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2019-2020年高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形
4.3三角函数的图象与性质理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y=sinx,x∈[02π]的图象中,五个关键点是00,,1,π,0,,-1,2π,0.余弦函数y=cosx,x∈[02π]的图象中,五个关键点是01,,0,π,-1,,0,2π,1.2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域RR{x|x∈R且x≠+kπ,k∈Z}值域[-11][-11]R单调性在[-+2kπ,+2kπ]k∈Z上递增;在[+2kπ,+2kπ]k∈Z上递减在[-π+2kπ,2kπ]k∈Z上递增;在[2kπ,π+2kπ]k∈Z上递减在-+kπ,+kπk∈Z上递增最值当x=+2kπk∈Z时,ymax=1;当x=-+2kπk∈Z时,ymin=-1当x=2kπk∈Z时,ymax=1;当x=π+2kπk∈Z时,ymin=-1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心kπ,0k∈Z+kπ,0k∈Z,0k∈Z对称轴方程x=+kπk∈Zx=kπk∈Z周期2π2ππ【知识拓展】1.对称与周期1正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.2正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.奇偶性若fx=Asinωx+φA,ω≠0,则1fx为偶函数的充要条件是φ=+kπk∈Z;2fx为奇函数的充要条件是φ=kπk∈Z.【思考辨析】判断下列结论是否正确请在括号中打“√”或“×”1y=sinx在第
一、第四象限是增函数. × 2常数函数fx=a是周期函数,它没有最小正周期. √ 3正切函数y=tanx在定义域内是增函数. × 4已知y=ksinx+1,x∈R,则y的最大值为k+
1. × 5y=sin|x|是偶函数. √ 6若sinx,则x. × 1.函数fx=cos2x-的最小正周期是 A.B.πC.2πD.4π答案 B解析 最小正周期为T===π.故选B.2.教材改编函数fx=3sin2x-在区间[0,]上的值域为 A.[-,]B.[-,3]C.[-,]D.[-,3]答案 B解析 当x∈[0,]时,2x-∈[-,],sin2x-∈[-,1],故3sin2x-∈[-,3],即fx的值域为[-,3].3.函数y=tan2x的定义域是 A.B.C.D.答案 D解析 由2x≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z,∴y=tan2x的定义域为.4.xx·开封模拟已知函数fx=4sin-2x,x∈[-π,0],则fx的单调递减区间是 A.[-π,-]B.[-π,-]C.[-π,-π],[-,0]D.[-π,-π],[-,0]答案 C解析 fx=4sin-2x=-4sin2x-.由-+2kπ≤2x-≤+2kπk∈Z,得-+kπ≤x≤π+kπk∈Z.所以函数fx的递减区间是[-+kπ,π+kπ]k∈Z.因为x∈[-π,0],所以函数fx的递减区间是[-π,-π],[-,0].5.已知函数fx=2sinωx+φ,对于任意x都有f=f,则f的值为________.答案 2或-2解析 ∵f=f,∴x=是函数fx=2sinωx+φ的一条对称轴.∴f=±
2.题型一 三角函数的定义域和值域例1 1函数fx=-2tan2x+的定义域是____________.2xx·郑州月考已知函数fx=sinx+,其中x∈[-,a],若fx的值域是[-,1],则实数a的取值范围是________.答案 1{x|x≠+,k∈Z} 2[,π]解析 1由2x+≠+kπ,k∈Z,得x≠+,k∈Z,所以fx的定义域为{x|x≠+,k∈Z}.2∵x∈[-,a],∴x+∈[-,a+],∵x+∈[-,]时,fx的值域为[-,1],∴由函数的图象知≤a+≤,∴≤a≤π.思维升华 1三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式组,常借助三角函数线或三角函数图象来求解.2三角函数值域的不同求法
①利用sinx和cosx的值域直接求;
②把所给的三角函数式变换成y=Asinωx+φ的形式求值域;
