2019-2020年高考数学一轮复习第十三章立体几何13.4空间几何体的表面积与体积讲义

2019-2020年高考数学一轮复习第十三章立体几何

13.4空间几何体的表面积与体积讲义考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度xxxxxxxxxx

1.表面积简单几何体表面积求解A填空题★☆☆

2.体积

1.简单几何体体积求解

2.简单等积变换A8题5分8题5分填空题解答题★★★分析解读　　江苏高考对体积问题几乎是每年必考主要考查简单几何体的体积求解偶尔考查简单的体积变换试题难度中等.五年高考考点一　表面积

1.xx课标全国Ⅱ文155分长方体的长宽高分别为321其顶点都在球O的球面上则球O的表面积为　　　　. 答案　14π

2.xx课标全国Ⅰ文165分已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCBSA=ACSB=BC三棱锥S-ABC的体积为9则球O的表面积为　　　　. 答案　36π

3.xx课标全国Ⅱ改编45分体积为8的正方体的顶点都在同一球面上则该球的表面积为　　　　. 答案　12π

4.xx课标Ⅱ改编95分已知AB是球O的球面上两点∠AOB=90°C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36则球O的表面积为　　　　. 答案　144π

5.xx大纲全国改编85分正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4底面边长为2则该球的表面积为　　　　. 答案　

6.xx山东135分一个六棱锥的体积为2其底面是边长为2的正六边形侧棱长都相等则该六棱锥的侧面积为　　　　. 答案　

127.xx课标全国Ⅱ155分已知正四棱锥O-ABCD的体积为底面边长为则以O为球心OA为半径的球的表面积为　　　　. 答案　24π考点二　体积

1.xx课标全国Ⅲ115分在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BCAB=6BC=8AA1=3则V的最大值是　　　　. 答案　

2.xx山东改编75分在梯形ABCD中∠ABC=AD∥BCBC=2AD=2AB=

2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为　　　　. 答案　

3.xx课标Ⅰ改编65分《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著书中有如下问题:“今有委米依垣内角下周八尺高五尺.问:积及为米几何”其意思为:“在屋内墙角处堆放米如图米堆为一个圆锥的四分之一米堆底部的弧长为8尺米堆的高为5尺问米堆的体积和堆放的米各为多少”已知1斛米的体积约为

1.62立方尺圆周率约为3估算出堆放的米约有　　　　斛. 答案　

224.xx江苏85分设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S

1、S2体积分别为V

1、V2若它们的侧面积相等且=则的值是　　　　. 答案　

5.xx陕西改编55分已知底面边长为1侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上则该球的体积为　　　　. 答案　

6.xx课标全国Ⅰ理改编65分如图有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器高8cm将一个球放在容器口再向容器内注水当球面恰好接触水面时测得水深为6cm如果不计容器的厚度则球的体积为　　　　. 答案　cm

37.xx江苏85分如图在三棱柱A1B1C1-ABC中DEF分别是ABACAA1的中点设三棱锥F-ADE的体积为V1三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2则V1∶V2=　　　　. 答案　教师用书专用8—

98.xx福建1912分如图三棱锥A-BCD中AB⊥平面BCDCD⊥BD.1求证:CD⊥平面ABD;2若AB=BD=CD=1M为AD中点求三棱锥A-MBC的体积.解析　1证明:∵AB⊥平面BCDCD⊂平面BCD∴AB⊥CD.又∵CD⊥BDAB∩BD=BAB⊂平面ABDBD⊂平面ABD∴CD⊥平面ABD.2解法一:由AB⊥平面BCD得AB⊥BD.∵AB=BD=1∴S△ABD=.∵M是AD的中点∴S△ABM=S△ABD=.由1知CD⊥平面ABD∴三棱锥C-ABM的高h=CD=1因此三棱锥A-MBC的体积VA-MBC=VC-ABM=S△ABM·h=.解法二:如图过点M作MN⊥BD交BD于点N由AB⊥平面BCD知平面ABD⊥平面BCD又平面ABD∩平面BCD=BD所以MN⊥平面BCD且MN=AB=又CD⊥BDBD=CD=1∴S△BCD=.∴三棱锥A-MBC的体积VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD=AB·S△BCD-MN·S△BCD=.

9.xx重庆1912分如图四棱锥P-ABCD中PA⊥底面ABCDPA=2BC=CD=2∠ACB=∠ACD=.1求证:BD⊥平面PAC;2若侧棱PC上的点F满足PF=7FC求三棱锥P-BDF的体积.解析　1证明:因BC=CD即△BCD为等腰三角形又∠ACB=∠ACD故BD⊥AC.因为PA⊥底面ABCD所以PA⊥BD.从而BD与平面PAC内两条相交直线PAAC都垂直所以BD⊥平面PAC.2三棱锥P-BCD的底面BCD的面积S△BCD=BC·CD·sin∠BCD=×2×2·sin=.由PA⊥底面ABCD得VP-BCD=·S△BCD·PA=××2=

2.由PF=7FC得三棱锥F-BCD的高为PA故VF-BCD=·S△BCD·PA=×××2=所以VP-BDF=VP-BCD-VF-BCD=2-=.三年模拟A组　xx模拟·基础题组考点一　表面积

1.苏教必2一3变式将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体的侧面积是　　　　. 答案　2π

