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2019-2020年高考数学一轮总复习
12.2排列与组合教案理新人教A版典例精析题型一 排列数与组合数的计算【例1】计算1;2C+C+…+C.【解析】1原式===-.2原式=C+C+C+…+C=C+C+…+C=C+C+…+C=C=
330.【点拨】在使用排列数公式A=进行计算时,要注意公式成立的条件m,n∈N+,m≤n.另外,应注意组合数的性质的灵活运用.【变式训练1】解不等式>
6.【解析】原不等式即>6×,也就是>,化简得x2-21x+104>0,解得x<8或x>13,又因为2≤x≤9,且x∈N*,所以原不等式的解集为{234567}.题型二 有限制条件的排列问题【例2】3男3女共6个同学排成一行.1女生都排在一起,有多少种排法?2女生与男生相间,有多少种排法?3任何两个男生都不相邻,有多少种排法?43名男生不排在一起,有多少种排法?5男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2位女生,女生又不能排在队伍的两端,有几种排法?【解析】1将3名女生看作一人,就是4个元素的全排列,有A种排法.又3名女生内部可有A种排法,所以共有A·A=144种排法.2男生自己排,女生也自己排,然后相间插入此时有2种插法,所以女生与男生相间共有2A·A=72种排法.3女生先排,女生之间及首尾共有4个空隙,任取其中3个安插男生即可,因而任何两个男生都不相邻的排法共有A·A=144种.4直接分类较复杂,可用间接法.即从6个人的排列总数中,减去3名男生排在一起的排法种数,得3名男生不排在一起的排法种数为A-AA=576种.5先将2个女生排在男生甲、乙之间,有A种排法.又甲、乙之间还有A种排法.这样就有A·A种排法.然后把他们4人看成一个元素相当于一个男生,这一元素及另1名男生排在首尾,有A种排法.最后将余下的女生排在其间,有1种排法.故总排法为AAA=24种.【点拨】排列问题的本质就是“元素”占“位子”问题,有限制条件的排列问题的限制主要表现在某些元素“排”或“不排”在哪个位子上,某些元素“相邻”或“不相邻”.对于这类问题,在分析时,主要按照“优先”原则,即优先安排特殊元素或优先满足特殊位子,对于“相邻”问题可用“捆绑法”,对于“不相邻”问题可用“插空法”.对于直接考虑较困难的问题,可以采用间接法.【变式训练2】把12345这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按由小到大的顺序排列构成一个数列.143251是这个数列的第几项?2这个数列的第97项是多少?【解析】1不大于43251的五位数A-A+A+A=88个,即为此数列的第88项.2此数列共有120项,而以5开头的五位数恰好有A=24个,所以以5开头的五位数中最小的一个就是该数列的第97项,即
51234.题型三 有限制条件的组合问题【例3】要从12人中选出5人去参加一项活动.1A,B,C三人必须入选有多少种不同选法?2A,B,C三人都不能入选有多少种不同选法?3A,B,C三人只有一人入选有多少种不同选法?4A,B,C三人至少一人入选有多少种不同选法?5A,B,C三人至多二人入选有多少种不同选法?【解析】1只须从A,B,C之外的9人中选择2人,C=36种不同选法.2由A,B,C三人都不能入选只须从余下9人中选择5人,即有C=C=126种选法.3可分两步,先从A,B,C三人中选出1人,有C种选法,再从余下的9人中选4人,有C种选法,所以共有C·C=378种选法.4可考虑间接法,从12人中选5人共有C种,再减去A,B,C三人都不入选的情况C,共有C-C=666种选法.5可考虑间接法,从12人中选5人共有C种,再减去A,B,C三人都入选的情况C种,所以共有C-C=756种选法.【点拨】遇到至多、至少的有关计数问题,可以用间接法求解.对于有限制条件的问题,一般要根据特殊元素分类.【变式训练3】四面体的顶点和各棱中点共有10个点.1在其中取4个共面的点,共有多少种不同的取法?2在其中取4个不共面的点,共有多少种不同的取法?【解析】1四个点共面的取法可分三类.第一类在同一个面上取,共有4C种;第二类在一条棱上取三点,再在它所对的棱上取中点,共有6种;第三类在六条棱的六个中点中取,取两对对棱的4个中点,共有C=3种.故有69种.2用间接法.共C-69=141种.总结提高解有条件限制的排列与组合问题的思路1正确选择原理,确定分类或分步计数;2特殊元素、特殊位置优先考虑;3再考虑其余元素或其余位置.。