2019-2020年高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.4直线与圆圆与圆的位置关系学案理北师大版

2019-2020年高考数学大一轮复习第九章平面解析几何

9.4直线与圆圆与圆的位置关系学案理北师大版最新考纲考情考向分析

1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．

2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．

3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的范围、最值、几何量的大小等．题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法1几何法利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系．dr⇔相交；d＝r⇔相切；dr⇔相离．2代数法2．圆与圆的位置关系设圆O1x－a12＋y－b12＝rr10，圆O2x－a22＋y－b22＝rr

20.方法位置关系几何法圆心距d与r1，r2的关系代数法联立两圆方程组成方程组的解的情况相离dr1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|dr1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|r1≠r2一组实数解内含0≤d|r1－r2|r1≠r2无解知识拓展1．圆的切线方程常用结论1过圆x2＋y2＝r2上一点Px0，y0的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r

2.2过圆x－a2＋y－b2＝r2上一点Px0，y0的圆的切线方程为x0－ax－a＋y0－by－b＝r

2.3过圆x2＋y2＝r2外一点Mx0，y0作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r

2.2．圆与圆的位置关系的常用结论1两圆的位置关系与公切线的条数

①内含0条；

②内切1条；

③相交2条；

④外切3条；

⑤外离4条．2当两圆相交时，两圆方程x2，y2项系数相同相减便可得公共弦所在直线的方程．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确请在括号中打“√”或“×”1如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．　×　2如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．　×　3从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．　×　4过圆O x2＋y2＝r2上一点Px0，y0的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r

2.　√　5过圆O x2＋y2＝r2外一点Px0，y0作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r

2.　√　6如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．　√　题组二　教材改编2．若直线x－y＋1＝0与圆x－a2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是　　A．[－3，－1]B．[－13]C．[－31]D．－∞，－3]∪[1，＋∞答案　C解析　由题意可得，圆的圆心为a0，半径为，∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤

1.3．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为．答案　2解析　由得两圆公共弦所在直线为x－y＋2＝

0.又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝.由勾股定理得弦长的一半为＝，所以所求弦长为

2.题组三　易错自纠4．若直线l x－y＋m＝0与圆C x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是　　A．[－，]B．[－2，2]C．[－－1，－1]D．[－2－12－1]答案　D解析　圆C的标准方程为x－22＋y－12＝4，圆心为21，半径为2，圆心到直线的距离d＝，若直线与圆恒有公共点，则≤2，解得－2－1≤m≤2－1，故选D.5．xx·石家庄模拟设圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点41，则两圆心的距离|C1C2|等于　　A．4B．4C．8D．8答案　C解析　因为圆C1，C2和两坐标轴相切，且都过点41，所以两圆都在第一象限内，设圆心坐标为a，a，则|a|＝，解得a＝5＋2或a＝5－2，可取C15＋2，5＋2，C25－2，5－2，故|C1C2|＝＝8，故选C.6．过点A35作圆O x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为．答案　5x－12y＋45＝0或x－3＝0解析　化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得x－12＋y－22＝4，其圆心为12，∵|OA|＝＝2，∴点A35在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝kx－3，即kx－y＋5－3k＝

0.又圆心为12，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝＝2，即|3－2k|＝2，∴k＝，故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝

0.题型一　直线与圆的位置关系1．已知点Ma，b在圆O x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是　　A．相切B．相交C．相离D．不确定答案　B解析　因为Ma，b在圆O x2＋y2＝1外，所以a2＋b21，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝

1.所以直线与圆相交．2．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0t∈R的位置关系为　　A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能答案　C解析　直线2tx－y－2－2t＝0恒过点1，－2，∵12＋－22－2×1＋4×－2＝－50，∴点1，－2在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内，直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交，故选C.思维升华判断直线与圆的位置关系的常见方法1几何法利用d与r的关系．2代数法联立方程之后利用Δ判断．3点与圆的位置关系法若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．题型二　圆与圆的位置关系典例已知圆C1x－a2＋y＋22＝4与圆C2x＋b2＋y＋22＝1外切，则ab的最大值为　　A.B.C.D．2答案　C解析　由圆C1与圆C2外切，可得＝2＋1＝3，即a＋b2＝9，根据基本不等式可知ab≤2＝，当且仅当a＝b时等号成立，ab的最大值为.引申探究　1．若将本典例中的“外切”变为“内切”，求ab的最大值．解　由C1与C2内切得＝

