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2019-2020年高考数学大一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入单元质量检测理新人教A版
一、选择题每小题4分,共40分1.复数z=3-i为虚数单位的模为 A.2B.3C.D.4解析由z=3-=3-=3+i.所以|z|==.故选C.答案C2.已知平面向量a=-2,m,b=1,,且a-b⊥b,则实数m的值为 A.-2B.2C.4D.6解析因为a-b⊥b,所以a-b·b=a·b-b2=0,即-2+m-4=0,解得m=
2.答案B3.计算2= A.-iB.+iC.-iD.+i解析原式===-2=-=+i.答案D4.已知平面向量a=1,-2,b=21,c=-4,-2,则下列结论中错误的是 A.向量c与向量b共线B.若c=λ1a+λ2bλ1,λ2∈R,则λ1=0,λ2=-2C.对同一平面内任意向量d,都存在实数k1,k2,使得d=k1b+k2cD.向量a在向量b方向上的投影为0解析选项A正确,c=-2b,所以向量c与向量b共线;选项B正确,由c=λ1a+λ2b可知,解得选项C错误,向量c与向量b共线,所以由平面向量基本定理可知,它们的线性组合不能表示出同一平面内的任意向量;选项D正确,a·b=0,所以a⊥b,夹角是90°,向量a在向量b方向上的投影为|a|cos90°=
0.答案C5.P是△ABC内的一点,=+,则△ABC的面积与△ABP的面积之比为 A.3B.6C.2D.解析设D是BC的中点,则+=2,由题意,得=,所以D在AP上,且P是△ABC的重心.故==
3.答案A6.设i是虚数单位,若复数为实数,则实数a为 A.2 B.-2C.- D.解析由于==,依题意知a-2=0,则a=
2.答案A7.平面上有四个互异点A,B,C,D,已知+-2·-=0,则△ABC的形状是 A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.无法确定解析由+-2·-=0,得[-+-]·-=0,所以+·-=
0.所以||2-||2=0,∴||=||,故△ABC是等腰三角形.答案B8.已知正方形ABCD字母顺序是A→B→C→D的边长为1,点E是AB边上的动点可以与A或B重合,则·的最大值是 A.1B.C.0D.-1解析建立直角坐标系如图所示,设Ex0,x∈
[01],则D01,C11,B10,所以·=x,-1·-10=-x,当x=0时取得最大值
0.答案C9.如图所示,P为△AOB所在平面上一点,向量=a,=b,且P在线段AB的垂直平分线上,向量=c.若|a|=3,|b|=2,则c·a-b的值为 A.5B.3C.D.解析设AB的中点为D,连接OD,则c==+,所以c·a-b=+·=·+·=·=a+b·a-b=|a|2-|b|2=.答案C10.已知O为平面内一点,A,B,C是平面内不共线的三点,且=++λ,λ∈0,+∞,则P点的轨迹一定过△ABC的 A.内心B.垂心C.重心D.外心解析设D点为△ABC中BC边的中点,则已知等式可变为=+λ,=λ,等式两边点乘向量得·=λ=λ-||+||=0,所以⊥.故P点的轨迹一定通过△ABC的外心.答案D
二、填空题每小题4分,共16分11.计算2014=________.解析原式=2014=2014=-i2014=i2014=i4503·i2=-
1.答案-112.在OA为边,OB为对角线的矩形中,=-31,=-2,k,则实数k=________.解析=-=-2,k--31=1,k-1,因为OA⊥AB,所以·=0,即-3+k-1=0,解得k=
4.答案413.已知在平面直角坐标系中,O00,M11,N01,Q23,动点Px,y满足不等式0≤·≤10≤·≤1,则z=·的最大值为________.解析=x,y,=11,=01,∴·=x+y,·=y,即在条件下,求z=2x+3y的最大值,由线性规划知识,当x=0,y=1时,zmax=
3.答案314.已知点A30,B03,Ccosα,sinα,若·=-1,则的值为________.解析由题意,得=cosα-3,sinα,=cosα,sinα-3,所以·=cosαcosα-3+sinαsinα-3=-1,即sinα+cosα=.两边平方,得1+2sinαcosα=,所以2sinαcosα=-.原式===-.答案-
三、解答题共4小题,共44分,解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤.15.10分已知复数z=bib∈R,是实数,i是虚数单位.1若复数z.2若复数m+z2所表示的点在第一象限,求实数m的取值范围.解1因为z=bib∈R,所以====+i.又因为是实数,所以=0,所以b=-2,即z=-2i.2因为z=-2i,m∈R,所以m+z2=m-2i2=m2-4mi+4i2=m2-4-4mi,又因为复数m+z2所表示的点在第一象限,所以解得m-2,即m∈-∞,-2.16.10分已知向量m=cosx,sinx,n=.1若m⊥n,求|m-n|.2设fx=m·n,若fα=,求f的值.解1由m⊥n,则m·n=0,故|m-n|2=m2+n2-2mn=1+1=2,所以|m-n|=.2fx=m·n=cosx+sinx=sin,由fα=,故cosα+sinα=.平方后得,sin2α+cos2α+2cosαsinα=,所以sin2α=-,f=sin2α+π=-sin2α=.17.12分已知点G是△ABO的重心,M是AB边的中点.1求++;2若PQ过△ABO的重心G,且=a,=b,=ma,=nb,求证+=
3.解1∵+=2,又2=-,∴++=-+=
0.2证明显然=a+b.因为G是△ABO的重心,所以==a+b.由P,G,Q三点共线,得∥,所以,有且只有一个实数λ,使=λ.而=-=a+b-ma=a+b,=-=nb-a+b=-a+b,所以a+b=λ.又因为a,b不共线,所以消去λ,整理得3mn=m+n,故+=
3.18.12分已知m=2cosx+2sinx1,n=cosx,-y,且m⊥n.1将y表示为x的函数fx,并求fx的单调增区间.2已知a,b,c分别为△ABC的三个内角∠A,∠B,∠C对应的边长,若f=3,且a=2,b+c=4,求△ABC的面积.解1由m⊥n得m·n=0,所以2cos2x+2sinxcosx-y=0,即y=2cos2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x+1=2sin+1,由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,即增区间为,k∈Z.2因为f=3,所以2sin+1=3,sin=1,所以A+=2kπ+,k∈Z.因为0Aπ,所以A=.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,即4=b2+c2-bc,所以4=b+c2-3bc,因为b+c=4,所以bc=
4.所以S△ABC=bcsinA=.。