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2019-2020年高考数学一轮总复习第八章解析几何
8.5椭圆课时跟踪检测理[课时跟踪检测] [基础达标]1.xx年浙江卷椭圆+=1的离心率是 A.B.C.D.解析由椭圆方程,得a2=9,b2=
4.∵c2=a2-b2=5,∴a=3,c=,e==.答案B2.xx年全国卷Ⅲ已知椭圆C+=1ab0的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为 A.B.C.D.解析∵点A1,A2是椭圆的左、右顶点,∴|A1A2|=2a,∴以线段A1A2为直径的圆可表示为x2+y2=a2,该圆的圆心为00,半径为a.又∵该圆与直线bx-ay+2ab=0相切,∴圆心00到直线bx-ay+2ab=0的距离等于半径,即=a,整理得a2=3b
2.又∵在椭圆中,a2=b2+c2,∴e===,故选A.答案A3.曲线+=1与曲线+=1k9的 A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等解析c2=25-k-9-k=16,所以c=4,所以两个曲线的焦距相等.答案D4.椭圆C+=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1斜率的取值范围是 A.B.C.D.解析设Px0,y0,则有+=1,即4-x=y.
①由题意知A1-20,A220,设直线PA1的斜率为k1,直线PA2的斜率为k2,则k1=,k2=,所以k1·k2=.
②由
①②得k1·k2=-.因为k2∈[-2,-1],所以k1的取值范围为,故选B.答案B5.已知椭圆的中心在坐标原点,长轴长是8,离心率是,则此椭圆的标准方程是 A.+=1B.+=1或+=1C.+=1D.+=1或+=1解析∵a=4,e=,∴c=3,∴b2=a2-c2=16-9=
7.∵焦点的位置不确定,∴椭圆的标准方程是+=1或+=
1.答案B6.焦点在x轴上的椭圆方程为+=1ab0,短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形,该三角形内切圆的半径为,则椭圆的离心率为 A.B.C.D.解析如图,由椭圆的性质可知,AB=2c,AC=BC=a,OC=b,S△ABC=AB·OC=·2c·b=bc,S△ABC=a+a+2c·r=·2a+2c×=,∴=bc,a=2c,∴e==.答案C7.椭圆C+y2=1a0的左、右焦点分别为F
1、F2,P为椭圆上异于端点的任意一点,PF1,PF2的中点分别为M、N,O为坐标原点,四边形OMPN的周长为2,则△PF1F2的周长是 A.2+B.+2C.+D.4+2解析如图,因为O,M分别为F1F2和PF1的中点,所以OM∥PF2,且|OM|=|PF2|.同理,ON∥PF1,且|ON|=|PF1|,所以四边形OMPN为平行四边形.由题意知,|OM|+|ON|=,故|PF1|+|PF2|=2,即2a=2,a=.由a2=b2+c2,知c2=a2-b2=2,c=,所以|F1F2|=2c=2,故△PF1F2的周长为2a+2c=2+,选A.答案A8.如图,已知椭圆C的中心为原点O,F-2,0为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=4,则椭圆C的方程为 A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1解析设椭圆的标准方程为+=1ab0,焦距为2c,右焦点为F′,连接PF′,如图所示.因为F-2,0为C的左焦点,所以c=
2.由|OP|=|OF|=|OF′|知,∠FPF′=90°,即FP⊥PF′.在Rt△PFF′中,由勾股定理,得|PF′|==-42=
8.由椭圆定义,得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12,所以a=6,a2=36,于是b2=a2-c2=36-22=16,所以椭圆C的方程为+=
1.答案B9.已知F
1、F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是________.解析满足·=0的点M的轨迹是以F1F2为直径的圆,若其总在椭圆内部,则有cb,即c2b2,又b2=a2-c2,所以c2a2-c2,即2c2a2,所以e2,又因为0e1,所以0e.答案10.xx届安徽江南十校联考椭圆C+=1ab0的右顶点为A,经过原点O的直线l交椭圆C于P、Q两点,若|PQ|=a,AP⊥PQ,则椭圆C的离心率为________.解析不妨设点P在第一象限,由对称性可得|OP|==,在Rt△POA中,cos∠POA==,故∠POA=60°,易得P,代入椭圆方程得,+=1,故a2=5b2=5a2-c2,则=,所以离心率e=.答案11.已知椭圆+=1ab0,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.1若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;2若=2,·=,求椭圆的方程.解1若∠F1AB=90°,则△AOF2为等腰直角三角形,所以有OA=OF2,即b=c.所以a=c,e==.2由题知A0,b,F1-c0,F2c0,其中c=,设Bx,y.由=2,得c,-b=2x-c,y,解得x=,y=-,即B.将B点坐标代入+=1,得+=1,即+=1,解得a2=3c2,
①又由·=-c,-b·=,得b2-c2=1,即有a2-2c2=1,
②由
①②解得c2=1,a2=3,从而有b2=
2.所以椭圆的方程为+=
1.
