还剩4页未读,继续阅读
文本内容:
2019-2020年高考数学大一轮复习第六章不等式、推理与证明课时作业43理新人教A版
一、选择题1.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an=,a≠1,n∈N*”,在验证n=1时,左边是 A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3解析当n=1时,代入原式有左边=1+a.故选B.答案B2.如果命题pn对n=k成立,则它对n=k+2也成立.若pn对n=2成立,则下列结论正确的是 A.pn对所有正整数n都成立B.pn对所有正偶数n都成立C.pn对所有正奇数n都成立D.pn对所有自然数n都成立解析归纳奠基是n=2成立.归纳递推是n=k成立,则对n=k+2成立.∴pn对所有正偶数n都成立.答案B3.数列{an}中,已知a1=1,当n≥2时,an=an-1+2n-1,依次计算a2,a3,a4后,猜想an的表达式是 A.an=3n-2B.an=n2C.an=3n-1D.an=4n-3解析求得a2=4,a3=9,a4=16,猜想an=n
2.答案B4.用数学归纳法证明“n3+n+13+n+23n∈N*能被9整除”,要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开 A.k+33B.k+23C.k+13D.k+13+k+23解析假设当n=k时,原式能被9整除,即k3+k+13+k+23能被9整除.当n=k+1时,k+13+k+23+k+33为了能用上面的归纳假设,只需将k+33展开,让其出现k3即可.答案A5.用数学归纳法证明1+++…+n∈N*成立,其初始值至少应取 A.7B.8C.9D.10解析左边=1+++…+==2-,代入验证可知n的最小值是
8.故选B.答案B6.用数学归纳法证明“n+1·n+2·…·n+n=2n·1·3·…·2n-1”,从“k到k+1”左端需增乘的代数式为 A.2k+1B.22k+1C.D.解析n=k+1时,左端为k+2k+3…[k+1+k-1][k+1+k][k+1+k+1]=k+2k+3…k+k2k+12k+2=k+1k+2…k+k[22k+1],∴应增乘22k+1.答案B
二、填空题7.使|n2-5n+5|=1不成立的最小的正整数是__________.解析n=1234代入验证成立,而n=5验证不成立.答案58.用数学归纳法证明12+22+…+n-12+n2+n-12+…+22+12=时,由n=k的假设到证明n=k+1时,等式左边应添加的式子是________.答案k+12+k29.已知整数对的序列如下11,12,21,13,22,31,14,23,32,41,15,24,…,则第60个数对是__________.解析本题规律2=1+1;3=1+2=2+1;4=1+3=2+2=3+1;5=1+4=2+3=3+2=4+1;…;一个整数n所拥有数对为n-1对.设1+2+3+…+n-1=60,∴=60,∴n=11时还多5对数,且这5对数和都为1212=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7,∴第60个数对为57.答案57
三、解答题10.用数学归纳法证明下面的等式12-22+32-42+…+-1n-1·n2=-1n-
1.证明1当n=1时,左边=12=1,右边=-10·=1,∴原等式成立.2假设n=kk∈N*,k≥1时,等式成立,即有12-22+32-42+…+-1k-1·k2=-1k-
1.那么,当n=k+1时,则有12-22+32-42+…+-1k-1·k2+-1k·k+12=-1k-1+-1k·k+12=-1k·[-k+2k+1]=-1k.∴n=k+1时,等式也成立,由12知对任意n∈N*,有12-22+32-42+…+-1n-1·n2=-1n-
1.11.在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列n∈N*.1求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论.2证明++…+.解1由条件得2bn=an+an+1,a=bnbn+
1.由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=
25.猜测an=nn+1n∈N*,bn=n+12n∈N*.用数学归纳法证明
①当n=1时,由上可得结论成立.
②假设当n=kk≥1,k∈N*时,结论成立,即ak=kk+1,bk=k+12,那么当n=k+1时,ak+1=2bk-ak=2k+12-kk+1=k+1k+2,bk+1===k+22,所以当n=k+1时,结论也成立.由
①②,可知an=nn+1,bn=n+12对一切正整数都成立.2
①当n=1时,=.
②当n≥2时,由1知an+bn=nn+1+n+12=n+12n+12n+1n.所以.故++…++=+=++=.由
①②可知原不等式成立.1.已知点Pnan,bn满足an+1=an·bn+1,bn+1=n∈N*,且点P1的坐标为1,-1.1求过点P1,P2的直线l的方程;2试用数学归纳法证明对于n∈N*,点Pn都在1中的直线l上.解1由题意得a1=1,b1=-1,b2==,a2=1×=,∴P
2.∴直线l的方程为=,即2x+y=
1.2证明
①当n=1时,2a1+b1=2×1+-1=1成立.
②假设n=kk≥1且k∈N*时,2ak+bk=1成立.则2ak+1+bk+1=2ak·bk+1+bk+1=·2ak+1===1,∴当n=k+1时,2ak+1+bk+1=1也成立.由
①②知,对于n∈N*,都有2an+bn=1,即点Pn在直线l上.2.xx·重庆卷设a1=1,an+1=+bn∈N*.1若b=1,求a2,a3及数列{an}的通项公式;2若b=-1,问是否存在实数c使得a2nca2n+1对所有n∈N*成立?证明你的结论.解1解法1a2=2,a3=+
1.再由题设条件知an+1-12=an-12+
1.从而{an-12}是首项为0,公差为1的等差数列,故an-12=n-1,即an=+1 n∈N*.解法2a2=2,a3=+
1.可写为a1=+1,a2=+1,a3=+
1.因此猜想an=+
1.下用数学归纳法证明上式当n=1时结论显然成立.假设n=k时结论成立,即ak=+
1.则ak+1=+1=+1=+
1.这就是说,当n=k+1时结论成立.所以an=+1 n∈N*.2设fx=-1,则an+1=fan.令c=fc,即c=-1,解得c=.下用数学归纳法证明加强命题a2nca2n+
11.当n=1时,a2=f1=0,a3=f0=-1,所以a2a31,结论成立.假设n=k时结论成立,即a2kca2k+
11.易知fx在-∞,1]上为减函数,从而c=fcfa2k+1f1=a2,即1ca2k+2a
2.再由fx在-∞,1]上为减函数得c=fcfa2k+2fa2=a
31.故ca2k+31,因此a2k+1ca2k+1+
11.这就是说,当n=k+1时结论成立.综上,符合条件的c存在,其中一个值为c=.。