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2019-2020年高考数学二轮复习课时跟踪检测八理
一、选择题1.已知函数fn=且an=fn+fn+1,则a1+a2+a3+…+a100= A.0B.100C.-100D.10200解析选B 由题意,a1+a2+a3+…+a100=12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002-1002+1012=-1+2+3+2-…-99+100+101+100=-1+2+…+99+100+2+3+…+100+101=-1+101=100,故选B.2.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”“钱”是古代的一种重量单位这个问题中,甲所得为 A.钱B.钱C.钱D.钱解析选D 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,依题意有解得故选D.3.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了 A.192里B.96里C.48里D.24里解析选B 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q=,依题意有=378,解得a1=192,则a2=192×=96,即第二天走了96里,故选B.4.已知数列{an}的通项公式为an=logn+1n+2n∈N*,我们把使乘积a1·a2·a3·…·an为整数的n叫做“优数”,则在02018]内的所有“优数”的和为 A.1024B.2012C.2026D.2036解析选C a1·a2·a3·…·an=log23·log34·log45·…·logn+1n+2=log2n+2=k,k∈Z,令0n=2k-2≤2018,则22k≤20201k≤10,所有“优数”之和为22-2+23-2+…+210-2=-18=211-22=
2026.故选C.5.xx届高三·湖北七市州联考在各项都为正数的数列{an}中,首项a1=2,且点a,a在直线x-9y=0上,则数列{an}的前n项和Sn= A.3n-1B.C.D.解析选A 由点a,a在直线x-9y=0上,得a-9a=0,即an+3an-1an-3an-1=0,又数列{an}各项均为正数,∴an+3an-10,∴an-3an-1=0,即=3,∴数列{an}是首项a1=2,公比q=3的等比数列,其前n项和Sn===3n-1,故选A.6.xx·贵阳检测正项等比数列{an}中,存在两项am,an,使得=4a1,且a6=a5+2a4,则+的最小值是 A.B.2C.D.解析选A 记等比数列{an}的公比为q,其中q0,于是有a4q2=a4q+2a4,即q2-q-2=0,q+1q-2=0q0,由此解得q=
2.由aman=16a得a×2m+n-2=16a,故m+n=6,其中m,n∈N*,∴+=m+n=≥=,当且仅且=,即m=2,n=4时等号成立,∴+的最小值为.
二、填空题7.对于数列{an},定义Hn=为{an}的“优值”,现在已知某数列{an}的“优值”Hn=2n+1,记数列{an-kn}的前n项和为Sn,若Sn≤S5对任意的n∈N*恒成立,则实数k的取值范围为________.解析由Hn=2n+1,得n·2n+1=a1+2a2+…+2n-1an,
①n-1·2n=a1+2a2+…+2n-2an-1,
②①-
②,得2n-1an=n·2n+1-n-1·2n,所以an=2n+2,an-kn=2-kn+2,又Sn≤S5对任意的n∈N*恒成立,所以即解得≤k≤.答案8.xx·安阳检测在数列{an}中,a1+++…+=2n-1n∈N*,且a1=1,若存在n∈N*使得an≤nn+1λ成立,则实数λ的最小值为________.解析依题意得,数列的前n项和为2n-1,当n≥2时,=2n-1-2n-1-1=2n-1,且=21-1=1=21-1,因此=2n-1n∈N*,=.记bn=,则bn0,===1,即bn+1bn,数列{bn}是递增数列,数列{bn}的最小项是b1=.依题意得,存在n∈N*使得λ≥=bn成立,即有λ≥b1=,λ的最小值是.答案9.xx届高三·湖北七市州联考数列{an}满足an+1+-1nan=n+1,则{an}前40项的和为________.解析由an+1+-1nan=n+1,可依次列出n取不同值时数列项之间的关系当n=1时,a2-a1=2,
①当n=2时,a3+a2=3,
②当n=3时,a4-a3=4,
③当n=4时,a5+a4=5,
④由
②-
①得a3+a1=1,由
③+
②得a4+a2=7,当n=5时,a6-a5=6,
⑤当n=6时,a7+a6=7,
⑥当n=7时,a8-a7=8,
⑦当n=8时,a9+a8=9,
⑧由
⑥-
⑤得a7+a5=1,由
⑦+
⑥得a8+a6=15,类似可得a11+a9=1,…,a39+a37=1,a12+a10=23,…,即{a4k+2+a4k+4}k∈N构成一个首项为7,公差为8的等差数列,∴S40=a1+a3+a5+a7+…+a37+a39+a2+a4+a6+a8+…+a38+a40=1×10+7×10+×8=
440.答案440
三、解答题10.xx·武昌调研设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=9,a2为整数,且Sn≤S
5.1求{an}的通项公式;2设数列的前n项和为Tn,求证Tn≤.解1由a1=9,a2为整数可知,等差数列{an}的公差d为整数.又Sn≤S5,∴a5≥0,a6≤0,于是9+4d≥09+5d≤0,解得-≤d≤-.∵d为整数,∴d=-
2.故{an}的通项公式为an=11-2n.2证明由1,得==,∴Tn=eq\b\lc\[\rc\]\a\vs4\al\co1++…+eq\b\lc\[\rc\]\a\vs4\al\co1=.令bn=,由函数fx=的图象关于点
4.50对称及其单调性,知0b1b2b3b4,b5b6b7…0,∴bn≤b4=
1.∴Tn≤×=.11.xx·临川模拟若数列{bn}对于任意的n∈N*,都有bn+2-bn=d常数,则称数列{bn}是公差为d的准等差数列.如数列cn,若cn=则数列{cn}是公差为8的准等差数列.设数列{an}满足a1=a,对于n∈N*,都有an+an+1=2n.1求证{an}是准等差数列;2求{an}的通项公式及前20项和S
20.解1证明∵an+an+1=2nn∈N*,
①∴an+1+an+2=2n+1n∈N*,
②②-
①,得an+2-an=2n∈N*.∴{an}是公差为2的准等差数列.2∵a1=a,an+an+1=2nn∈N*,∴a1+a2=2×1,即a2=2-a.∴由1得a1,a3,a5,…是以a为首项,2为公差的等差数列;a2,a4,a6…是以2-a为首项,2为公差的等差数列.当n为偶数时,an=2-a+×2=n-a;当n为奇数时,an=a+×2=n+a-
1.∴an=S20=a1+a2+a3+a4+…+a19+a20=a1+a2+a3+a4+…+a19+a20=2×1+2×3+…+2×19=2×=
200.12.已知函数fx定义在-11上,f=1,满足fx-fy=f,且x1=,xn+1=.1证明fx为定义在-11上的奇函数;2求fxn的表达式;3是否存在自然数m,使得对任意的n∈N*,有++…+恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.解1证明∵x,y∈-11,fx-fy=f,∴当x=y=0时,可得f0=
0.当x=0时,f0-fy=f=f-y,∴f-y=-fy,∴fx是-11上的奇函数.2∵fxn+1=f=f=fxn-f-xn=2fxn,∴=2,又fx1=f=1,∴{fxn}是以1为首项,2为公比的等比数列,其通项公式为fxn=2n-1n∈N*.3假设存在自然数m使得原不等式恒成立,即++…+=1+++…+=2-对任意的n∈N*恒成立.即m16-对任意的n∈N*恒成立,∴m≥16,故存在自然数m使得对任意的n∈N*,有++…+恒成立,且m的最小值为
16.。