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2019-2020年高考数学一轮复习第十章概率分层限时跟踪练
一、选择题1.xx·韶关模拟在区间
[02]之间随机抽取一个数x,则x满足2x-1≥0的概率为 A. B. C. D.【解析】 由2x-1≥0得x≥,故所求概率P==.【答案】 A2.如图1032,M是半径为R的圆周上一个定点,在圆周上等可能的任取一点N,连接MN,则弦MN的长度超过R的概率是 图1032A.B.C.D.【解析】 由题意知,当MN=R时,∠MON=,所以所求概率为1-=.【答案】 D3.在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1内任取一点P,则点P到正方体各面的距离都不小于1的概率为 A.B.C.D.【解析】 正方体中到各面的距离不小于1的点的集合是一个中心与原正方体中心重合,且棱长为1的正方体,该正方体的体积是V1=13=1,而原正方体的体积为V=33=27,故所求的概率为P==.【答案】 A
4.xx·河南三市联考在区间[-π,π]内随机取两个数分别为a,b,则使得函数fx=x2+2ax-b2+π2有零点的概率为 A.1-B.1-C.1-D.1-【解析】 函数fx=x2+2ax-b2+π2有零点,需Δ=4a2-4-b2+π2≥0,即a2+b2≥π2成立.而a,b∈[-π,π],建立平面直角坐标系,满足a2+b2≥π,点a,b如图阴影部分所示,所求事件的概率为P===1-.【答案】 B5.xx·昌平模拟设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点,则此点到直线y+2=0的距离大于2的概率是 A.B.C.D.【解析】 作出平面区域D,可知平面区域D是以A43,B4,-2,C-6,-2为顶点的三角形区域,当点在△AED区域内时,点到直线y+2=0的距离大于
2.∴P===.【答案】 D
二、填空题6.xx·烟台模拟在区间上随机取一个数x,则cosx的值介于0到之间的概率为________.【解析】 当-≤x≤时,由0≤cosx≤,得-≤x≤-或≤x≤,由几何概型概率公式得P=.【答案】 7.xx·武汉调研在区间01内随机地取出两数,则这两数之和小于的概率是________.【解析】 设随机取出的两个数分别为x,y,则0<x<10<y<1,依题意有x+y<,由几何概型知,所求概率为P==.【答案】 8.如图1033所示,在△ABC中,∠B=60°,∠C=45°,高AD=,在∠BAC内作射线AM交BC于点M,则BM<1的概率为________.图1033【解析】 因为∠B=60°,∠C=45°,所以∠BAC=75°,在Rt△ABD中,AD=,∠B=60°,所以BD==1,∠BAD=30°.记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M,使BM<1”,则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生.由几何概型的概率公式,得PN==.【答案】
三、解答题9.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,在正方体内随机取点M,求使四棱锥MABCD的体积小于的概率.【解】 如图,正方体ABCDA1B1C1D
1.设MABCD的高为h,则×SABCD×h<,又SABCD=1,∴h<,即点M在正方体的下半部分,∴所求概率P==.10.身处广州的姐姐和身处沈阳的弟弟在春节前约定分别乘A,B两列火车在郑州火车站会面,并约定先到者等待时间不超过10分钟.当天A,B两列火车正点到站的时间是上午9点,每列火车到站的时间误差为±15分钟,不考虑其他因素,求姐弟俩在郑州火车站会面的概率.【解】 设姐姐到的时间为x,弟弟到的时间为y,建立坐标系如图,由题意可知,当|y-x|≤时,姐弟俩会面,又正方形的面积为,阴影部分的面积为,所求概率P==.1.在△ABC中,∠ABC=60°,AB=2,BC=6,在BC上任取一点D,则使△ABD为钝角三角形的概率为 A. B. C. D.【解析】 如图,当BE=1时,∠AEB为直角,则点D在线段BE不包含B,E点上时,△ABD为钝角三角形;当BF=4时,∠BAF为直角,则点D在线段CF不包含C、F点上时,△ABD为钝角三角形,所以△ABD为钝角三角形的概率为=.【答案】 C2.xx·佛山二模已知函数fx=x2+bx+c,其中0≤b≤40≤c≤
