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2019-2020年高考数学大一轮复习
2.5指数与指数函数学案理苏教版导学目标
1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数,了解对数在简化运算中的作用.
2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点,知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数a0,a≠1,体会对数函数是一类重要的函数模型. 自主梳理1.对数的定义如果______________,那么数b叫做以a为底N的对数,记作__________,其中____叫做对数的底数,____叫做真数.2.对数的性质与运算法则1对数的性质a0且a≠1
①alogaN=____;
②loga1=____;
③logaaN=____;
④logaa=____.2对数的重要公式
①换底公式logaN=________________a,c均大于零且不等于1;
②logab=,推广logab·logbc·logcd=________.3对数的运算法则如果a0且a≠1,M0,N0,那么
①logaMN=__________________;
②loga=____________;
③logaMn=__________n∈R;
④logamMn=logaM.3.对数函数的图象与性质a10a1图象性质1定义域________2值域____3过点________,即x=____时,y=____4当x1时,______;当0x1时,______5当x1时,______;当0x1时,______6是0,+∞上的__函数7是0,+∞上的__函数指数函数y=ax与对数函数__________互为反函数,它们的图象关于直线______对称.自我检测 1.xx·四川改编2log510+log
50.25的值为________.2.xx·辽宁改编设2a=5b=m,且+=2,则m的值为________.3.xx·辽宁改编已知函数fx满足当x≥4时,fx=x;当x4时,fx=fx+1.则f2+log23的值为________.4.xx·宿迁模拟定义在R上的偶函数fx在[0,+∞上递增,f=0,则满足flogx0的x的取值范围是__________________.5.xx·台州期末已知0ab1c,m=logac,n=logbc,则m与n的大小关系为__________.探究点一 对数式的化简与求值例1 计算1log2+2-;2lg-lg+lg;3已知2lg=lgx+lgy,求log3-
2.变式迁移1 计算1log2+log212-log242-1;2lg22+lg2·lg50+lg
25.探究点二 含对数式的大小比较例2 比较下列各组数的大小.1log3与log5;2log
1.
10.7与log
1.
20.7;3已知,比较2b2a2c的大小关系.变式迁移2 1xx·全国Ⅱ改编设a=log3π,b=log2,c=log3,则a、b、c的大小关系为________2设a,b,c均为正数,且2a=loga,b=logb,c=log2c,则a,b,c的大小关系为________.探究点三 对数函数的图象与性质例3 已知fx=logaxa0且a≠1,如果对于任意的x∈[,2]都有|fx|≤1成立,试求a的取值范围.变式迁移3 1xx·全国Ⅰ改编已知函数fx=|lgx|,若0ab,且fa=fb,则a+2b的取值范围为______________.2已知函数fx=loga|x|在0,+∞上单调递增,则f-2________fa+1.填写“”“=”“”转化化归与分类讨论思想例 16分已知函数fx=loga1-ax及gx=logaax-1a0,a≠1.1解关于x的不等式loga1-axf1;2设Ax1,y1,Bx2,y2x1≠x2是fx图象上的两点,求证直线AB的斜率小于
0.【答题模板】1解 ∵fx=loga1-ax,∴f1=loga1-a.∴1-a
0.∴0a
1.∴不等式可化为loga1-axloga1-a.[4分]∴,即∴0x
1.∴不等式的解集为01.[8分]2证明 设x1x2,则fx2-fx1=loga1-ax2-loga1-ax1=loga.∵1-ax0,∴ax
1.∴a1时,fx的定义域为-∞,0;0a1时,fx的定义域为0,+∞.[12分]当0a1时,∵x2x10,∴ax2ax
1.∴
1.∴loga
0.∴fx2fx1,即y2y
1.同理可证,当a1时,也有y2y
1.综上y2y1,即y2-y
10.∴kAB=
0.∴直线AB的斜率小于
0.[16分]【突破思维障碍】解决含参数的对数问题,不可忽视对底数a的分类讨论,即a1或0a1,其次要看定义域,如果将函数变换,务必保证等价性.1.用对数函数的性质比较大小1同底数的两个对数值的大小比较例如,比较logafx与logagx的大小,其中a0且a≠
1.
①若a1,则logafxlogagx⇔fxgx
0.
