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2019-2020年高考数学一轮复习第十二章不等式选讲课时达标70不等式的证明[解密考纲]不等式的证明以解答题进行考查,主要考查综合法、比较法,还常用柯西不等式证明不等式或求最值.1.已知a,b都是正数,且a≠b,求证a3+b3a2b+ab
2.证明a3+b3-a2b+ab2=a+ba-b
2.因为a,b都是正数,所以a+b
0.又因为a≠b,所以a-b
20.于是a+ba-b20,即a3+b3-a2b+ab20,所以a3+b3a2b+ab
2.2.已知a,b,c都是正数,求证≥abc.证明因为b2+c2≥2bc,a20,所以a2b2+c2≥2a2bc,
①同理,b2a2+c2≥2ab2c,
②c2a2+b2≥2abc2,
③①②③相加得2a2b2+b2c2+c2a2≥2a2bc+2ab2c+2abc2,从而a2b2+b2c2+c2a2≥abca+b+c.由a,b,c都是正数,得a+b+c0,因此≥abc.3.xx·安徽联考已知函数fx=|x|-|2x-1|,记fx-1的解集为M.1求M;2已知a∈M,比较a2-a+1与的大小.解析1fx=|x|-|2x-1|=由fx-1,得或或解得0x2,故M={x|0x2}.2由1知0a2,因为a2-a+1-==,当0a1时,0,所以a2-a+1,当a=1时,=0,所以a2-a+1=,当1a2时,0,所以a2-a+1,综上所述当0a1时,a2-a+1,当a=1时,a2-a+1=,当1a2时,a2-a+
1.4.xx·全国卷Ⅲ已知函数fx=+,M为不等式fx<2的解集.1求M;2证明当a,b∈M时,<.解析1fx=当x≤-时,由fx2得-2x2,解得x-1,即-1x≤-;当-x时,fx2,即-x;当x≥时,由fx2得2x2,解得x1,即≤x
1.所以fx2的解集M={x|-1x1}.2证明由1知,当a,b∈M时,-1a1,-1b1,从而a+b2-1+ab2=a2+b2-a2b2-1=a2-11-b
20.因此|a+b||1+ab|.5.xx·全国卷Ⅱ已知a0,b0,a3+b3=
2.证明1a+ba5+b5≥4;2a+b≤
2.证明1a+ba5+b5=a6+ab5+b6+a5b=a3+b32-2a3b3+aba4+b4=4+aba2-b22≥
4.2因为a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3aba+b≤2+a+b=2+,所以a+b3≤8,因此a+b≤
2.6.xx·东北三校二模已知a,b,c0,a+b+c=
1.求证1++≤;2++≥.证明1∵由柯西不等式得++2=1·+1·+1·2≤12+12+12·[2+2+2]=3,当且仅当==,即a=b=c=时等号成立,∴++≤.2∵由柯西不等式得[3a+1+3b+1+3c+1]·≥2=9,又a+b+c=1,∴6≥9,∴++≥.。