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2019-2020年高考数学一轮复习第十一章统计与概率第4讲古典概型理
一、选择题1.将一颗质地均匀的骰子它是一种各面上分别标有点数123456的正方体玩具先后抛掷3次,至少出现一次5点向上的概率是 A.B.C.D.解析抛掷3次,共有6×6×6=216个事件.一次也不出现5,则每次抛掷都有5种可能,故一次也未出现5的事件总数为5×5×5=
125.于是没有出现一次5点向上的概率P=,所求的概率为1-=.答案D2.一个袋子中有5个大小相同的球,其中有3个黑球与2个红球,如果从中任取两个球,则恰好取到两个同色球的概率是 .A.B.C.D.解析 基本事件有C=10个,其中为同色球的有C+C=4个,故所求概率为=.答案 C3.甲、乙两人各写一张贺年卡,随意送给丙、丁两人中的一人,则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是 .A.B.C.D.解析 甲送给丙,乙送给丁,甲送给丁,乙送给丙,甲、乙都送给丙,甲、乙都送给丁,共四种情况,其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种,所以P==.答案 A4.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是 A. B.C.D.解析正方形四个顶点可以确定6条直线,甲乙各自任选一条共有36个等可能的基本事件.两条直线相互垂直的情况有5种4组邻边和对角线,包括10个基本事件,所以概率等于.答案C5.一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个大小相同的小正方体,若将这些小正方体均匀地搅混在一起,则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是 .A.B.C.D.解析 小正方体三面涂有油漆的有8种情况,故所求其概率为=.答案 D6.将号码分别为1234的四个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同,甲从袋中摸出一个小球,其号码为a,放回后,乙从此口袋中再摸出一个小球,其号码为b,则使不等式a-2b+40成立的事件发生的概率为 .A.B.C.D.解析 由题意知a,b的所有可能结果有4×4=16个.其中满足a-2b+40的有13,14,24,34,共4个,所以所求概率为.答案 C
二、填空题7.在集合A={23}中随机取一个元素m,在集合B={123}中随机取一个元素n,得到点Pm,n,则点P在圆x2+y2=9内部的概率为________.解析 由题意得到的Pm,n有21,22,23,31,32,33,共6个,在圆x2+y2=9的内部的点有21,22,所以概率为=.答案
8.现有10个数,它们能构成一个以1为首项,为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是.解析组成满足条件的数列为从中随机取出一个数共有取法种,其中小于的取法共有种,因此取出的这个数小于的概率为.答案9.甲、乙二人参加普法知识竞答,共有10个不同的题目,其中6个选择题,4个判断题,甲、乙二人依次各抽一题,则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是________.解析方法1设事件A甲乙两人中至少有一人抽到选择题.将A分拆为B“甲选乙判”,C“甲选乙选”,D“甲判乙选”三个互斥事件,则PA=PB+PC+PD.而PB=,PC=,PD=,∴PA=++==.方法2设事件A甲乙两人中至少有一人抽到选择题,则其对立事件为甲乙两人均抽判断题.∴P==,∴PA=1-==.故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率为.答案 10.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________结果用最简分数表示.解析 根据条件求出基本事件的个数,再利用古典概型的概率计算公式求解.因为每人都从三个项目中选择两个,有C3种选法,其中“有且仅有两人选择的项目完全相同”的基本事件有CCC个,故所求概率为=.答案
三、解答题11.某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.1求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目;2若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析,
①列出所有可能的抽取结果;
②求抽取的2所学校均为小学的概率.解 1由分层抽样的定义知,从小学中抽取的学校数目为6×=3;从中学中抽取的学校数目为6×=2;从大学中抽取的学校数目为6×=
1.故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为
321.2
①在抽取到的6所学校中,3所小学分别记为A1,A2,A32所中学分别记为A4,A51所大学记为A6,则抽取2所学校的所有可能结果为A1,A2,A1,A3,A1,A4,A1,A5,A1,A6,A2,A3,A2,A4,A2,A5,A2,A6,A3,A4,A3,A5,A3,A6,A4,A5,A4,A6,A5,A6,共15种.
②从6所学校中抽取的2所学校均为小学记为事件B的所有可能结果为A1,A2,A1,A3,A2,A3,共3种.所以PB==.12.从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动.1求所选2人中恰有一名男生的概率;2求所选2人中至少有一名女生的概率.解析设2名女生为a1,a23名男生为b1,b2,b3,从中选出2人的基本事件有a1,a2,a1,b1,a1,b2,a1,b3,a2,b1,a2,b2,a2,b3,b1,b2,b1,b3,b2,b3,共10种.1设“所选2人中恰有一名男生”的事件为A,则A包含的事件有a1,b1,a1,b2,a1,b3,a2,b1,a2,b2,a2,b3,共6种,∴PA==,故所选2人中恰有一名男生的概率为.2设“所选2人中至少有一名女生”的事件为B,则B包含的事件有a1,a2,a1,b1,a1,b2,a1,b3,a2,b1,a2,b2,a2,b3,共7种,∴PB=,故所选2人中至少有一名女生的概率为.13.袋内装有6个球,这些球依次被编号为123,…,6,设编号为n的球重n2-6n+12单位克,这些球等可能地从袋里取出不受重量、编号的影响.1从袋中任意取出一个球,求其重量大于其编号的概率;2如果不放回的任意取出2个球,求它们重量相等的概率.解 1若编号为n的球的重量大于其编号.则n2-6n+12n,即n2-7n+
120.解得n3或n
4.∴n=
1256.∴从袋中任意取出一个球,其重量大于其编号的概率P==.2不放回的任意取出2个球,这两个球编号的所有可能情形共有C=15种.设编号分别为m与nm,n∈{123456},且m≠n球的重量相等,则有m2-6m+12=n2-6n+12,即有m-nm+n-6=
0.∴m=n舍去或m+n=
6.满足m+n=6的情形为15,24,共2种情形.由古典概型,所求事件的概率为.14.某省实验中学共有特级教师10名,其中男性6名,女性4名,现在要从中抽调4名特级教师担任青年教师培训班的指导教师,由于工作需要,其中男教师甲和女教师乙不能同时被抽调.1求抽调的4名教师中含有女教师丙,且4名教师中恰有2名男教师、2名女教师的概率;2若抽到的女教师的人数为ξ,求Pξ≤2.解 由于男教师甲和女教师乙不能同时被抽调,所以可分以下两种情况
①若甲和乙都不被抽调,有C种方法;
②若甲和乙中只有一人被抽调,有CC种方法,故从10名教师中抽调4人,且甲和乙不同时被抽调的方法总数为C+CC=70+112=
182.这就是基本事件总数.1记事件“抽调的4名教师中含有女教师丙,且恰有2名男教师,2名女教师”为A,因为含有女教师丙,所以再从女教师中抽取一人,若抽到的是女教师乙,则男教师甲不能被抽取,抽调方法数是C;若女教师中抽到的不是乙,则女教师的抽取方法有C种,男教师的抽取方法有C种,抽调的方法数是CC.故随机事件“抽调的4名教师中含有女教师丙,且4名教师中恰有2名男教师、2名女教师”含有的基本事件的个数是C+CC=
40.根据古典概型概率的计算公式得PA==.2ξ的可能取值为01234,所以Pξ≤2=1-Pξ2=1-Pξ=3-Pξ=4,若ξ=3,则选出的4人中,可以含有女教师乙,这时取法为CC种,也可以不含女教师乙,这时有CC种,故Pξ=3===;若ξ=4,则选出的4名教师全是女教师,必含有乙,有C种方法,故Pξ=4==,于是Pξ≤2=1--==.。