③通过换元,转换成二次函数求值域. 1函数y=lgsinx+的定义域为 .2函数y=2sin-0≤x≤9的最大值与最小值的和为__________.答案 122-解析 1要使函数有意义必须有即解得∴2kπ<x≤+2kπk∈Z,∴函数的定义域为.2∵0≤x≤9,∴-≤-≤,∴-≤sin-≤1,故-≤2sin-≤
2.即函数y=2sin-0≤x≤9的最大值为2,最小值为-.∴最大值与最小值的和为2-.题型二 三角函数的单调性例2 1函数fx=tan的单调递增区间是 A.k∈ZB.k∈ZC.k∈ZD.k∈Z2已知ω>0,函数fx=sin在上单调递减,则ω的取值范围是________.答案 1B 2解析 1由kπ-<2x-<kπ+k∈Z,得-<x<+k∈Z,所以函数fx=tan的单调递增区间为k∈Z,故选B.2由<x<π,ω>0,得+<ωx+<ωπ+,又y=sinx的单调递减区间为[2kπ+,2kπ+],k∈Z,所以k∈Z,解得4k+≤ω≤2k+,k∈Z.又由4k+-2k+≤0,k∈Z且2k+0,k∈Z,得k=0,所以ω∈[,].引申探究本例2中,若已知ω0,函数fx=cosωx+在,π上单调递增,则ω的取值范围是____________.答案 [,]解析 函数y=cosx的单调递增区间为[-π+2kπ,2kπ],k∈Z,则k∈Z,解得4k-≤ω≤2k-,k∈Z,又由4k--≤0,k∈Z且2k->0,k∈Z,得k=1,所以ω∈.思维升华 1已知三角函数解析式求单调区间
①求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”;
②求形如y=Asinωx+φ或y=Acosωx+φ其中ω>0的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.2已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解. 1函数fx=sin的单调减区间为________.2若函数fx=sinωxω>0在区间[0,]上单调递增,在区间[,]上单调递减,则ω等于 A.B.C.2D.3答案 1,k∈Z 2B解析 1已知函数可化为fx=-sin,欲求函数的单调减区间,只需求fx=sin的单调增区间.由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.故所给函数的单调减区间为k∈Z.2∵fx=sinωxω>0过原点,∴当0≤ωx≤,即0≤x≤时,y=sinωx是增函数;当≤ωx≤,即≤x≤时,y=sinωx是减函数.由fx=sinωxω>0在上单调递增,在上单调递减,知=,∴ω=.题型三 三角函数的周期性、对称性命题点1 周期性例3 1在函数
①y=cos|2x|,
②y=|cosx|,
③y=cos,
④y=tan中,最小正周期为π的所有函数为 A.
①②③B.
①③④C.
②④D.
①③2若函数fx=2tankx+的最小正周期T满足1T2,则自然数k的值为________.答案 1A 22或3解析 1
①y=cos|2x|=cos2x,最小正周期为π;
②由图象知y=|cosx|的最小正周期为π;
③y=cos的最小正周期T==π;
④y=tan的最小正周期T=,因此选A.2由题意得,12,∴kπ2k,即kπ,又k∈Z,∴k=2或
3.命题点2 对称性例4 xx·西安模拟当x=时,函数fx=sinx+φ取得最小值,则函数y=f-x A.是奇函数且图象关于点,0对称B.是偶函数且图象关于点π,0对称C.是奇函数且图象关于直线x=对称D.是偶函数且图象关于直线x=π对称答案 C解析 ∵当x=时,函数fx取得最小值,∴sin+φ=-1,∴φ=2kπ-k∈Z,∴fx=sinx+2kπ-=sinx-,∴y=f-x=sin-x=-sinx∴y=f-x是奇函数,且图象关于直线x=对称.命题点3 对称性的应用例5 1已知函数y=2sin的图象关于点Px00对称,若x0∈,则x0=________.2若函数y=cosωx+ω∈N*图象的一个对称中心是,0,则ω的最小值为 A.1B.2C.4D.8答案 1- 2B解析 1由题意可知2x0+=kπ,k∈Z,故x0=-,k∈Z,又x0∈,∴-≤k≤,k∈Z,∴k=0,则x0=-.2由题意知π+=kπ+k∈Z,∴ω=6k+2k∈Z,又ω∈N*,∴ωmin=
2.思维升华 1对于函数y=Asinωx+φ,其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点x00是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验fx0的值进行判断.2求三角函数周期的方法
①利用周期函数的定义.
