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2019-2020年高考数学二轮复习五直线与圆锥曲线专练1.过点Q-2,作圆O x2+y2=r2r0的切线,切点为D,且|QD|=
4.1求r的值;2设P是圆O上位于第一象限内的任意一点,过点P作圆O的切线l,且l交x轴于点A,交y轴于点B,2.如图,F是椭圆+=1ab0的右焦点,O是坐标原点,|OF|=,过F作OF的垂线交椭圆于P0,Q0两点,△OP0Q0的面积为.1求该椭圆的标准方程;2若过点M-,0的直线l与上、下半椭圆分别交于点P,Q,且|PM|=2|MQ|,求直线l的方程.3.已知点A-4,0,直线l x=-1与x轴交于点B,动点M到A,B两点的距离之比为
2.1求点M的轨迹C的方程;2设C与x轴交于E,F两点,P是直线l上一点,且点P不在C上,直线PE,PF分别与C交于另一点S,T,证明A,S,T三点共线.4.设直线l y=kx+1k≠0与椭圆x2+4y2=m2m0相交于两个不同的点A,B,与x轴相交于点C,记O为坐标原点.1证明m2;2若,求△OAB的面积取得最大值时椭圆的方程.答案1.解1由题可知,圆O的圆心为0,0,半径为r.∵过点Q-2,作圆O x2+y2=r2r0的切线,切点为D,且|QD|=4,∴r=|OD|===
3.2设直线l的方程为+=1a0,b0,即bx+ay-ab=0,则Aa,0,B0,b,∵直线l与圆O相切,∴=3,∴3=ab≤,∴≥6,∴||≥6,当且仅当a=b=3时,等号成立.∴||的最小值为
6.2.解1由题设条件,|P0F|===.易知|P0F|=,从而=.又c=|OF|=,即a2-b2=5,因此a2-a-5=0,解得a=3或a=-,又a0,故a=3,从而b=
2.故所求椭圆的标准方程为+=
1.2设Px1,y1,Qx2,y2,由题意y10,y20,并可设直线l x=ty-,代入椭圆方程得+=1,即4t2+9y2-8ty-16=
0.从而y1+y2=,y1y2=-.又由|PM|=2|MQ|,得==2,即y1=-2y
2.因此y1+y2=-y2,y1y2=-2y,故-=-2,可解得t2=.注意到y2=-且y20,知t0,因此t=.故满足题意的直线l的方程为x=y-,即为2x-y+2=
0.3.解1设点Mx,y,依题意,==2,化简得x2+y2=4,即轨迹C的方程为x2+y2=
4.2证明由1知曲线C的方程为x2+y2=4,令y=0得x=±2,不妨设E-2,0,F2,0,如图.设P-1,y0,Sx1,y1,Tx2,y2,则直线PE的方程为y=y0x+2,由得y+1x2+4yx+4y-4=0,所以-2x1=eq\f4y-4y+1,即x1=eq\f2-2yy+1,y1=eq\f4y0y+
1.直线PF的方程为y=-x-2,由得y+9x2-4yx+4y-36=0,所以2x2=eq\f4y-36y+9,即x2=eq\f2y-18y+9,y2=eq\f12y0y+
9.所以kAS==eq\f\f4y0y+1\f2-2yy+1+4=eq\f2y0y+3,kAT==eq\f\f12y0y+9\f2y-18y+9+4=eq\f2y0y+3,所以kAS=kAT,所以A,S,T三点共线.4.解1证明依题意,直线l显然不平行于坐标轴,故y=kx+1可化为x=y-
1.将x=y-1代入x2+4y2=m2,消去x,得1+4k2y2-2ky+k21-m2=0,
①由直线l与椭圆相交于两个不同的点,得Δ=4k2-4k21-m21+4k20,整理得m
2.2设Ax1,y1,Bx2,y2.由
①,得y1+y2=,由,得y1=-3y2,代入上式,得y2=.于是,△OAB的面积S=|OC|·|y1-y2|=2|y2|=≤=,其中,上式取等号的条件是4k2=1,即k=±.由y2=,可得y2=±.将k=,y2=-及k=-,y2=这两组值分别代入
①,均可解出m2=.所以,△OAB的面积取得最大值时椭圆的方程是x2+y2=
1.。