1.即a＋b2＝1，又ab≤2＝，当且仅当a＝b时等号成立，故ab的最大值为.2．若将本典例条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程．解　由题意把圆C1，圆C2的方程都化为一般方程，得圆C1x2＋y2－2ax＋4y＋a2＝0，

①圆C2x2＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0，

②由

②－

①得2a＋2bx＋3＋b2－a2＝0，即2a＋2bx＋3＋b2－a2＝0为所求公共弦所在直线方程．思维升华　判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是1确定两圆的圆心坐标和半径长；2利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；3比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．跟踪训练xx·重庆调研如果圆C x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是．答案　－2，0∪02解析　圆C的标准方程为x－a2＋y－a2＝4，圆心坐标为a，a，半径为

2.依题意得02＋2，∴0|a|

2.∴a∈－2，0∪02．题型三　直线与圆的综合问题命题点1　求弦长问题典例xx·全国Ⅲ已知直线l mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2，则|CD|＝.答案　4解析　设AB的中点为M，由题意知，圆的半径R＝2，|AB|＝2，所以|OM|＝3，由|OM|＝＝3，解得m＝－，所以直线l x－y＋6＝

0.由解得A－3，，B0，2，则AC的直线方程为y－＝－x＋3，BD的直线方程为y－2＝－x，令y＝0，解得C－20，D20，所以|CD|＝

4.命题点2　直线与圆相交求参数范围典例已知过点A01且斜率为k的直线l与圆C x－22＋y－32＝1交于M，N两点．1求k的取值范围；2若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.解　1由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，因为l与C交于两点，所以

1.解得k.所以k的取值范围为.2设Mx1，y1，Nx2，y2．将y＝kx＋1代入方程x－22＋y－32＝1，整理得1＋k2x2－41＋kx＋7＝

0.所以x1＋x2＝，x1x2＝.·＝x1x2＋y1y2＝1＋k2x1x2＋kx1＋x2＋1＝＋

8.由题设可得＋8＝12，解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋

1.故圆心C在l上，所以|MN|＝

2.命题点3　直线与圆相切的问题典例已知圆C x－12＋y＋22＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．1与直线l1x＋y－4＝0平行；2与直线l2x－2y＋4＝0垂直；3过切点A4，－1．解　1设切线方程为x＋y＋b＝0，则＝，∴b＝1±2，∴切线方程为x＋y＋1±2＝

0.2设切线方程为2x＋y＋m＝0，则＝，∴m＝±5，∴切线方程为2x＋y±5＝

0.3∵kAC＝＝，∴过切点A4，－1的切线斜率为－3，∴过切点A4，－1的切线方程为y＋1＝－3x－4，即3x＋y－11＝

0.思维升华直线与圆综合问题的常见类型及解题策略1处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．2圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．跟踪训练1过点31作圆x－22＋y－22＝4的弦，其中最短弦的长为．答案　2解析　设P31，圆心C22，则|PC|＝，半径r＝2，由题意知最短的弦过P31且与PC垂直，所以最短弦长为2＝

2.2过点P24引圆x－12＋y－12＝1的切线，则切线方程为．答案　x＝2或4x－3y＋4＝0解析　当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝kx－2，即kx－y＋4－2k＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝＝＝1，解得k＝，∴所求切线方程为x－y＋4－2×＝0，即4x－3y＋4＝

0.综上，切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝

0.高考中与圆交汇问题的求解考点分析与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点．与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质．

一、与圆有关的最值问题典例11已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为20，则|＋＋|的最大值为　　A．6B．7C．8D．92过点，0引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于　　A.B．－C．±D．－解析　1∵A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴AC为圆的直径，故＋＝2＝－40，设Bx，y，则x2＋y2＝1且x∈[－11]，＝x－2，y，∴＋＋＝x－6，y．故|＋＋|＝，∴当x＝－1时有最大值＝7，故选B.2∵S△AOB＝|OA||OB|sin∠AOB＝sin∠AOB≤.当∠AOB＝时，△AOB的面积最大．此时O到AB的距离d＝.设AB的方程为y＝kx－k0，即kx－y－k＝

