＋lg2－lgn＋1－lgn＋2＝lg.16．[xx·冀州中学模拟]已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a单位m2，其中有部分旧住房要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b单位m2的旧住房．1分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；2如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？计算时取
1.15＝
1.6．解 1第一年末的住房面积为a·－b＝
1.1a－bm2．第二年末的住房面积为－b＝a·2－b＝
1.21a－
2.1bm2．2第三年末的住房面积为－b＝a3－bm2，第四年末的住房面积为a4－bm2，第五年末的住房面积为a5－b＝
1.15a－b＝
1.6a－6bm2．依题意，得
1.6a－6b＝
1.3a，解得b＝.所以每年拆除的旧房面积为m
2.。
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