2019-2020年高考数学一轮复习第十五章圆锥曲线与方程15.2双曲线讲义

2019-2020年高考数学一轮复习第十五章圆锥曲线与方程

15.2双曲线讲义考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度xxxxxxxxxx

1.双曲线的定义和标准方程求双曲线的标准方程A填空题★★☆

2.双曲线的性质双曲线的几何性质及简单运用A12题5分3题5分8题5分填空题★★☆分析解读　　双曲线作为一种重要的圆锥曲线考查的频度比较高试题难度一般中等偏下复习时不要过度挖掘.五年高考考点一　双曲线的定义和标准方程

1.xx课标全国Ⅲ理改编55分已知双曲线C:-=1a0b0的一条渐近线方程为y=x且与椭圆+=1有公共焦点则C的方程为　　　　. 答案　-=

12.xx天津文改编55分已知双曲线-=1a0b0的右焦点为F点A在双曲线的渐近线上△OAF是边长为2的等边三角形O为原点则双曲线的方程为　　　　. 答案　x2-=

13.xx天津理改编55分已知双曲线-=1a0b0的左焦点为F离心率为.若经过F和P04两点的直线平行于双曲线的一条渐近线则双曲线的方程为　　　　. 答案　-=

14.xx天津改编65分已知双曲线-=1a0b0的一条渐近线过点2且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上则双曲线的方程为　　　　. 答案　-=

15.xx广东改编75分已知双曲线C:-=1的离心率e=且其右焦点为F250则双曲线C的方程为　　　　. 答案　-=

16.xx天津改编55分已知双曲线-=1a0b0的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10双曲线的一个焦点在直线l上则双曲线的方程为　　　　. 答案　-=1教师用书专用7—

87.xx广东理改编75分已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F30离心率等于则C的方程是　　　　. 答案　-=

18.xx福建1913分已知双曲线E:-=1a0b0的两条渐近线分别为l1:y=2xl2:y=-2x.1求双曲线E的离心率;2如图O为坐标原点动直线l分别交直线l1l2于AB两点AB分别在第

一、四象限且△OAB的面积恒为

8.试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E若存在求出双曲线E的方程;若不存在说明理由.解析　1因为双曲线E的渐近线分别为y=2xy=-2x所以=2所以=2故c=a从而双曲线E的离心率e==.2解法一:由1知双曲线E的方程为-=

1.设直线l与x轴相交于点C.当l⊥x轴时若直线l与双曲线E有且只有一个公共点则|OC|=a|AB|=4a又因为△OAB的面积为8所以|OC|·|AB|=8因此a·4a=8解得a=2此时双曲线E的方程为-=

1.若存在满足条件的双曲线E则E的方程只能为-=

1.以下证明:当直线l不与x轴垂直时双曲线E:-=1也满足条件.设直线l的方程为y=kx+m依题意得k2或k-2则C.记Ax1y1Bx2y

2.由得y1=同理得y2=.由S△OAB=|OC|·|y1-y2|得·=8即m2=4|4-k2|=4k2-

4.由得4-k2x2-2kmx-m2-16=

0.因为4-k20所以Δ=4k2m2+44-k2m2+16=-164k2-m2-16又因为m2=4k2-4所以Δ=0即l与双曲线E有且只有一个公共点.因此存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E且E的方程为-=

1.解法二:由1知双曲线E的方程为-=

1.设直线l的方程为x=my+tAx1y1Bx2y

2.依题意得-m.由得y1=同理得y2=.设直线l与x轴相交于点C则Ct

0.由S△OAB=|OC|·|y1-y2|=8得|t|·=8所以t2=4|1-4m2|=41-4m

2.由得4m2-1y2+8mty+4t2-a2=

0.因为4m2-10直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=64m2t2-164m2-1t2-a2=0即4m2a2+t2-a2=0即4m2a2+41-4m2-a2=0即1-4m2a2-4=0所以a2=4因此存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E且E的方程为-=

1.解法三:当直线l不与x轴垂直时设直线l的方程为y=kx+mAx1y1Bx2y

2.依题意得k2或k-

2.由得4-k2x2-2kmx-m2=0因为4-k20Δ0所以x1x2=又因为△OAB的面积为8所以|OA|·|OB|·sin∠AOB=8又易知sin∠AOB=所以·=8化简得x1x2=

4.所以=4即m2=4k2-

4.由1得双曲线E的方程为-=1由得4-k2x2-2kmx-m2-4a2=0因为4-k20直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=4k2m2+44-k2m2+4a2=0即k2-4a2-4=0所以a2=4所以双曲线E的方程为-=

