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2019-2020年高考数学一轮总复习
5.4三角恒等变换教案理新人教A版典例精析题型一 三角函数的求值【例1】已知0<α<,0<β<,3sinβ=sin2α+β,4tan=1-tan2,求α+β的值.【解析】由4tan=1-tan2,得tanα==.由3sinβ=sin2α+β得3sin[α+β-α]=sin[α+β+α],所以3sinα+βcosα-3cosα+βsinα=sinα+βcosα+cosα+βsinα,即2sinα+βcosα=4cosα+βsinα,所以tanα+β=2tanα=
1.又因为α、β∈0,,所以α+β=.【点拨】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换,要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系,找到解题的突破口与方向.【变式训练1】如果tanα+β=,tanβ-=,那么tanα+等于 A. B.C.D.【解析】因为α+=α+β-β-,所以tanα+=tan[α+β-β-]==.故选C.题型二 等式的证明【例2】求证=-2cosα+β.【证明】证法一右边=====左边.证法二-===2cosα+β,所以-2cosα+β=.【点拨】证法一将2α+β写成α+β+α,使右端的角形式上一致,易于共同运算;证法二把握结构特征,用“变更问题法”证明,简捷而新颖.【变式训练2】已知5sinα=3sinα-2β,求证tanα-β+4tanβ=
0.【证明】因为5sinα=3sinα-2β,所以5sin[α-β+β]=3sin[α-β-β],所以5sinα-βcosβ+5cosα-βsinβ=3sinα-βcosβ-3cosα-βsinβ,所以2sinα-βcosβ+8cosα-βsinβ=
0.即tanα-β+4tanβ=
0.题型三 三角恒等变换的应用【例3】已知△ABC是非直角三角形.1求证tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;2若A>B且tanA=-2tanB,求证tanC=;3在2的条件下,求tanC的最大值.【解析】1因为C=π-A+B,所以tanC=-tanA+B=,所以tanC-tanAtanBtanC=-tanA-tanB,即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.2由1知tanC======.3由2知tanC==≤=,当且仅当2tanB=,即tanB=时,等号成立.所以tanC的最大值为.【点拨】熟练掌握三角变换公式并灵活地运用来解决与三角形有关的问题,要有较明确的目标意识.【变式训练3】在△ABC中,tanB+tanC+tanBtanC=,tanA+tanB+1=tanAtanB,试判断△ABC的形状.【解析】由已知得tanB+tanC=1-tanBtanC,tanA+tanB=-1-tanAtanB,即=,=-.所以tanB+C=,tanA+B=-.因为0<B+C<π,0<A+B<π,所以B+C=,A+B=.又A+B+C=π,故A=,B=C=.所以△ABC是顶角为的等腰三角形.总结提高三角恒等式的证明,一般考虑三个“统一”
①统一角度,即化为同一个角的三角函数;
②统一名称,即化为同一种三角函数;
③统一结构形式.。