12.xx届河北邯郸质检如图,已知F
1、F2是椭圆G+=1ab0的左、右焦点,直线l y=kx+1经过左焦点F1,且与椭圆G交于A、B两点,△ABF2的周长为
4.1求椭圆G的标准方程;2是否存在直线l,使得△ABF2为等腰直角三角形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.解1设椭圆G的半焦距为c,因为直线l与x轴的交点为-10,故c=
1.又△ABF2的周长为4,即|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=4,故a=,所以b2=a2-c2=3-1=
2.因此,椭圆G的标准方程为+=
1.2不存在.理由如下先用反证法证明AB不可能为底边,即|AF2|≠|BF2|.由题意知F210,设Ax1,y1,Bx2,y2,假设|AF2|=|BF2|,则=,又+=1,+=1,代入上式,消去y,y,得x1-x2x1+x2-6=
0.因为直线l斜率存在,所以直线l不垂直于x轴,所以x1≠x2,故x1+x2=6与x1≤,x2≤,x1+x2≤26,矛盾.联立方程得3k2+2x2+6k2x+3k2-6=0,所以x1+x2=-6,矛盾.故|AF2|≠|BF2|.再证明AB不可能为等腰直角三角形的直角腰.假设△ABF2为等腰直角三角形,不妨设A为直角顶点.设|AF1|=m,则|AF2|=2-m,在△AF1F2中,由勾股定理得m2+2-m2=4,此方程无解.故不存在这样的等腰直角三角形.[能力提升]1.如图,椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,P点在椭圆上,若|PF1|=4,∠F1PF2=120°,则a的值为 A.2B.3C.4D.5解析b2=2,c=,故|F1F2|=2,又|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a,|PF2|=2a-4,由余弦定理得cos120°==-,化简得8a=24,即a=3,故选B.答案B2.xx届陕西省五校联考椭圆+=1a为定值,且a的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A,B.若△FAB的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是________.解析设椭圆的右焦点为F′,如图,由椭圆定义知,|AF|+|AF′|=|BF|+|BF′|=2a.又△FAB的周长为|AF|+|BF|+|AB|≤|AF|+|BF|+|AF′|+|BF′|=4a,当且仅当AB过右焦点F′时等号成立.此时4a=12,则a=
3.故椭圆方程为+=1,所以c=2,所以e==.答案3.已知椭圆G+=1ab0的离心率为,右焦点为2,0.斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P-32.1求椭圆G的方程;2求△PAB的面积.解1由已知得c=2,e==.解得a=
2.又b2=a2-c2=4,所以椭圆G的方程为+=
1.2设直线l的方程为y=x+m.由得4x2+6mx+3m2-12=
0.
①设A,B的坐标分别为x1,y1,x2,y2x1x2,AB中点为Ex0,y0,则x0==-,y0=x0+m=.因为AB是等腰△PAB的底边,所以PE⊥AB,所以PE的斜率k==-
1.解得m=
2.此时方程
①为4x2+12x=
0.解得x1=-3,x2=
0.所以y1=-1,y2=
2.所以|AB|=
3.此时,点P-32到直线l x-y+2=0的距离d==,所以△PAB的面积S=|AB|·d=.4.已知椭圆C的中心为坐标原点O,一个长轴端点为02,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,直线l与y轴交于点P0,m,与椭圆C交于相异两点A,B,且=
2.1求椭圆的方程;2求m的取值范围.解1由题意知椭圆的焦点在y轴上,可设椭圆方程为+=1ab0,由题意知a=2,b=c,又a2=b2+c2,则b=,所以椭圆的方程为+=
1.2设Ax1,y1,Bx2,y2,由题意知,直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+m,与椭圆方程联立,得则2+k2x2+2mkx+m2-4=0,Δ=2mk2-42+k2m2-40,即m2-42k
2.由根与系数的关系知又由=2,即-x1,m-y1=2x2,y2-m,得-x1=2x2,故可得=-22,整理得9m2-4k2=8-2m2,又9m2-4=0时不符合题意,所以k2=0,解得m24,此时Δ
0.解不等式m24,得m2或-2m-,所以m的取值范围为∪.。