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2019-2020年高考数学一轮复习配餐作业6函数的奇偶性与周期性含解析理
一、选择题1.xx·重庆适应性考试下列函数为奇函数的是 A.y=x3+3x2B.y=C.y=xsinxD.y=log2解析 依题意,对于选项A,注意到当x=-1时,y=2;当x=1时,y=4,因此函数y=x3+3x2不是奇函数对于选项B,注意到当x=0时,y=1≠0,因此函数y=不是奇函数对于选项C,注意到当x=-时,y=;当x=时,y=,因此函数y=xsinx不是奇函数对于选项D,由0得-3x3,即函数y=log2的定义域是-33,该数集是关于原点对称的集合,且log2+log2=log21=0,即有log2=-log2,因此函数y=log2是奇函数,综上所述,故选D答案 D2.xx·沈阳检测下列函数中,在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是 A.y=2xB.y=2|x|C.y=2x-2-xD.y=2x+2-x解析 A虽为增函数却是非奇非偶函数,B,D是偶函数对于选项C,由奇偶函数的定义可知是奇函数,由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数或由y′=2xln2+2-xln20可知是增函数,故选C答案 C3.xx·荆州模拟已知fx是定义在R上的周期为2的奇函数,当x∈01时,fx=3x-1,则f= A.+1B.-1C.--1D.-+1解析 因为fx+2=fx=-f-x,所以f=f=f=-f=-f又当x∈01时,fx=3x-1,所以f=-1,f=1-答案 D4.xx·乌鲁木齐二诊已知偶函数fx在区间[0,+∞单调递增,则满足f2x-1f的x的取值范围是 A.B.C.D.解析 ∵fx是偶函数,∴fx=f|x|,∴f|2x-1|f,再根据fx在[0,+∞单调递增,得|2x-1|,解得x,故选A答案 A5.若函数fx=是奇函数,则使fx3成立的x的取值范围为 A.-∞,-1B.-10C.01D.1,+∞解析 因为函数y=fx为奇函数,所以f-x=-fx,即=-化简可得a=1,则3,即-30,即0,故不等式可化为0,即12x2,解得0x1,故选C答案 C6.已知函数fx是定义域为R的偶函数,且fx+1=,若fx在[-10]上是减函数,那么fx在
[23]上是 A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数解析 由题意知fx+2==fx,所以fx的周期为2,又函数fx是定义域为R的偶函数,且fx在[-10]上是减函数,则fx在
[01]上是增函数,所以fx在
[23]上是增函数故选A答案 A
二、填空题7.xx·长春模拟已知函数fx=,若fa=,则f-a=________解析 根据题意,fx==1+,而hx=是奇函数,故f-a=1+h-a=1-ha=2-[1+ha]=2-fa=2-=答案 8.定义在-11上的函数fx=-5x-sinx,若f1-a+f1-a20,则实数a的取值范围为____________________解析 由题意知,函数fx为奇函数,在-11上单调递减,由f1-a+f1-a20,得f1-afa2-1,∴解得1a答案 1,9.定义在R上的函数fx满足f-x=-fx,fx-2=fx+2,且当x∈-10时,fx=2x+,则flog220=________解析 因为f-x=-fx,所以fx是奇函数,所以当x∈01时,-x∈-10,则fx=-f-x=-2-x-因为fx-2=fx+2,所以fx=fx+4,所以fx是周期为4的周期函数而4log2205,所以flog220=flog220-4=答案 -110.已知fx,gx分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且fx-gx=x,则f1,g0,g-1之间的大小关系是________解析 在fx-gx=x中,用-x替换x,得f-x-g-x=2x,由于fx,gx分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以f-x=-fx,g-x=gx,因此得-fx-gx=2x联立方程组解得fx=,gx=-,于是f1=-,g0=-1,g-1=-,故f1g0g-1答案 f1g0g-1
三、解答题11.已知函数fx=是奇函数1求实数m的值;2若函数fx在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围解析 1设x0,则-x0,所以f-x=--x2+2-x=-x2-2x又fx为奇函数,所以f-x=-fx,于是x0时,fx=x2+2x=x2+mx,所以m=22要使fx在[-1,a-2]上单调递增,结合fx的图象如图所示知所以1a≤3,故实数a的取值范围是13]答案 12 213]12.设fx是-∞,+∞上的奇函数,fx+2=-fx,当0≤x≤1时,fx=x1求fπ的值;2当-4≤x≤4时,求fx的图象与x轴所围成图形的面积解析 1由fx+2=-fx,得fx+4=f[x+2+2]=-fx+2=fx,所以fx是以4为周期的周期函数所以fπ=f-1×4+π=fπ-4=-f4-π=-4-π=π-42由fx是奇函数与fx+2=-fx,得f[x-1+2]=-fx-1=f[-x-1],即f1+x=f1-x从而可知函数y=fx的图象关于直线x=1对称又当0≤x≤1时,fx=x,且fx的图象关于原点成中心对称,则fx的图象如图所示设当-4≤x≤4时,fx的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=4×=4答案 1π-4 24时间20分钟1.xx·青岛一模奇函数fx的定义域为R,若fx+1为偶函数,且f1=2,则f4+f5的值为 A.2B.1C.-1D.-2解析 ∵fx+1为偶函数,fx是奇函数,∴f-x+1=fx+1,fx=-f-x,f0=0,∴fx+1=f-x+1=-fx-1,∴fx+2=-fx,fx+4=fx+2+2=-fx+2=fx,则f4=f0=0,f5=f1=2,∴f4+f5=0+2=2,故选A答案 A2.xx·包头一模定义在R上的奇函数fx满足fx-4=-fx,且在
[02]上为增函数,若方程fx=mm0在区间[-88]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4的值为 A.8B.-8C.0D.-4解析 ∵fx-4=-fx,∴fx-8=fx,∴函数fx是以8为周期的周期函数,又由fx-4=-fx可得fx+2=-fx+6=-fx-2,因为fx是奇函数,所以fx+2=-fx-2=f2-x,所以fx的图象关于x=2对称,结合在
[02]上为增函数,可得函数的大致图象如图,由图看出,四个交点中的左边两个交点的横坐标之和为2×-6,另两个交点的横坐标之和为2×2,所以x1+x2+x3+x4=-8故选B答案 B3.xx·江苏高考设fx是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-11上,fx=其中a∈R若f=f,则f5a的值是________解析 由题意可得f=f=-+a,f=f==,则-+a=,a=,故f5a=f3=f-1=-1+=-答案 -4.定义在R上的函数fx对任意a,b∈R都有fa+b=fa+fb+kk为常数1判断k为何值时,fx为奇函数,并证明;2设k=-1,fx是R上的增函数,且f4=5,若不等式fmx2-2mx+33对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围解析 1若fx在R上为奇函数,则f0=0,令a=b=0,则f0+0=f0+f0+k,所以k=0证明由fa+b=fa+fb,令a=x,b=-x,则fx-x=fx+f-x,又f0=0,则有0=fx+f-x,即f-x=-fx对任意x∈R成立,所以fx是奇函数2因为f4=f2+f2-1=5,所以f2=3所以fmx2-2mx+33=f2对任意x∈R恒成立又fx是R上的增函数,所以mx2-2mx+32对任意x∈R恒成立,即mx2-2mx+10对任意x∈R恒成立,当m=0时,显然成立;当m≠0时,由得0m1所以实数m的取值范围是[01答案 10,证明见解析 2[01。