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2019-2020年高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用
2.4二次函数与幂函数课时跟踪检测理[课时跟踪检测] [基础达标]1.函数y=x的图象是 解析由幂函数y=xα,若0<α<1,在第一象限内过11,排除A、D;又其图象上凸,则排除C,故选B.答案B2.函数y=x2+ax+6在上是增函数,则a的取值范围为 A.-∞,-5]B.-∞,5]C.[-5,+∞D.[5,+∞解析∵y=x2+ax+6在上是增函数,由题意得-≤.∴a≥-5,故选C.答案C3.幂函数y=fx的图象经过点3,,则fx是 A.偶函数,且在0,+∞上是增函数B.偶函数,且在0,+∞上是减函数C.奇函数,且在0,+∞上是减函数D.非奇非偶函数,且在0,+∞上是增函数解析设幂函数fx=xα,则f3=3α=,解得α=,则fx==,是非奇非偶函数,且在0,+∞上是增函数.答案D4.已知fx=,若0<a<b<1,则下列各式中正确的是 A.fa<fb<f<fB.f<f<fb<faC.fa<fb<f<fD.f<fa<f<fb解析因为函数fx=在0,+∞上是增函数,又0<a<b<<,故选C.答案C5.设abc>0,二次函数fx=ax2+bx+c的图象可能是 解析由A、C、D知,f0=c<
0.∵abc>0,∴ab<0,∴对称轴x=->0,知A、C错误,D符合要求.由B知f0=c>0,∴ab>0,∴x=-<0,B错误,故选D.答案D6.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为,则m的取值范围是 A.
[04]B.C.D.解析二次函数图象的对称轴为x=,且f=-,f3=f0=-4,由图得m∈.答案D7.函数fx=ax2-a-1x-3在区间[-1,+∞上是增函数,则实数a的取值范围是 A.B.-∞,0]C.D.解析由于函数fx=ax2-a-1x-3在区间[-1,+∞上是增函数,所以实数a应满足或a=
0.由此得0≤a≤.故选D.答案D8.xx届安徽皖江名校联考定义在[-22]上的函数fx满足x1-x2[fx1-fx2]>0,x1≠x2,且fa2-a>f2a-2,则实数a的取值范围为 A.[-12B.[02C.[01D.[-11解析函数fx满足x1-x2[fx1-fx2]>0,x1≠x2,∴函数在[-22]上单调递增,∴∴∴0≤a<1,故选C.答案C9.函数fx=m2-m-1x2m-3是幂函数,且在0,+∞上是减函数,则实数m= A.2B.-1C.-1或2D.5解析∵fx是幂函数,∴m2-m-1=1,即m2-m-2=0,解得m=-1或2,当m=-1时,fx=x-5,符合题意.当m=2时,fx=x,是增函数,舍去,故选B.答案B10.已知幂函数fx=m∈Z在区间0,+∞上是单调增函数,且y=fx的图象关于y轴对称,则f-2的值是 A.16B.8C.-16D.-8解析∵fx在0,+∞上单调递增,∴-m2+2m+30,∴-1m3,又∵m∈Z,∴m=012,当m=0时,fx=x3,奇函数,不合题意.当m=1时,fx=x4,偶函数,此时f-2=-24=16,当m=2时,fx=x3,舍去,故选A.答案A11.已知函数fx=x2-2ax-3在区间
[12]上具有单调性,则实数a的取值范围是________.解析函数fx=x2-2ax-3的图象开口向上,对称轴为直线x=a,画出草图如图所示.由图象可知,函数在-∞,a]和[a,+∞上都具有单调性,因此要使函数fx在区间
[12]上具有单调性,只需a≤1或a≥2,从而a∈-∞,1]∪[2,+∞.答案-∞,1]∪[2,+∞12.已知关于x的方程x2-2mx+m-3=0的两个实数根x1,x2满足x1∈-10,x2∈3,+∞,则实数m的取值范围是________.解析由题意可知所以即所以<m<