4.记函数fx满足条件为事件A,则事件A发生的概率为 A.B.C.D.【解析】 由题意,得即表示的区域如图阴影部分所示,可知阴影部分的面积为8,所以所求概率为,故选C.【答案】 C3.如图1034所示,图
②中实线围成的部分是长方体图
①的平面展开图,其中四边形ABCD是边长为1的正方形.若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的概率是,则此长方体的体积是________.图1034【解析】 设长方体的高为h,由几何概型的概率计算公式可知,质点落在长方体的平面展开图内的概率P==,解得h=3或h=-舍去,故长方体的体积为1×1×3=
3.【答案】
34.如图1035,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是____________.图1035【解析】 如图,设OA=2,S扇形AOB=π,S△OCD=×1×1=,S扇形OCD=,∴在以OA为直径的半圆中,空白部分面积S1=-2=1,所有阴影面积为π-
2.故所求概率P==1-.【答案】 1-5.将一个质点随机投放在关于x,y的不等式组所构成的三角形区域内,求该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率.【解】 画出关于x,y的不等式组所构成的三角形区域,如图,三角形ABC的面积为S1=×3×4=6,离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S2=π,所以其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为P=1-=1-.6.已知关于x的一元二次方程x2-2a-2x-b2+16=
0.1若a,b是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数,求方程有两个正实数根的概率;2若a∈
[26],b∈
[04],求一元二次方程没有实数根的概率.【解】 1基本事件a,b共有36个,且a,b∈{123456},方程有两个正实数根等价于a-2>016-b2>0,Δ≥0,即a>2,-4<b<4,a-22+b2≥
16.设“一元二次方程有两个正实数根”为事件A,则事件A所包含的基本事件数为61,62,63,53共4个,故所求的概率为PA==.2试验的全部结果构的区域Ω={a,b|2≤a≤60≤b≤4},其面积为SΩ=
16.设“一元二次方程没有实数根”为事件B,则构成事件B的区域为B={a,b|2≤a≤60≤b≤4,a-22+b2<16},其面积为SB=×π×42=4π.故所求的概率为PB==.7.xx·山西质量检测如图1036,一个靶子由四个同心圆组成,且半径分别为
1357.图1036规定击中A,B,C,D区域分别可获得5分,3分,2分,1分,脱靶即击中最大圆之外的某点得0分.1甲射击时脱靶的概率为
0.02,若未脱靶则等可能地击中靶子上的任意一点,求甲射击一次得分的数学期望;2已知乙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过4,丙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过
5.
①乙、丙二人各射击一次,且二人击中各自范围内每一点的可能性相等,求乙得分比丙高的概率;
②乙、丙二人各射击一次,记U,V分别为乙、丙二人击中的位置到圆心的距离,且U,V取各自范围内的每个值的可能性相等,求乙获取即U<V的概率.【解】 1设甲射击一次得分为X,则X的所有可能取值为53210,PX=5=×1-
0.02=
0.02,PX=3=×1-
0.02=
0.16,PX=2=×1-
0.02=
0.32,PX=1=×1-
0.02=
0.48,PX=0=
0.02,故X的数学期望EX=5×
0.02+3×
0.16+2×
0.32+1×
0.48+0×
0.02=
1.
7.2
①设乙、丙射击一次的得分分别为Y,Z,则Y的所有可能取值为532,Z的所有可能取值为532,PY=5==,PY=3==,PY=2==,PZ=5==,PZ=3==,PZ=2==.故所求概率P1=×+×+×=.
②由题意得不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,根据几何概型的概率计算公式可知乙获胜的概率P2==.。