2.xx江苏南京高淳质检8若正四棱锥的底面边长为2体积为8则其侧面积为　　　　. 答案　

43.苏教必2一3变式如图斜三棱柱ABC-ABC中底面是边长为a的正三角形侧棱长为b侧棱AA与底面相邻两边AB与AC都成45°角求此斜三棱柱的表面积.解析　如图过A作AD⊥平面ABC于D过D作DE⊥AB于EDF⊥AC于F连结AEAFAD.∴AE⊥ABAF⊥AC∵∠AAE=∠AAFAA=AA∴Rt△AAE≌Rt△AAF∴AE=AF∴DE=DF∴AD平分∠BAC又∵AB=AC∴BC⊥AD∵BC⊥ADAD∩AD=D∴BC⊥平面AAD∴BC⊥AA而AA∥BB∴BC⊥BB∴四边形BCCB是矩形∴斜三棱柱的侧面积为2×a×bsin45°+ab=+1ab.又∵斜三棱柱底面三角形的面积为a2∴斜三棱柱的表面积为+1ab+a

2.考点二　体积

4.xx江苏盐城时杨中学高三月考在正三棱柱ABC-A1B1C1中已知AB=2AA1=4若EF分别是棱BB1和CC1上的点则三棱锥A-A1EF的体积是　　　　. 答案　

5.xx江苏天一中学高三调研考试在矩形ABCD中AB=4BC=3沿AC将矩形ABCD折成一个二面角B-AC-D则四面体ABCD的外接球的体积为　　　　. 答案　

6.xx江苏泰州中学模拟6在△ABC中AB=2BC=

1.5∠ABC=120°若使△ABC绕直线BC旋转一周则所形成的几何体的体积是　　　　. 答案　

7.xx江苏南京学情调研10已知圆柱M的底面半径为2高为6;圆锥N的底面直径和母线长相等.若圆柱M和圆锥N的体积相同则圆锥N的高为　　　　. 答案　

68.苏教必2一3变式将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起使得BD=a则三棱锥D-ABC的体积为　　　　. 答案　a

39.xx江苏南通一模8已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1点E是棱B1B的中点则三棱锥B1-ADE的体积为　　　　. 答案　B组　xx模拟·提升题组满分:10分　时间:10分钟填空题每小题5分共10分

1.xx江苏南京盐城一模10将矩形ABCD绕边AB所在直线旋转一周得到一个圆柱AB=3BC=2圆柱上底面圆心为A△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形则三棱锥A-EFG体积的最大值是　　　　. 答案　

42.xx江苏常州奔牛中学高三调研9三棱锥P-ABC中PA⊥平面ABCAC⊥BCAC=BC=1PA=则该三棱锥外接球的表面积为　　　　. 答案　5πC组　xx模拟·方法题组方法1　空间几何体的表面积

1.已知某圆锥的底面半径r=3沿圆锥的母线把侧面展开后得到一个圆心角为π的扇形则该圆锥的表面积是　　　　. 答案　36π方法2　空间几何体的体积

2.xx南京高三三模10如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中AB=1BC=2BB1=3∠ABC=90°点D为侧棱BB1上的动点.当AD+DC1最小时三棱锥D-ABC1的体积为　　　　. 答案　方法3　解答空间几何体中最值问题的方法

3.如图△ABC内接于圆OAB是圆O的直径四边形DCBE为平行四边形DC⊥平面ABCAB=2EB=.1求证:DE⊥平面ACD;2设AC=xVx表示三棱锥B-ACE的体积求函数Vx的解析式及最大值.解析　1证明:∵四边形DCBE为平行四边形∴BC∥DE.∵DC⊥平面ABCBC⊂平面ABC∴DC⊥BC.∵AB是圆O的直径△ABC内接于圆O∴BC⊥AC∵DC∩AC=C∴BC⊥平面ACD.∵DE∥BC∴DE⊥平面ACD.2∵四边形DCBE为平行四边形∴BE∥CD.∵DC⊥平面ABC∴BE⊥平面ABC.在Rt△ABC中∵AC=xAB=2∴BC=0x2∴S△ABC=AC·BC=x·∴Vx=VE-ABC=x·0x

2.∵x24-x2≤=4当且仅当x2=4-x2即x=时取等号∴当x=时Vx取得最大值最大值为.

4.如图在直角梯形ABCD中AB∥CDAD⊥ABCD=2AB=4AD=E为CD的中点将△BCE沿BE折起使得CO⊥DE其中点O在线段DE上.1求证:CO⊥平面ABED;2设∠CEO=θθ为何值时三棱锥C-AOE的体积最大最大值为多少解析　1证明:在直角梯形ABCD中CD=2ABE为CD的中点故AB=DE又AB∥DE所以四边形ABED是平行四边形所以AD∥BE又因为AB∥CDAD⊥AB所以BE⊥CD.在四棱锥C-ABED中BE⊥DEBE⊥CECE∩DE=E所以BE⊥平面CDE.因为CO⊂平面CDE所以BE⊥CO.又CO⊥DE且BE∩DE=E故CO⊥平面ABED.2由题意知θ∈.由1知CO⊥平面ABED则三棱锥C-AOE的体积V=S△AOE·OC=··OE·AD·OC.在直角梯形ABCD中CD=2AB=4AD=CE=2故在三棱锥C-OAE中OE=CEcosθ=2cosθOC=CEsinθ=2sinθ所以V=sin2θ≤当且仅当sin2θ=1即θ=时取等号此时OE=DE点O在线段DE上符合题意故当θ=时三棱锥C-AOE的体积最大最大值为.。