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2019-2020年高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程
10.3抛物线及其性质课时练理 时间45分钟
1.[xx·衡水二中周测]若抛物线y2=2px上一点P2,y0到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为 A.y2=4xB.y2=6xC.y2=8xD.y2=10x答案 C解析 ∵抛物线y2=2px,∴准线为x=-.∵点P2,y0到其准线的距离为4,∴=4,∴p=
4.∴抛物线的标准方程为y2=8x,故选C.2.[xx·枣强中学仿真]已知双曲线C1-=1a0,b0的焦距是实轴长的2倍.若抛物线C2x2=2pyp0的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为 A.x2=yB.x2=yC.x2=8yD.x2=16y答案 D解析 ∵2c=4a,∴c=2a,又a2+b2=c2,∴b=a,∴渐近线y=±x,又∵抛物线C2的焦点,∴d==2,∴p=8,∴抛物线C2的方程为x2=16y.
3.[xx·衡水二中月考]如图,过抛物线y2=2pxp0的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为 A.y2=9xB.y2=6xC.y2=3xD.y2=x答案 C解析 如图,分别过A,B作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1,由抛物线的定义知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|,∴∠BCB1=30°,∴∠AFx=60°.连接A1F,则△AA1F为等边三角形,过F作FF1⊥AA1于F1,则F1为AA1的中点,设l交x轴于K,则|KF|=|A1F1|=|AA1|=|AF|,即p=,∴抛物线方程为y2=3x,故选C.
4.[xx·武邑中学热身]已知点M-32是坐标平面内一定点,若抛物线y2=2x的焦点为F,点Q是该抛物线上的一动点,则|MQ|-|QF|的最小值是 A.B.3C.D.2答案 C解析 抛物线的准线方程为x=-,当MQ∥x轴时,|MQ|-|QF|取得最小值,此时|QM|-|QF|=3-=,选C.5.[xx·衡水二中热身]已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M2,y0.若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|= A.2B.2C.4D.2答案 B解析 设抛物线方程为y2=2pxp0,则焦点坐标为,准线方程为x=-,∵M在抛物线上,∴M到焦点的距离等于到准线的距离,∴=2+=
3.解得p=2,y0=±
2.∴点M2,±2,根据两点距离公式有∴|OM|==
2.
6.[xx·武邑中学期末]已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为x-y+4=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为 A.+2B.+1C.-2D.-1答案 D解析 因为抛物线的方程为y2=4x,所以焦点为F10,准线方程为x=-1,因为点P到y轴的距离为d1,所以到准线的距离为d1+1,又d1+1=|PF|,所以d1+d2=d1+1+d2-1=|PF|+d2-1,焦点F到直线l的距离d===,而|PF|+d2≥d=,所以d1+d2=|PF|+d2-1≥-1,选D.7.[xx·衡水二中预测]已知抛物线y2=2pxp0,过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为3,则该抛物线的准线方程为 A.x=1B.x=2C.x=-1D.x=-2答案 C解析 设Ax1,y1,Bx2,y2,直线AB的方程为y=-,与抛物线方程联立得,,消去y整理得x2-3px+=0,可得x1+x2=3p.根据中点坐标公式,有=3,p=2,因此抛物线的准线方程为x=-
1.8.[xx·枣强中学月考]过抛物线y2=2pxp0焦点F的直线l与抛物线交于B、C两点,l与抛物线的准线交于点A,且|AF|=6,=2,则|BC|= A.B.6C.D.8答案 A解析 不妨设直线l的倾斜角为θ,其中0θ,点Bx1,y
1、Cx2,y2,则点B在x轴的上方.过点B作该抛物线的准线的垂线,垂足为B1,于是有|BF|=|BB1|=3,=,由此得p=2,抛物线方程是y2=4x,焦点F10,cosθ===,sinθ==,tanθ==2,直线l y=2x-1.由得8x-12=4x,即2x2-5x+2=0,x1+x2=,|BC|=x1+x2+p=+2=,选A.9.[xx·衡水二中猜题]已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+y-42=1上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是________.答案 -1解析 由题意知,圆x2+y-42=1的圆心为C04,半径为1,抛物线的焦点为F10.根据抛物线的定义,点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点的距离之和,因此|PQ|+|PF|≥|PC|+|PF|-1≥|CF|-1=-
1.10.[xx·衡水二中一轮检测]已知圆C x2+y2+6x+8y+21=0,抛物线y2=8x的准线为l,设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m,则m+|PC|的最小值为________.答案 解析 由题意得圆C的方程为x+32+y+42=4,圆心C坐标为-3,-4.由抛物线定义知,当m+|PC|最小时,为圆心与抛物线焦点间的距离,即m+|PC|min==.11.[xx·冀州中学周测]已知直线l与抛物线y2=8x交于A、B两点,且l经过抛物线的焦点F,A点的坐标为88,则线段AB的中点到准线的距离是________.答案 解析 由y2=8x知2p=8,∴p=4,则点F的坐标为20.由题设可知,直线l的斜率存在,设l的方程为y=kx-2,点A,B的坐标分别为xA,yA,xB,yB.又点A88在直线上,∴8=k8-2,解得k=.∴直线l的方程为y=x-2.
