2019-2020年高考数学一轮复习第十二章不等式选讲课时达标70不等式的证明

2019-2020年高考数学一轮复习第十二章不等式选讲课时达标70不等式的证明[解密考纲]不等式的证明以解答题进行考查，主要考查综合法、比较法，还常用柯西不等式证明不等式或求最值．1．已知a，b都是正数，且a≠b，求证a3＋b3a2b＋ab

2.证明a3＋b3－a2b＋ab2＝a＋ba－b

2.因为a，b都是正数，所以a＋b

0.又因为a≠b，所以a－b

20.于是a＋ba－b20，即a3＋b3－a2b＋ab20，所以a3＋b3a2b＋ab

2.2．已知a，b，c都是正数，求证≥abc.证明因为b2＋c2≥2bc，a20，所以a2b2＋c2≥2a2bc，

①同理，b2a2＋c2≥2ab2c，

②c2a2＋b2≥2abc2，

③①②③相加得2a2b2＋b2c2＋c2a2≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2，从而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abca＋b＋c．由a，b，c都是正数，得a＋b＋c0，因此≥abc.3．xx·安徽联考已知函数fx＝|x|－|2x－1|，记fx－1的解集为M.1求M；2已知a∈M，比较a2－a＋1与的大小．解析1fx＝|x|－|2x－1|＝由fx－1，得或或解得0x2，故M＝{x|0x2}．2由1知0a2，因为a2－a＋1－＝＝，当0a1时，0，所以a2－a＋1，当a＝1时，＝0，所以a2－a＋1＝，当1a2时，0，所以a2－a＋1，综上所述当0a1时，a2－a＋1，当a＝1时，a2－a＋1＝，当1a2时，a2－a＋

1.4．xx·全国卷Ⅲ已知函数fx＝＋，M为不等式fx＜2的解集．1求M；2证明当a，b∈M时，＜.解析1fx＝当x≤－时，由fx2得－2x2，解得x－1，即－1x≤－；当－x时，fx2，即－x；当x≥时，由fx2得2x2，解得x1，即≤x

1.所以fx2的解集M＝{x|－1x1}．2证明由1知，当a，b∈M时，－1a1，－1b1，从而a＋b2－1＋ab2＝a2＋b2－a2b2－1＝a2－11－b

20.因此|a＋b||1＋ab|.5．xx·全国卷Ⅱ已知a0，b0，a3＋b3＝

2.证明1a＋ba5＋b5≥4；2a＋b≤

2.证明1a＋ba5＋b5＝a6＋ab5＋b6＋a5b＝a3＋b32－2a3b3＋aba4＋b4＝4＋aba2－b22≥

4.2因为a＋b3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3aba＋b≤2＋a＋b＝2＋，所以a＋b3≤8，因此a＋b≤

2.6．xx·东北三校二模已知a，b，c0，a＋b＋c＝

1.求证1＋＋≤；2＋＋≥.证明1∵由柯西不等式得＋＋2＝1·＋1·＋1·2≤12＋12＋12·[2＋2＋2]＝3，当且仅当＝＝，即a＝b＝c＝时等号成立，∴＋＋≤.2∵由柯西不等式得[3a＋1＋3b＋1＋3c＋1]·≥2＝9，又a＋b＋c＝1，∴6≥9，∴＋＋≥.。