0.由d＝＝，得k＝－..答案　1B　2B

二、直线与圆的综合问题典例21已知直线l x＋ay－1＝0a∈R是圆C x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A－4，a作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于　　A．2B．4C．6D．22在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为　　A.πB.πC．6－2πD.π解析　1由于直线x＋ay－1＝0是圆C x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C21在直线x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A－4，－1．∴|AC|2＝36＋4＝

40.又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝

36.∴|AB|＝

6.2∵∠AOB＝，∴点O在圆C上．设直线2x＋y－4＝0与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2x＋y－4＝0的距离，∴点C在以O为焦点，以直线2x＋y－4＝0为准线的抛物线上，∴当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|＝＝，∴圆C的最小半径为，∴圆C面积的最小值为π2＝π.答案　1C　2A1．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是　　A．－2B．－4C．－6D．－8答案　B解析　将圆的方程化为标准方程为x＋12＋y－12＝2－a，所以圆心为－11，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4，故选B.2．圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有　　A．1个B．2个C．3个D．4个答案　C解析　圆的方程可化为x＋12＋y＋22＝8，圆心－1，－2到直线的距离d＝＝，半径是2，结合图形可知有3个符合条件的点．3．xx·福州模拟过点P1，－2作圆C x－12＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为　　A．y＝－B．y＝－C．y＝－D．y＝－答案　B解析　圆x－12＋y2＝1的圆心为10，半径为1，以|PC|＝＝2为直径的圆的方程为x－12＋y＋12＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.4．xx·广州调研若点A10和点B40到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有　　A．1条B．2条C．3条D．4条答案　C解析　如图，分别以A，B为圆心，12为半径作圆．由题意得，直线l是圆A的切线，A到l的距离为1，直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，共3条2条外公切线，1条内公切线．5．xx·福建漳州八校联考已知点Pa，bab≠0是圆x2＋y2＝r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax＋by＝r2，那么　　A．m∥l，且l与圆相交B．m⊥l，且l与圆相切C．m∥l，且l与圆相离D．m⊥l，且l与圆相离答案　C解析　∵点Pa，bab≠0在圆内，∴a2＋b2r

2.∵圆x2＋y2＝r2的圆心为O00，故由题意得OP⊥m，又kOP＝，∴km＝－，∵直线l的斜率为kl＝－＝km，圆心O到直线l的距离d＝＝r，∴m∥l，l与圆相离．故选C.6．xx·洛阳二模已知圆C的方程为x2＋y2＝1，直线l的方程为x＋y＝2，过圆C上任意一点P作与l夹角为45°的直线交l于点A，则|PA|的最小值为　　A.B．1C.－1D．2－答案　D解析　方法一　由题意可知，直线PA与坐标轴平行或重合，不妨设直线PA与y轴平行或重合，设Pcosα，sinα，则Acosα，2－cosα，∴|PA|＝|2－cosα－sinα|＝，∴|PA|的最小值为2－，故选D.方法二　由题意可知圆心00到直线x＋y＝2的距离d＝＝，∴圆C上一点到直线x＋y＝2的距离的最小值为－

1.由题意可得|PA|min＝－1＝2－，故选D.7．xx届南昌摸底已知动直线l与圆O x2＋y2＝4相交于A，B两点，且满足|AB|＝2，点C为直线l上一点，且满足＝，若M是线段AB的中点，则·的值为　　A．3B．2C．2D．－3答案　A解析　动直线l与圆O x2＋y2＝4相交于A，B两点，且满足|AB|＝2，则△OAB为等边三角形，于是可设动直线l的方程为y＝x＋2，根据题意可得B－20，A－1，，∵M是线段AB的中点，∴M，设Cx，y，∵＝，∴－2－x，－y＝－1－x，－y，∴解得∴C，∴·＝·＝＋＝3，故选A.8．xx·全国Ⅲ已知直线l x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝.答案　4解析　设Ax1，y1，Bx2，y2，由得y2－3y＋6＝0，解得x1＝－3，y1＝；x2＝0，y2＝2，∴A－3，，B02．过A，B作l的垂线方程分别为y－＝－x＋3，y－2＝－x，令y＝0，则xC＝－2，xD＝2，∴|CD|＝2－－2＝

4.9．过点P1，作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝.答案　解析　由题意，得圆心为O00，半径为