②利用公式y=Asinωx+φ和y=Acosωx+φ的最小正周期为,y=tanωx+φ的最小正周期为. 1xx·朝阳模拟已知函数fx=2sinx+,若对任意的实数x,总有fx1≤fx≤fx2,则|x1-x2|的最小值是 A.2B.4C.πD.2π2如果函数y=3cos2x+φ的图象关于点,0中心对称,那么|φ|的最小值为 A.B.C.D.答案 1A 2A解析 1由题意可得|x1-x2|的最小值为半个周期,即==
2.2由题意得3cos2×+φ=3cos+φ+2π=3cos+φ=0,∴+φ=kπ+,k∈Z,∴φ=kπ-,k∈Z,取k=0,得|φ|的最小值为.5.三角函数的性质考点分析 纵观近年高考中三角函数的试题,其有关性质几乎每年必考,题目较为简单,综合性的知识多数为三角函数本章内的知识,通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破,并在高考中拿全分.典例 1xx·课标全国Ⅰ函数fx=cosωx+φ的部分图象如图所示,则fx的单调递减区间为 A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z2已知函数fx=2cosωx+φ+b对任意实数x有fx+=f-x恒成立,且f=1,则实数b的值为 A.-1B.3C.-1或3D.-33已知函数fx=2sinωxω>0在区间上的最小值是-2,则ω的最小值等于________.解析 1由图象知,周期T=2×=2,∴=2,∴ω=π.由π×+φ=+2kπ,k∈Z,不妨取φ=,∴fx=cos.由2kππx+2kπ+π,k∈Z,得2k-x2k+,k∈Z,∴fx的单调递减区间为,k∈Z.故选D.2由fx+=f-x可知函数fx=2cosωx+φ+b关于直线x=对称,又函数fx在对称轴处取得最值,故±2+b=1,∴b=-1或b=
3.3∵ω>0,-≤x≤,∴-≤ωx≤.由已知条件知-≤-,∴ω≥.答案 1D 2C 31.已知函数fx=sinωx+ω0的最小正周期为π,则f等于 A.1B.C.-1D.-答案 A解析 ∵T=π,∴ω=2,∴f=sin2×+=sin=
1.2.若函数fx=-cos2x,则fx的一个递增区间为 A.-,0B.0,C.,D.,π答案 B解析 由fx=-cos2x知递增区间为[kπ,kπ+],k∈Z,故只有B项满足.3.关于函数y=tan2x-,下列说法正确的是 A.是奇函数B.在区间0,上单调递减C.,0为其图象的一个对称中心D.最小正周期为π答案 C解析 函数y=tan2x-是非奇非偶函数,A错误;在区间0,上单调递增,B错误;最小正周期为,D错误.∵当x=时,tan2×-=0,∴,0为其图象的一个对称中心,故选C.4.xx·潍坊模拟已知函数fx=2sinωx-+1x∈R的图象的一条对称轴为x=π,其中ω为常数,且ω∈12,则函数fx的最小正周期为 A.B.C.D.答案 B解析 由函数fx=2sinωx-+1x∈R的图象的一条对称轴为x=π,可得ωπ-=kπ+,k∈Z,∴ω=k+,∴ω=,从而得函数fx的最小正周期为=.5.已知函数fx=-2sin2x+φ|φ|π,若f=-2,则fx的一个单调递减区间是 A.[-,]B.[,]C.[-,]D.[,]答案 C解析 由f=-2,得f=-2sin2×+φ=-2sin+φ=-2,所以sin+φ=