②若0a1,则logafxlogagx⇔0fxgx.2同真数的对数值大小关系如图图象在x轴上方的部分自左向右底逐渐增大,即0cd1ab.2.1指数函数y=ax与对数函数y=logaxa0,a≠1互为反函数,应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.2明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质,要记忆函数的性质可借助于函数的图象.因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象.满分90分
一、填空题每小题6分,共48分1.xx·北京市丰台区高三一调设M={y|y=x,x∈[0,+∞},N={y|y=log2x,x∈01]},则集合M∪N=________.2.xx·全国Ⅰ改编设a=log32,b=ln2,c=,则a,b,c大小关系为________.3.2lg5+lg8+lg5·lg20+lg22=________.4.函数fx=lna≠2为奇函数,则实数a等于________.5.xx·青岛二模已知函数fx=ax+logaxa0,a≠1在
[12]上的最大值与最小值之和为loga2+6,则a的值为________.6.xx·天津改编若函数fx=若faf-a,则实数a的取值范围为______________.7.xx·宿迁模拟已知f3x=4xlog23+233,则f2+f4+f8+…+f28=________.8.下列命题
①若函数y=lgx+为奇函数,则a=1;
②若a0,则方程|lgx|-a=0有两个不相等的实根;
③方程lgx=sinx有且只有三个实数根;
④对于函数fx=lgx,若0x1x2,则f.以上命题为真命题的是________.将所有真命题的序号填在横线上
二、解答题共42分9.14分已知fx=2+log3x,x∈
[19],求y=[fx]2+fx2的最大值及y取最大值时x的值.10.14分xx·北京东城检测已知函数fx=logax+1-loga1-x,a0且a≠
1.1求fx的定义域;2判断fx的奇偶性并予以证明;3若a1时,求使fx0的x的解集.11.14分已知函数fx=lgax-bxa1b0.1求y=fx的定义域;2在函数y=fx的图象上是否存在不同的两点,使得过这两点的直线平行于x轴;3当a,b满足什么条件时,fx在1,+∞上恒取正值.答案自主梳理1.ab=Na0,且a≠1 b=logaN a N
2.1
①N
②0
③N
④1 2
①
②logad 3
①logaM+logaN
②logaM-logaN
③nlogaM
3.10,+∞ 2R 310 1 0 4y0 y0 5y0 y06增 7减
4.y=logax y=x自我检测1.2
2.
3.
4.0,∪2,+∞
5.mn课堂活动区例1 解题导引 在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再运用对数运算法则化简合并,在运算中要注意化同底和指数与对数互化.解 1方法一 利用对数定义求值设log2+2-=x,则2+x=2-==2+-1,∴x=-
1.方法二 利用对数的运算性质求解log2+2-=log2+=log2+2+-1=-
1.2原式=lg32-lg49-+lg245=5lg2-2lg7-×lg2+2lg7+lg5=lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5=lg2×5=lg10=.3由已知得lg2=lgxy,∴2=xy,即x2-6xy+y2=
0.∴2-6+1=
0.∴=3±
2.∵∴1,∴=3+2,∴log3-2=log3-23+2=log=-
1.变式迁移1 解 1原式=log2+log212-log2-log22=log2=log2==-.2原式=lg2·lg2+lg50+lg25=21g2+lg25=lg100=
2.例2 解题导引 比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题型,解决此类问题的方法很多,
①当底数相同时,可直接利用对数函数的单调性比较;
②若底数不同,真数相同,可转化为同底利用换底公式或利用对数函数图象,数形结合解得;
③若不同底,不同真数,则可利用中间量进行比较.解 1∵log3log31=0,而log5log51=0,∴log3log
5.2方法一 ∵
00.
711.
11.2,∴0log
0.
71.1log
0.
71.
2.∴,由换底公式可得log
1.
10.7log
1.
20.
7.方法二 作出y=log
1.1x与y=log
1.2x的图象,如图所示,两图象与x=
0.7相交可知log
1.
10.7log
1.
20.
