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2019-2020年高考数学一轮复习第十章计数原理第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理理
一、选择题1.如图,用4种不同的颜色涂入图中的矩形A,B,C,D中,要求相邻的矩形涂色不同,则不同的涂法有 ABCDA.72种B.48种C.24种D.12种解析先分两类一是四种颜色都用,这时A有4种涂法,B有3种涂法,C有2种涂法,D有1种涂法,共有4×3×2×1=24种涂法;二是用三种颜色,这时A,B,C的涂法有4×3×2=24种,D只要不与C同色即可,故D有2种涂法.故不同的涂法共有24+24×2=72种.答案A2.如图,用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同的涂法共有 .A.400种B.460种C.480种D.496种解析 从A开始,有6种方法,B有5种,C有4种,D、A同色1种,D、A不同色3种,∴不同涂法有6×5×4×1+3=480种,故选C.答案 C3.某省高中学校自实施素质教育以来,学生社团得到迅猛发展,某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团.若每个社团至少有一名同学参加,每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团.且同学甲不参加“围棋苑”,则不同的参加方法的种数为 .A.72B.108C.180D.216解析 设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊,由题意,如果甲不参加“围棋苑”,有下列两种情况1从乙、丙、丁、戊中选一人如乙参加“围棋苑”,有C种方法,然后从甲与丙、丁、戊共4人中选2人如丙、丁并成一组与甲、戊分配到其他三个社团中,有CA种方法,故共有CCA种参加方法;2从乙、丙、丁、戊中选2人如乙、丙参加“围棋苑”,有C种方法,甲与丁、戊分配到其他三个社团中有A种方法,这时共有CA种参加方法;综合12,共有CCA+CA=180种参加方法.答案 C4.有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学,在数学检测时要求每位教师不能在本班监考,则监考的方法有 A.8种B.9种C.10种D.11种解析分四步完成,共有3×3×1×1=9种.答案B5.从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有 .A.300种B.240种C.144种D.96种解析 甲、乙两人不去巴黎游览情况较多,采用排除法,符合条件的选择方案有CA-CA=
240.答案 B6.4位同学从甲、乙、丙3门课程中选修1门,则恰有2人选修课程甲的不同选法有 .A.12种B.24种C.30种D.36种解析 分三步,第一步先从4位同学中选2人选修课程甲.共有C种不同选法,第二步给第3位同学选课程,有2种选法.第三步给第4位同学选课程,也有2种不同选法.故共有C×2×2=24种.答案 B
二、填空题7.将数字123456按第一行1个数,第二行2个数,第三行3个数的形式随机排列,设Nii=123表示第i行中最大的数,则满足N1<N2<N3的所有排列的个数是________.用数字作答解析 由已知数字6一定在第三行,第三行的排法种数为AA=60;剩余的三个数字中最大的一定排在第二行,第二行的排法种数为AA=4,由分步计数原理满足条件的排列个数是
240.答案 2408.数字123,…,9这九个数字填写在如图的9个空格中,要求每一行从左到右依次增大,每列从上到下也依次增大,当数字4固定在中心位置时,则所有填写空格的方法共有________种.解析 必有
1、
4、9在主对角线上,
2、3只有两种不同的填法,对于它们的每一种填法,5只有两种填法.对于5的每一种填法,
6、
7、8只有3种不同的填法,由分步计数原理知共有22×3=12种填法.答案 129.如果把个位数是1,且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”,那么在由1234四个数字组成的有重复数字的四位数中,“好数”共有________个.解析 当相同的数字不是1时,有C个;当相同的数字是1时,共有CC个,由分类加法计数原理得共有“好数”C+CC=12个.答案 1210.给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n≤4时,在所有不同的着色方案中,黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示由此推断,当n=6时,黑色正方形互不相邻的着色方案共有__________种,至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有________种.结果用数值表示答案21;43
三、解答题11.如图所示三组平行线分别有m、n、k条,在此图形中1共有多少个三角形?2共有多少个平行四边形?解 1每个三角形与从三组平行线中各取一条的取法是一一对应的,由分步计数原理知共可构成m·n·k个三角形.2每个平行四边形与从两组平行线中各取两条的取法是一一对应的,由分类和分步计数原理知共可构成CC+CC+CC个平行四边形.12.设集合M={-3,-2,-1012},Pa,b是坐标平面上的点,a,b∈M.1P可以表示多少个平面上的不同的点?2P可以表示多少个第二象限内的点?3P可以表示多少个不在直线y=x上的点?解 1分两步,第一步确定横坐标有6种,第二步确定纵坐标有6种,经检验36个点均不相同,由分步乘法计数原理得N=6×6=36个.2分两步,第一步确定横坐标有3种,第二步确定纵坐标有2种,根据分步乘法计数原理得N=3×2=6个.3分两步,第一步确定横坐标有6种,第二步确定纵坐标有5种,根据分步乘法计数原理得N=6×5=30个.13.现安排一份5天的工作值班表,每天有一个人值班,共有5个人,每个人都可以值多天班或不值班,但相邻两天不准由同一个人值班,问此值班表共有多少种不同的排法?解 可将星期
一、
二、
三、
四、五分给5个人,相邻的数字不分给同一个人.星期一可分给5人中的任何一人,有5种分法;星期二可分给剩余4人中的任何一人,有4种分法;星期三可分给除去分到星期二的剩余4人中的任何一人,有4种分法;同理星期四和星期五都有4种不同的分法,由分步计数原理共有5×4×4×4×4=1280种不同的排法.14.已知集合A={a1,a2,a3,a4},B={0123},f是从A到B的映射.1若B中每一元素都有原象,这样不同的f有多少个?2若B中的元素0必无原象,这样的f有多少个?3若f满足fa1+fa2+fa3+fa4=4,这样的f又有多少个?解 1显然对应是一一对应的,即为a1找象有4种方法,a2找象有3种方法,a3找象有2种方法,a4找象有1种方法,所以不同的f共有4×3×2×1=24个.20必无原象,123有无原象不限,所以为A中每一元素找象时都有3种方法.所以不同的f共有34=81个.3分为如下四类第一类,A中每一元素都与1对应,有1种方法;第二类,A中有两个元素对应1,一个元素对应2,另一个元素与0对应,有C·C=12种方法;第三类,A中有两个元素对应2,另两个元素对应0,有C·C=6种方法;第四类,A中有一个元素对应1,一个元素对应3,另两个元素与0对应,有C·C=12种方法.所以不同的f共有1+12+6+12=31个.。