1.如图所示，∵P1，，∴PB⊥x轴，|PA|＝|PB|＝.∴△POA为直角三角形，其中|OA|＝1，|AP|＝，则|OP|＝2，∴∠OPA＝30°，∴∠APB＝60°.∴·＝||||·cos∠APB＝××cos60°＝.10．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．答案　解析　圆C的标准方程为x－42＋y2＝1，圆心为40．由题意知40到kx－y－2＝0的距离应不大于2，即≤2，整理得3k2－4k≤0，解得0≤k≤.故k的最大值是.11．已知圆C x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.1若点P运动到13处，求此时切线l的方程；2求满足条件|PM|＝|PO|的点P的轨迹方程．解　把圆C的方程化为标准方程为x＋12＋y－22＝4，∴圆心为C－12，半径r＝

2.1当l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝1，C到l的距离d＝2＝r，满足条件．当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为y－3＝kx－1，即kx－y＋3－k＝0，则＝2，解得k＝－.∴l的方程为y－3＝－x－1，即3x＋4y－15＝

0.综上，满足条件的切线l的方程为x＝1或3x＋4y－15＝

0.2设Px，y，则|PM|2＝|PC|2－|MC|2＝x＋12＋y－22－4，|PO|2＝x2＋y2，∵|PM|＝|PO|，∴x＋12＋y－22－4＝x2＋y2，整理，得2x－4y＋1＝0，∴点P的轨迹方程为2x－4y＋1＝

0.12．已知直线l4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．1求圆C的方程；2过点M10的直线与圆C交于A，B两点A在x轴上方，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解　1设圆心Ca0，则＝2，解得a＝0或a＝－5舍．所以圆C的方程为x2＋y2＝

4.2当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx－1，Nt0，Ax1，y1，Bx2，y2，由得k2＋1x2－2k2x＋k2－4＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN，即＋＝0，则＋＝0，即2x1x2－t＋1x1＋x2＋2t＝0，亦即－＋2t＝0，解得t＝4，所以当点N坐标为40时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．13．xx·安徽芜湖六校联考在平面直角坐标系xOy中，点A03，直线l y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上．若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围是　　A.B．

[01]C.D.答案　A解析　因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为x－a2＋[y－2a－2]2＝

1.设点Mx，y，因为|MA|＝2|MO|，所以＝2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋y＋12＝4，所以点M在以D0，－1为圆心，2为半径的圆上．由题意，点Mx，y在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤|CD|≤2＋1，即1≤≤

3.由≥1，得5a2－12a＋8≥0，解得a∈R；由≤3，得5a2－12a≤0，解得0≤a≤.所以点C的横坐标a的取值范围为.故选A.14．xx·郑州一模若⊙O x2＋y2＝5与⊙O1x－m2＋y2＝20m∈R相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是．答案　4解析　⊙O1与⊙O在A处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，∴O1A⊥OA.又∵|OA|＝，|O1A|＝2，∴|OO1|＝

5.又A，B关于OO1所在直线对称，∴AB长为Rt△OAO1斜边上的高的2倍，∴|AB|＝2×＝

4.15．xx·石家庄一模若a，b是正数，直线2ax＋by－2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2，则t＝a取得最大值时a的值为　　A.B.C.D.答案　D解析　由已知可得圆心00到直线2ax＋by－2＝0的距离d＝，则直线被圆截得的弦长为2＝2，化简得4a2＋b2＝

4.∴t＝a＝·2a·≤[2a2＋2]＝8a2＋2b2＋1＝，当且仅当时等号成立，即t取最大值，此时a＝舍负值．故选D.16．xx·日照一模曲线y＝的一条切线l与直线y＝x，y轴围成的三角形记为△OAB，则△OAB外接圆面积的最小值为　　A．8πB．83－πC．16－1πD．162－π答案　C解析　y′＝，设直线l与曲线的切点坐标为x0，y0，则直线l的方程为y－＝·x－x0，即y＝x＋.不妨设直线l与直线y＝x的交点为A，与y轴的交点为B，可求得A2x02x0，B.∴|AB|2＝4x＋2＝8x＋－32≥32－1，当且仅当x＝2时取等号．由正弦定理可得△OAB的外接圆的半径R＝·＝|AB|，则△OAB外接圆的面积S＝πR2＝π|AB|2≥16－1π.故选C.。