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2019-2020年高考数学一轮总复习
9.2双曲线教案理新人教A版典例精析题型一 双曲线的定义与标准方程【例1】已知动圆E与圆A x+42+y2=2外切,与圆B x-42+y2=2内切,求动圆圆心E的轨迹方程.【解析】设动圆E的半径为r,则由已知|AE|=r+,|BE|=r-,所以|AE|-|BE|=2,又A-40,B40,所以|AB|=82<|AB|.根据双曲线定义知,点E的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支.因为a=,c=4,所以b2=c2-a2=14,故点E的轨迹方程是-=1x≥.【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E点满足的几何条件,结合双曲线定义求解,要特别注意轨迹是否为双曲线的两支.【变式训练1】P为双曲线-=1的右支上一点,M,N分别是圆x+52+y2=4和x-52+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为 A.6B.7C.8D.9【解析】选D.题型二 双曲线几何性质的运用【例2】双曲线C-=1a>0,b>0的右顶点为A,x轴上有一点Q2a0,若C上存在一点P,使=0,求此双曲线离心率的取值范围.【解析】设Px,y,则由=0,得AP⊥PQ,则P在以AQ为直径的圆上,即x-2+y2=2,
①又P在双曲线上,得-=1,
②由
①②消去y,得a2+b2x2-3a3x+2a4-a2b2=0,即[a2+b2x-2a3-ab2]x-a=0,当x=a时,P与A重合,不符合题意,舍去;当x=时,满足题意的点P存在,需x=>a,化简得a2>2b2,即3a2>2c2,<,所以离心率的取值范围是1,.【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式,是求离心率的取值范围的常用方法.【变式训练2】设离心率为e的双曲线C-=1a>0,b>0的右焦点为F,直线l过焦点F,且斜率为k,则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是 A.k2-e2>1B.k2-e2<1C.e2-k2>1D.e2-k2<1【解析】由双曲线的图象和渐近线的几何意义,可知直线的斜率k只需满足-<k<,即k2<==e2-1,故选C.题型三 有关双曲线的综合问题【例3】xx广东模拟已知双曲线-y2=1的左、右顶点分别为A
1、A2,点Px1,y1,Qx1,-y1是双曲线上不同的两个动点.1求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程;2若过点H0,hh>1的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点,且l1⊥l2,求h的值.【解析】1由题意知|x1|>,A1-,0,A2,0,则有直线A1P的方程为y=x+,
①直线A2Q的方程为y=x-.
②方法一联立
①②解得交点坐标为x=,y=,即x1=,y1=,
③则x≠0,|x|<.而点Px1,y1在双曲线-y2=1上,所以-y=
1.将
③代入上式,整理得所求轨迹E的方程为+y2=1,x≠0且x≠±.方法二设点Mx,y是A1P与A2Q的交点,
①×
②得y2=x2-
2.
③又点Px1,y1在双曲线上,因此-y=1,即y=-
1.代入
③式整理得+y2=
1.因为点P,Q是双曲线上的不同两点,所以它们与点A1,A2均不重合.故点A1和A2均不在轨迹E上.过点01及A2,0的直线l的方程为x+y-=
0.解方程组得x=,y=
0.所以直线l与双曲线只有唯一交点A
2.故轨迹E不过点
01.同理轨迹E也不过点0,-
1.综上分析,轨迹E的方程为+y2=1,x≠0且x≠±.2设过点H0,h的直线为y=kx+hh>1,联立+y2=1得1+2k2x2+4khx+2h2-2=
0.令Δ=16k2h2-41+2k22h2-2=0,得h2-1-2k2=0,解得k1=,k2=-.由于l1⊥l2,则k1k2=-=-1,故h=.过点A1,A2分别引直线l1,l2通过y轴上的点H0,h,且使l1⊥l2,因此A1H⊥A2H,由×-=-1,得h=.此时,l1,l2的方程分别为y=x+与y=-x+,它们与轨迹E分别仅有一个交点-,与,.所以,符合条件的h的值为或.【变式训练3】双曲线-=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则e2等于 A.1+2B.3+2C.4-2D.5-2【解析】本题考查双曲线定义的应用及基本量的求解.据题意设|AF1|=x,则|AB|=x,|BF1|=x.由双曲线定义有|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a⇒|AF1|+|BF1|-|AF2|+|BF2|=+1x-x=4a,即x=2a=|AF1|.故在Rt△AF1F2中可求得|AF2|==.又由定义可得|AF2|=|AF1|-2a=2a-2a,即=2-2a,两边平方整理得c2=a25-2⇒=e2=5-2,故选D.总结提高
1.要与椭圆类比来理解、掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质,但应特别注意不同点,如a,b,c的关系、渐近线等.
2.要深刻理解双曲线的定义,注意其中的隐含条件.当||PF1|-|PF2||=2a<|F1F2|时,P的轨迹是双曲线;当||PF1|-|PF2||=2a=|F1F2|时,P的轨迹是以F1或F2为端点的射线;当||PF1|-|PF2||=2a>|F1F2|时,P无轨迹.
3.双曲线是具有渐近线的曲线,画双曲线草图时,一般先画出渐近线,要掌握以下两个问题1已知双曲线方程,求它的渐近线;2求已知渐近线的双曲线的方程.如已知双曲线渐近线y=±x,可将双曲线方程设为-=λλ≠0,再利用其他条件确定λ的值,求法的实质是待定系数法.。