1.当l⊥x轴时由△OAB的面积等于8可得l:x=2又易知l:x=2与双曲线E:-=1有且只有一个公共点.综上所述存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E且E的方程为-=

1.考点二　双曲线的性质

1.xx江苏85分在平面直角坐标系xOy中双曲线-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点PQ其焦点是F1F2则四边形F1PF2Q的面积是　　　　. 答案　

22.xx课标全国Ⅱ文改编55分若a1则双曲线-y2=1的离心率的取值范围是　　　　. 答案　

13.xx课标全国Ⅱ理改编95分若双曲线C:-=1a0b0的一条渐近线被圆x-22+y2=4所截得的弦长为2则C的离心率为　　　　. 答案　

24.xx江苏35分在平面直角坐标系xOy中双曲线-=1的焦距是　　　　. 答案　

25.xx北京125分已知双曲线-=1a0b0的一条渐近线为2x+y=0一个焦点为0则a=　　　;b=　　　　. 答案　1;

26.xx浙江134分设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1F

2.若点P在双曲线上且△F1PF2为锐角三角形则|PF1|+|PF2|的取值范围是　　　　. 答案　

287.xx山东145分已知双曲线E:-=1a0b

0.矩形ABCD的四个顶点在E上ABCD的中点为E的两个焦点且2|AB|=3|BC|则E的离心率是　　　　. 答案　

28.xx江苏125分在平面直角坐标系xOy中P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立则实数c的最大值为　　　　. 答案　

9.xx课标Ⅰ改编55分已知Mx0y0是双曲线C:-y2=1上的一点F1F2是C的两个焦点.若·0则y0的取值范围是　　　　. 答案　

10.xx课标Ⅰ改编45分已知F为双曲线C:x2-my2=3mm0的一个焦点则点F到C的一条渐近线的距离为　　　　. 答案　

11.xx浙江165分设直线x-3y+m=0m≠0与双曲线-=1a0b0的两条渐近线分别交于点AB.若点Pm0满足|PA|=|PB|则该双曲线的离心率是　　　　. 答案　

12.xx课标全国Ⅰ理改编45分已知双曲线C:-=1a0b0的离心率为则C的渐近线方程为　　　　. 答案　y=±x

13.xx江西2013分如图已知双曲线C:-y2=1a0的右焦点为F点AB分别在C的两条渐近线上AF⊥x轴AB⊥OBBF∥OAO为坐标原点.1求双曲线C的方程;2过C上一点Px0y0y0≠0的直线l:-y0y=1与直线AF相交于点M与直线x=相交于点N.证明:当点P在C上移动时恒为定值并求此定值.解析　1设Fc0因为b=1所以c=直线OB的方程为y=-x直线BF的方程为y=x-c解得B.又直线OA的方程为y=x则AkAB==.又因为AB⊥OB所以·=-1解得a2=3故双曲线C的方程为-y2=

1.2由1知a=则直线l的方程为-y0y=1y0≠0即y=.因为直线AF的方程为x=2所以直线l与AF的交点为M;直线l与直线x=的交点为N则===·.因为Px0y0是C上一点则-=1代入上式得=·=·=所求定值为==.教师用书专用14—

2314.xx天津理改编65分已知双曲线-=1b0以原点为圆心双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于ABCD四点四边形ABCD的面积为2b则双曲线的方程为　　　　. 答案　-=

115.xx课标全国Ⅱ理改编115分已知F1F2是双曲线E:-=1的左右焦点点M在E上MF1与x轴垂直sin∠MF2F1=则E的离心率为　　　　. 答案　

16.xx浙江理改编75分已知椭圆C1:+y2=1m1与双曲线C2:-y2=1n0的焦点重合e1e2分别为C1C2的离心率则e1e2与1的大小关系为　　　　. 答案　e1e

2117.xx课标Ⅱ改编115分已知AB为双曲线E的左右顶点点M在E上△ABM为等腰三角形且顶角为120°则E的离心率为　　　　. 答案　

18.xx重庆改编105分设双曲线-=1a0b0的右焦点为F右顶点为A过F作AF的垂线与双曲线交于BC两点过BC分别作ACAB的垂线两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是　　　　. 答案　-10∪

0119.xx浙江96分双曲线-y2=1的焦距是　　　　渐近线方程是　　　　. 答案　2;y=±x

20.xx山东155分平面直角坐标系xOy中双曲线C1:-=1a0b0的渐近线与抛物线C2:x2=2pyp0交于点OAB.若△OAB的垂心为C2的焦点则C1的离心率为　　　　. 答案　

21.xx湖南135分设F是双曲线C:-=1的一个焦点.若C上存在点P使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点则C的离心率为　　　　. 答案　