3.答案13.已知fx=x≠a.1若a=-2,试证明fx在-∞,-2内单调递增;2若a>0且fx在1,+∞上单调递减,求a的取值范围.解1证明任设x1<x2<-2,则fx1-fx2=-=.∵x1+2x2+2>0,x1-x2<0,∴fx1<fx2,∴fx在-∞,-2上单调递增.2任设1<x1<x2,则fx1-fx2=-=.∵a>0,x2-x1>0,∴要使fx1-fx2>0,只需x1-ax2-a>0在1,+∞上恒成立,∴a≤
1.综上所述知a的取值范围是01].14.已知函数fx=a-.1求证函数y=fx在0,+∞上是增函数;2若fx<2x在1,+∞上恒成立,求实数a的取值范围.解1证明当x∈0,+∞时,fx=a-,设0<x1<x2,则fx2-fx1=-=-=,∵x1x2>0,x2-x1>0,∴fx2-fx10,所以fx在0,+∞上是增函数.2由题意a-<2x在1,+∞上恒成立,设hx=2x+,则a<hx在1,+∞上恒成立.任取x1,x2∈1,+∞且x1<x2,hx1-hx2=x1-x
2.因为1<x1<x2,所以x1-x2<0,x1x2>1,所以2->0,所以hx1<hx2,所以hx在1,+∞上单调递增.故a≤h1,即a≤3,所以实数a的取值范围是-∞,3].[能力提升]1.xx届杭州模拟已知x∈[-11]时,fx=x2-ax+>0恒成立,则实数a的取值范围是 A.02B.2,+∞C.0,+∞D.04解析二次函数图象开口向上,对称轴为x=.又x∈[-11]时,fx=x2-ax+>0恒成立,即fxmin>
0.
①当≤-1,即a≤-2时,f-1=1+a+>0,解得a>-,与a≤-2矛盾;
②当≥1,即a≥2时,f1=1-a+>0,解得a<2,与a≥2矛盾;
③当-1<<1,即-2<a<2时,Δ=-a2-4·<0,解得0<a<
2.综上得实数a的取值范围是02.故选A.答案A2.xx届河北秦皇岛模拟已知函数fx=ax2+bx+ca≠0,且2是fx的一个零点,-1是fx的一个极小值点,那么不等式fx>0的解集是 A.-42B.-24C.-∞,-4∪2,+∞D.-∞,-2∪4,+∞解析依题意,fx是二次函数,其图象是抛物线,开口向上,对称轴为x=-1,方程ax2+bx+c=0的一个根是2,另一个根是-4,因此fx=ax+4x-2a>0,于是fx>0,即为x+4x-2>0,解得x>2或x<-
4.答案C3.xx届陕西汉中模拟已知函数fx是定义在R上的奇函数,且当x>0时,fx=-x2+ax-1-a,若函数fx为R上的单调减函数,则a的取值范围是 A.[-1,+∞B.[-10]C.-∞,0]D.-∞,-1]解析因为函数fx是奇函数,所以f0=
0.若函数fx为R上的单调减函数,只需即即-1≤a≤0,故选B.答案B4.xx年山东卷若函数exfxe=
2.71828…是自然对数的底数在fx的定义域上单调递增,则称函数fx具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为________.
①fx=2-x;
②fx=3-x;
③fx=x3;
④fx=x2+
2.解析
①exfx=ex·2-x=x在R上单调递增,故fx=2-x具有M性质;
②exfx=ex·3-x=x在R上单调递减,故fx=3-x不具有M性质;
③exfx=ex·x3,令gx=ex·x3,则g′x=ex·x3+ex·3x2=x2exx+3,∴当x>-3时,g′x>0,当x<-3时,g′x<0,∴exfx=ex·x3在-∞,-3上单调递减,在[-3,+∞上单调递增,故fx=x3不具有M性质;
④exfx=exx2+2,令gx=exx2+2,则g′x=exx2+2+ex·2x=ex[x+12+1]>0,∴exfx=exx2+2在R上单调递增,故fx=x2+2具有M性质.答案
①④。