①将
①代入y2=8x,整理得2x2-17x+8=0,则xA+xB=,∴线段AB的中点到准线的距离是+=+2=.12.[xx·冀州中学热身]已知过抛物线y2=2pxp0的焦点,斜率为2的直线交抛物线于Ax1,y1,Bx2,y2x1x2两点,且|AB|=
9.1求该抛物线的方程;2O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值.解 1直线AB的方程是y=2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=.由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,所以p=4,从而抛物线方程是y2=8x.2由p=44x2-5px+p2=0可得x2-5x+4=0,从而x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4,从而A1,-2,B44.设=x3,y3=1,-2+λ44=4λ+14λ-2,又y=8x3,即[22λ-1]2=84λ+1,即2λ-12=4λ+1,解得λ=0或λ=
2.能力组
13.[xx·枣强中学周测]设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M,0的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|=2,则△BCF与△ACF的面积之比= A.B.C.D.答案 A解析 如图,过A,B作准线l x=-的垂线,垂足分别为A1,B1,由于F到直线AB的距离为定值,∴=.又∵△B1BC∽△A1AC,∴=,由抛物线定义知==,∴=.由|BF|=|BB1|=2知xB=,yB=-,∴直线AB的方程为y-0=x-.把x=代入上式,求得yA=2,xA=2,∴|AF|=|AA1|=.故===.故选A.14.[xx·冀州中学预测]已知点P是抛物线y2=2x上的动点,点P到准线的距离为d,且点P在y轴上的射影是M,点A,则|PA|+|PM|的最小值是 A.B.4C.D.5答案 C解析 设抛物线y2=2x的焦点为F,则F,又点A在抛物线外,抛物线的准线方程为x=-,则|PM|=d-,又|PA|+d=|PA|+|PF|≥|AF|=5,所以|PA|+|PM|=|PA|+d-≥5-=,即|PA|+|PM|min=.故选C.15.[xx·衡水二中热身]如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽________米.答案 2解析 建立适当的坐标系,如图所示,可求出抛物线的方程是x2=-2y,当y=-3时,x2=-2×-3=6,所以x=±,即水面宽是2米.16.[xx·武邑中学期末]设抛物线C x2=2pyp0的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.1若∠BFD=90°,△ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;2若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.解 1由题意易知B,D两点关于y轴对称,所以|FB|=|FD|.故△BFD为等腰直角三角形.设BD交y轴于点E,则|BE|=|DE|=|EF|=p.所以|BD|=2p.故圆F的半径|FA|=|FB|=p.由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=p.因为△ABD的面积为4,所以|BD|·d=4,即·2p·p=4,得p=-2舍去或p=
2.所以F01.故圆F的方程为x2+y-12=
8.2因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°.由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|,所以∠ABD=30°,m的斜率为或-.当m的斜率为时,由已知可设n y=x+b,代入x2=2py得x2-px-2pb=
0.由于n与C只有一个公共点,故Δ=p2+8pb=0,解得b=-.因为m的截距b1=,=3,所以坐标原点到m,n距离的比值为
3.当m的斜率为-时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为
3.。