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2019-2020年高考数学一轮复习第十四单元椭圆双曲线抛物线双基过关检测理
一、选择题1.抛物线顶点在原点,焦点在y轴上,若其上一点Pm1到焦点的距离为5,则抛物线的标准方程为 A.y=8x2 B.y=16x2C.x2=8yD.x2=16y解析选D 根据题意知,点Pm1在x轴上方,则抛物线开口向上,设其标准方程为x2=2py,其准线方程为y=-,由点P到焦点的距离为5,得1-=5解得p=8,则抛物线的标准方程为x2=16y.2.椭圆+=1的焦距为2,则m的值为 A.9B.23C.9或23D.16-或16+解析选C 由椭圆+=1的焦距为2,可得,2=2或2=2,解得m=9或
23.3.过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于Px1,y1,Qx2,y2两点,如果x1+x2=6,则|PQ|= A.9B.8C.7D.6解析选B 抛物线y2=4x的焦点为F10,准线方程为x=-
1.根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=
8.4.若双曲线C-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C上一点,满足·=0的点P依次记为P1,P2,P3,P4,则四边形P1P2P3P4的面积为 A.B.2C.D.2解析选C 设Px,y,由已知得F1-,0,F2,0,则--x,-y·-x,-y=x2-5+y2=0,即x2+y2=5,与双曲线方程-y2=1联立,可得交点分别为,,,,它们构成一个长为,宽为的长方形,所以四边形P1P2P3P4的面积为×=.5.若双曲线-=1a>0,b>0的离心率为,则其渐近线方程为 A.y=±3xB.y=±xC.y=±2xD.y=±x解析选D 因为双曲线-=1a>0,b>0的离心率为,所以e==,即e2===1+=10,所以=
3.因为双曲线-=1的焦点在y轴上,其渐近线方程为y=±x,所以该双曲线的渐近线方程为y=±x.6.已知椭圆C+=1ab0的左、右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点,若△AF1B的周长为4,则椭圆C的方程为 A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1解析选A 由椭圆的性质知|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,又∵|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4,∴a=.又e=,∴c=1,∴b2=a2-c2=2,∴椭圆的方程为+=
1.7.已知双曲线-=1的右焦点为F,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此直线斜率的取值范围是 A.B.C.D.解析选C 由题意知F40,双曲线的两条渐近线方程为y=±x.当过点F的直线与渐近线平行时,满足与右支只有一个交点,画出图象,数形结合可知应选C.8.已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为 A.B.C.1D.解析选B 如图,设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,则根据椭圆及双曲线的定义可得,|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|-|PF2|=2a2,∴|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a
2.设|F1F2|=2c,又∠F1PF2=,在△PF1F2中,由余弦定理得,4c2=a1+a22+a1-a22-2a1+a2a1-a2cos,化简得2-a+2+a=4c2,即+=
4.又∵+≥=,∴≤4,即e1·e2≥,∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为.
二、填空题9.xx·北京高考若双曲线x2-=1的离心率为,则实数m=________.解析由双曲线的标准方程可知a2=1,b2=m,所以a=1,c=,所以e==,解得m=
2.答案210.xx·全国卷Ⅲ双曲线-=1a>0的一条渐近线方程为y=x,则a=________.解析∵双曲线的标准方程为-=1a>0,∴双曲线的渐近线方程为y=±x.又双曲线的一条渐近线方程为y=x,∴a=
5.答案511.与椭圆+=1有相同的焦点,且离心率为的椭圆的标准方程为__________.解析由椭圆+=1,得a2=9,b2=4,∴c2=a2-b2=5,∴该椭圆的焦点坐标为.设所求椭圆方程为+=1,a>b>0,则c=,又=,得a=5,∴b2=25-5=
20.∴所求椭圆方程为+=
1.答案+=112.xx·西安中学模拟如图,过抛物线y=x2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2+y-12=1交于A,B,C,D四点,则·=________.解析不妨设直线AB的方程为y=1,联立解得x=±2,则A-21,D21,因为B-11,C11,所以=10,=-10,所以·=-
1.答案-1
三、解答题13.已知椭圆C+=1a>b>0的短轴长为2,且函数y=x2-的图象与椭圆C仅有两个公共点,过原点的直线l与椭圆C交于M,N两点.1求椭圆C的标准方程;2若点P为线段MN的中垂线与椭圆C的一个公共点,求△PMN面积的最小值,并求此时直线l的方程.解1由题意可得,2b=2,所以b=
1.联立+y2=1a>1与y=x2-,消去y,整理得x4+x2+=0,根据椭圆C与抛物线y=x2-的对称性,可得Δ=2-4×=0,a>1,解得a=
2.∴椭圆C的标准方程为+y2=
1.2
①当直线l的斜率不存在时,S△PMN=×2b×a=2;当直线l的斜率为0时,S△PMN=×2a×b=2;
②当直线l的斜率存在且不为0时.设直线l的方程为y=kx,由解得x2=,y2=.∴|MN|=2=
4.由题意可得,线段MN的中垂线方程为y=-x,联立可得x2=,y2=.∴|OP|==
2.∴S△PMN=·|MN|·|OP|=≥=,当且仅当k=±1时取等号,此时△PMN的面积的最小值为.∵2,∴△PMN的面积的最小值为,直线l的方程为y=±x.
14.已知点F为抛物线E y2=2pxp0的焦点,点A2,m在抛物线E上,且|AF|=
3.1求抛物线E的方程;2已知点G-10,延长AF交抛物线E于点B,证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.解1由抛物线的定义得|AF|=2+.因为|AF|=3,即2+=3,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x.2因为点A2,m在抛物线E y2=4x上,所以m=±
2.由抛物线的对称性,不妨设A22.由A22,F10可得直线AF的方程为y=2x-1.由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G-10,所以kGA==,kGB==-,所以kGA+kGB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.。