1.因为|φ|π,所以φ=.由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.当k=0时,-≤x≤,故选C.6.若函数fx=sinωx+φω0且|φ|在区间[,]上是单调减函数,且函数值从1减少到-1,则f等于 A.B.C.D.1答案 C解析 由题意得函数fx的周期T=2-=π,所以ω=2,此时fx=sin2x+φ,将点,1代入上式得sin+φ=1|φ|,所以φ=,所以fx=sin2x+,于是f=sin+=cos=.7.函数y=的定义域为______________.答案 [2kπ+,2kπ+π],k∈Z解析 由2sinx-1≥0,得sinx≥,∴2kπ+≤x≤2kπ+π,k∈Z.8.函数y=cos2x+sinx|x|≤的最小值为___________________.答案 解析 令t=sinx,∵|x|≤,∴t∈.∴y=-t2+t+1=-2+,∴当t=-时,ymin=.9.函数y=cos-2x的单调减区间为______________.答案 [kπ+,kπ+]k∈Z解析 由y=cos-2x=cos2x-,得2kπ≤2x-≤2kπ+πk∈Z,解得kπ+≤x≤kπ+k∈Z,所以函数的单调减区间为[kπ+,kπ+]k∈Z.10.xx·威海模拟若fx=2sinωx+1ω0在区间[-,]上是增函数,则ω的取值范围是__________.答案 0,]解析 方法一 由2kπ-≤ωx≤2kπ+,k∈Z,得fx的增区间是[-,+],k∈Z.因为fx在[-,]上是增函数,所以[-,]⊆[-,].所以-≥-且≤,所以ω∈0,].方法二 因为x∈[-,],ω
0.所以ωx∈[-,],又fx在区间[-,]上是增函数,所以[-,]⊆[-,],则又ω0,得0ω≤.11.已知函数fx=sinωx+φ0φ的最小正周期为π.1求当fx为偶函数时φ的值;2若fx的图象过点,,求fx的单调递增区间.解 1∵fx的最小正周期为π,则T==π,∴ω=2,∴fx=sin2x+φ.当fx为偶函数时,f-x=fx,∴sin2x+φ=sin-2x+φ,将上式展开整理得sin2xcosφ=0,由已知上式对∀x∈R都成立,∴cosφ=0,∵0φ,∴φ=.2fx的图象过点,时,sin2×+φ=,即sin+φ=.又∵0φ,∴+φπ,∴+φ=,φ=,∴fx=sin2x+.令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,∴fx的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z.12.xx·北京已知函数fx=sinx-2sin
2.1求fx的最小正周期;2求fx在区间上的最小值.解 1因为fx=sinx+cosx-=2sin-,所以fx的最小正周期为2π.2因为0≤x≤,所以≤x+≤π.当x+=π,即x=时,fx取得最小值.所以fx在区间上的最小值为f=-.*
13.已知a0,函数fx=-2asin+2a+b,当x∈时,-5≤fx≤
1.1求常数a,b的值;2设gx=f且lggx0,求gx的单调区间.解 1∵x∈,∴2x+∈,∴sin∈,∴-2asin∈[-2a,a],∴fx∈[b3a+b],又∵-5≤fx≤1,∴b=-53a+b=1,因此a=2,b=-
5.2由1得fx=-4sin-1,gx=f=-4sin-1=4sin-1,又由lggx0,得gx1,∴4sin-11,∴sin,∴2kπ+2x+2kπ+,k∈Z,其中当2kπ+2x+≤2kπ+,k∈Z时,gx单调递增,即kπx≤kπ+,k∈Z,∴gx的单调增区间为,k∈Z.又∵当2kπ+2x+2kπ+,k∈Z时,gx单调递减,即kπ+xkπ+,k∈Z.∴gx的单调减区间为,k∈Z.。