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2019-2020年高考数学一轮复习第十章算法复数推理与证明课时达标检测五十一数学归纳法
一、全员必做题1.xx·南通期初已知fn=1++++…+,gn=-,n∈N*.1当n=123时,试比较fn与gn的大小关系;2猜想fn与gn的大小关系,并给出证明.解1当n=1时,f1=1,g1=-=1,所以f1=g1;当n=2时,f2=1+=,g2=-=,所以f2<g2;当n=3时,f3=1++=,g3=-=,所以f3<g3.2由1猜想fn≤gn,下面用数学归纳法给出证明.
①当n=1时,不等式显然成立.
②假设当n=kk∈N*时不等式成立.即1++++…+<-,那么,当n=k+1时,fk+1=fk+<-+,因为-=-=<0,所以fk+1<-=gk+1.由
①②可知,对一切n∈N*,都有fn≤gn成立.2.xx·苏北四市模拟已知数列{an}满足an=3n-2,fn=++…+,gn=fn2-fn-1,n∈N*.求证1g2>;2当n≥3时,gn>.证明1由题意知,an=3n-2,gn=+++…+,当n=2时,g2=++=++=>.2用数学归纳法加以证明
①当n=3时,g3=+++…+=++++++=++>++=++>++>,所以当n=3时,结论成立.
②假设当n=k时,结论成立,即gk>,则n=k+1时,gk+1=gk+++…+->+>+-=+=+,由k≥3可知,3k2-7k-3>0,即gk+1>.所以当n=k+1时,结论也成立.综合
①②可得,当n≥3时,gn>.3.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*,点n,Sn均在函数y=bx+rb>0且b≠1,b,r均为常数的图象上.1求r的值.2当b=2时,记bn=2log2an+1n∈N*,证明对任意的n∈N*,不等式··…·>成立.解1由题意,Sn=bn+r,当n≥2时,Sn-1=bn-1+r.所以an=Sn-Sn-1=bn-1b-1.由于b>0且b≠1,所以n≥2时,{an}是以b为公比的等比数列.又a1=b+r,a2=bb-1,所以=b,即=b,解得r=-
1.2证明由1知an=2n-1,因此bn=2nn∈N*,所证不等式为··…·>.
①当n=1时,左式=,右式=,左式>右式,所以结论成立.
②假设n=kk≥1,k∈N*时结论成立,即··…·>,则当n=k+1时,··…··>·=,要证当n=k+1时结论成立,只需证≥,即证≥,由基本不等式得=≥成立,故≥成立,所以,当n=k+1时,结论成立.由
①②可知,n∈N*时,不等式··…·>成立.
二、重点选做题1.xx·盐城模拟记fn=3n+2C+C+C+…+Cn≥2,n∈Z.1求f2,f3,f4的值;2当n≥2,n∈N*时,试猜想所有fn的最大公约数,并证明.解1因为fn=3n+2C+C+C+…+C=3n+2C,所以f2=8,f3=44,f4=
140.2由1中结论可猜想所有fn的最大公约数为
4.下面用数学归纳法证明所有的fn都能被4整除即可.
①当n=2时,f2=8能被4整除,结论成立;
②假设n=k时,结论成立,即fk=3k+2C能被4整除,则当n=k+1时,fk+1=3k+5C=3k+2C+3C=3k+2C+C+k+2C=3k+2C+3k+2C+k+2C=3k+2C+4k+1C=fk+4k+1C,此式也能被4整除,即n=k+1时结论也成立.综上所述,所有fn的最大公约数为
4.2.已知集合X={123},Yn={123,…,n}n∈N*,设Sn={a,b|a整除b或b整除a,a∈X,b∈Yn},令fn表示集合Sn所含元素的个数.1写出f6的值;2当n≥6时,写出fn的表达式,并用数学归纳法证明.解1Y6={123456},S6中的元素a,b满足若a=1,则b=123456;若a=2,则b=1246;若a=3,则b=
136.所以f6=
13.2当n≥6时,fn=t∈N*下面用数学归纳法证明
①当n=6时,f6=6+2++=13,结论成立.
②假设n=kk≥6时结论成立,那么n=k+1时,Sk+1在Sk的基础上新增加的元素在1,k+1,2,k+1,3,k+1中产生,分以下情形讨论a.若k+1=6t,则k=6t-1+5,此时有fk+1=fk+3=k+2+++3=k+1+2++,结论成立;b.若k+1=6t+1,则k=6t,此时有fk+1=fk+1=k+2+++1=k+1+2++,结论成立;c.若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有fk+1=fk+2=k+2+++2=k+1+2++,结论成立;d.若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有fk+1=fk+2=k+2+++2=k+1+2++,结论成立;e.若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有fk+1=fk+2=k+2+++2=k+1+2++,结论成立;f.若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有fk+1=fk+1=k+2+++1=k+1+2++,结论成立.综上所述,结论对满足n≥6的自然数n均成立.
三、冲刺满分题1.xx·扬州模拟已知函数fx=2x-3x2,设数列{an}满足a1=,an+1=fan.求证1对任意的n∈N*,都有0<an<;2++…+≥4n+1-
4.证明1
①当n=1时,a1=,有0<a1<,∴n=1时,不等式成立.
②假设当n=kk∈N*时,不等式成立,即0<ak<.则当n=k+1时,ak+1=fak=2ak-3a=-32+,于是-ak+1=
32.因为0<ak<,所以0<32<,即0<-ak+1<,可得0<ak+1<.所以当n=k+1时,不等式也成立.由
①②可知,对任意的正整数n,都有0<an<.2由1可得-an+1=32,两边同时取以3为底的对数,可得log3=1+2log3,化简为1+log3=
2.所以数列是以log3为首项,2为公比的等比数列,所以1+log3=2n-1log3,化简求得-an=×2n-1,所以=3×42n-1,因为当n≥2时,2n-1=C+C+C+…+C≥1+n-1=n,又当n=1时,2n-1=1,所以对任意的n∈N*2n-1≥n,所以=3×42n-1≥3×4n,则++…+=3[420+421+…+42n-1]≥3[41+42+…+4n]=4n+1-4,所以++…+≥4n+1-
4.2.xx·无锡期初已知数列{an}满足a1=a2=a3=k,an+1=n≥3,n∈N*,其中k>0,数列{bn}满足bn=n=1234,….1求b1,b2,b3,b4;2求数列{bn}的通项公式;3是否存在正数k,使得数列{an}的每一项均为整数,如果不存在,说明理由;如果存在,求出所有的k.解1经过计算可知a4=k+1,a5=k+2,a6=k+4+.求得b1=b3=2,b2=b4=.2由条件可知an+1an-2=k+anan-
1.
①类似地有an+2an-1=k+an+1an.
②①-
②整理得,=,即bn=bn-
2.所以b2n-1=b2n-3=…=b1==2,b2n=b2n-2=…=b2==,所以bn=n∈N*,k>0.3假设存在正数k,使得数列{an}的每一项均为整数,则由2可知
③由a1=k∈Z,a6=k+4+∈Z可知k=
12.当k=1时,=3为整数,利用a1,a2,a3∈Z,结合
③式,反复递推,可知{an}的每一项均为整数;当k=2时,
③变为
④我们用数学归纳法证明a2n-1为偶数,a2n为整数,n=1时,结论显然成立,假设n=k时结论成立,这时a2k-1为偶数,a2k为整数,故a2k+1=2a2k-a2k-1为偶数,a2k+2为整数,所以n=k+1时,命题成立,故数列{an}是整数列,综上所述,k的取值集合是{12}.。