22.xx大纲全国改编95分已知双曲线C的离心率为2焦点为F

1、F2点A在C上.若|F1A|=2|F2A|则cos∠AF2F1=　　　　. 答案　

23.xx山东理改编115分抛物线C1:y=x2p0的焦点与双曲线C2:-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线则p=　　　　. 答案　三年模拟A组　xx模拟·基础题组考点一　双曲线的定义和标准方程

1.苏教选2—1二38变式设椭圆C1的离心率为焦点在x轴上且长轴长为26若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8则曲线C2的标准方程为　　　　. 答案　-=

12.xx江苏前黄中学月考若双曲线-=1上的一点P到它的右焦点的距离为8则点P到它的左焦点的距离是　　　　. 答案　4或

123.xx江苏南通一模7在平面直角坐标系xOy中已知双曲线-=1a0b0过点P11其一条渐近线方程为y=x则该双曲线的方程为　　　　. 答案　2x2-y2=1考点二　双曲线的性质

4.xx江苏姜堰中学高三期中双曲线x2-y2=1的离心率为　　　　. 答案　

5.xx江苏前黄中学等五校检测直线x-y=0为双曲线x2-=1b0的一条渐近线则b的值为　　　　. 答案　

6.xx江苏南通中学高三阶段检测等轴双曲线C的中心在原点焦点在x轴上C与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点AB=4则双曲线C的实轴长为　　　　. 答案　

47.xx江苏泰州中学模拟5若双曲线x2-=1的焦点到渐近线的距离为2则实数k的值是　　　　. 答案　

88.xx江苏南京学情调研8在平面直角坐标系xOy中双曲线C:-=1a0的一条渐近线与直线y=2x+1平行则实数a的值是　　　　. 答案　

19.xx江苏南京盐城一模7设双曲线-y2=1a0的一条渐近线的倾斜角为30°则该双曲线的离心率为　　　　. 答案　

10.xx江苏南京师范大学附中期中8若双曲线-=1的一条渐近线经过点3-4则此双曲线的离心率为　　　　. 答案　B组　xx模拟·提升题组满分:20分　时间:10分钟填空题每小题5分共20分

1.xx江苏连云港四校期中设F1F2为双曲线-=1的左、右焦点以F1F2为直径的圆与双曲线左支交于AB两点且∠AF1B=120°.则双曲线的离心率为　　　　　　. 答案　+

12.xx江苏苏中部分名校联考过双曲线-=1a0b0的右顶点A作斜率为-1的直线该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为BC.若=则双曲线的离心率是　　　　. 答案　

3.xx江苏苏北四市调研7抛物线y2=4x的焦点到双曲线-=1渐近线的距离为　　　　. 答案　

4.苏教选2—1二38变式已知双曲线-=1a0b0的左、右焦点分别为F

1、F2点P在双曲线的右支上且PF1=4PF2则此双曲线的离心率e的最大值为　　　　. 答案　C组　xx模拟·方法题组方法1　求双曲线标准方程的方法

1.已知双曲线-=1a0b0的一条渐近线方程是y=x它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同则双曲线的方程为　　　　. 答案　-=

12.xx山西太原质检如图已知双曲线以长方形ABCD的顶点A、B为左、右焦点且双曲线过C、D两顶点.若AB=4BC=3则此双曲线的标准方程为　　　　. 答案　x2-=1方法2　求双曲线的离心率或离心率的取值范围

3.设直线l过双曲线C的一个焦点且与C的一条对称轴垂直l与C交于AB两点AB为C的实轴长的2倍则C的离心率为　　　　. 答案　方法3　求双曲线中的最值

4.已知双曲线C的两个焦点分别为F1-20F220双曲线C上一点P到F1F2的距离差的绝对值等于

2.1求双曲线C的标准方程;2经过点M21作直线l交双曲线C的右支于AB两点且M为AB的中点求直线l的方程;3已知定点G12点D是双曲线C右支上的动点求DF1+DG的最小值.解析　1设双曲线的方程为-=1a0b0依题意得a=1c=2所以b==.所以双曲线C的标准方程为x2-=

1.2设AB的坐标分别为x1y1x2y2则两式相减得3x1-x2x1+x2-y1-y2y1+y2=

0.因为M21为AB的中点所以所以12x1-x2-2y1-y2=0即kAB==6故直线l的方程为y-1=6x-2即6x-y-11=

0.3由已知得DF1-DF2=2即DF1=DF2+2所以DF1+DG=DF2+DG+2≥GF2+2当且仅当GDF2三点共线时取等号.因为GF2==所以DF2+DG+2≥GF2+2=+2故DF1+DG的最小值为+

2.。