7.3∵y=为减函数,且,∴bac.而y=2x是增函数,∴2b2a2c.变式迁移2 1abc解析 a=log3π1,b=log23,则b1,c=log32,∴abc.2abc解析 ∵a,b,c均为正,∴=2a1,=b∈01,log2c=c∈01.∴0a,b11c
2.故abc.例3 解题导引 本题属于函数恒成立问题,即对于x∈[,2]时,|fx|恒小于等于1,恒成立问题一般有两种思路一是利用图象转化为最值问题;二是利用单调性转化为最值问题.由于本题底数a为参数,需对a分类讨论.解 ∵fx=logax,则y=|fx|的图象如图.由图示,要使x∈[,2]时恒有|fx|≤1,只需|f|≤1,即-1≤loga≤1,即logaa-1≤loga≤logaa,亦当a1时,得a-1≤≤a,即a≥3;当0a1时,得a-1≥≥a,得0a≤.综上所述,a的取值范围是0,]∪[3,+∞.变式迁移3 13,+∞ 2解析 1画出函数fx=|lgx|的图象如图所示.∵0ab,fa=fb,∴0a1,b1,∴lga0,lgb
0.又∵fa=fb,∴-lga=lgb,ab=
1.∴a+2b=a+,易证μ=a+在01上单调递减,∴μ
3.即a+2b
3.2∵fx=loga|x|在0,+∞上单调递增,∴a
1.∴a+
12.∵fx是偶函数,∴f-2=f2fa+1.课后练习区1.-∞,1]解析 ∵x≥0,∴y=x∈01],∴M=01].当0x≤1时,y=log2x∈-∞,0],即N=-∞,0]. ∴M∪N=-∞,1].2.cab解析 ∵=log231,=log2e1,log23log2e.∴1,∴0ab
1.∵a=log32log3=,∴a.b=ln2ln=,∴b.c=5-=,∴cab.3.34.-2解析 依题意有f-x+fx=ln+ln=0,即·=1,故1-a2x2=1-4x2,所以a2=4,又a≠2,故a=-
2.5.2解析 当x0时,函数ax,logax的单调性相同,因此函数fx=ax+logax是0,+∞上的单调函数,fx在
[12]上的最大值与最小值之和为f1+f2=a2+a+loga2,由题意得a2+a+loga2=6+loga
2.即a2+a-6=0,解得a=2或a=-3舍去.6.-10∪1,+∞解析
①当a0时,fa=log2a,f-a=,faf-a,即log2a=log2,∴a,解得a
1.
②当a0时,fa=,f-a=log2-a,faf-a,即log2-a=,∴-a,解得-1a0,由
①②得-1a0或a
1.7.2008解析 令3x=t,ft=4log2t+233,∴f2+f4+f8+…+f28=4×1+2+…+8+8×233=4×36+1864=
2008.8.
①②③解析
①∵fx为奇函数,∴f-x+fx=
0.∴lg-x++lgx+=lg[x2+a-x2]=lga=0,∴a=
1.
②|lgx|-a=0,∴|lgx|=a.作出y=|lgx|,y=a的图象可知,当a0时有两个交点.∴方程有两个不等实根.
③作出y=lgx,y=sinx的图象,可知在y轴右侧有三个交点.故方程有三个实根.
④对于fx=lgx,如图,当0x1x2时,应有yAyB,即f.9.解 ∵fx=2+log3x,∴y=[fx]2+fx2=2+log3x2+2+log3x2=logx+6log3x+6=log3x+32-
3.……………………………………………………5分∵函数fx的定义域为
[19],∴要使函数y=[fx]2+fx2有意义,必须∴1≤x≤3,∴0≤log3x≤1,……………………………………………………………………………………………10分∴6≤log3x+32-3≤
13.当log3x=1,即x=3时,ymax=
13.∴当x=3时,函数y=[fx]2+fx2取最大值
13.……………………………………14分10.解 1fx=logax+1-loga1-x,则解得-1x
1.故所求函数fx的定义域为{x|-1x1}.………………………………………………4分2由1知fx的定义域为{x|-1x1},且f-x=loga-x+1-loga1+x=-[logax+1-loga1-x]=-fx,故fx为奇函数.………………………………………………………………9分3因为当a1时,fx在定义域{x|-1x1}内是增函数,所以fx0⇔
1.解得0x
1.所以使fx0的x的解集是{x|0x1}.…………………………………14分11.解 1由ax-bx0,得x1,且a1b0,得1,所以x0,即fx的定义域为0,+∞.……………………………………………………………………………………4分2任取x1x20,a1b0,则ax1ax20,bx1bx2,所以ax1-bx1ax2-bx20,即lgax1-bx1lgax2-bx2.故fx1fx2.所以fx在0,+∞上为增函数.………………………………………………………8分假设函数y=fx的图象上存在不同的两点Ax1,y
1、Bx2,y2,使直线平行于x轴,则x1≠x2,y1=y2,这与fx是增函数矛盾.故函数y=fx的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴.…………10分3因为fx是增函数,所以当x∈1,+∞时,fxf1.这样只需f1=lga-b≥0,即当a≥b+1时,fx在1,+∞上恒取正值.……………………………………………………14分。