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2019-2020年高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用课时达标6函数的奇偶性与周期性[解密考纲]本考点考查函数的奇偶性、周期性,单独命题多以选择题的形式呈现,排在中间靠前的位置,题目难度系数属于中等或中等偏上;另外,函数的性质也常常与三角函数、向量、不等式、导数等相结合出解答题,有一定难度.
一、选择题1.下列函数是奇函数的是 A A.fx=x|x| B.fx=lgxC.fx=2x+2-x D.fx=x3-1解析 对于B项,fx=lgx的定义域是x0,所以不是奇函数,所以B项错;对于C项,f-x=2-x+2x=fx,fx是偶函数,所以C项错;对于D项,fx=x3-1定义域为R,但图象不过原点,所以fx是非奇非偶函数,所以D项错.只有A项满足定义域关于原点对称,并且f-x=-fx,是奇函数.2.已知fx=3ax2+bx-5a+b是偶函数,且其定义域为[6a-1,a],则a+b= A A. B.-1 C.1 D.7解析 因为偶函数的定义域关于原点对称,所以6a-1+a=0,所以a=.又因为fx为偶函数,所以3a-x2-bx-5a+b=3ax2+bx-5a+b,得b=0,所以a+b=.故选A.3.已知fx在R上是奇函数,且满足fx+4=fx,当x∈02时,fx=2x2,则f2019= A A.-2 B.2 C.-98 D.98解析 因为fx+4=fx,所以fx是以4为周期的周期函数,所以f2019=f504×4+3=f3=f-1.又fx为奇函数,所以f-1=-f1=-2×12=-2,即f2019=-
2.4.已知函数y=fx是奇函数,当x0时,fx=lgx,则f= D A. B.- C.lg2 D.-lg2解析 因为当x0时,fx=lgx,所以f=lg=-2,则f=f-2,因为函数y=fx是奇函数,所以f=-f2=-lg
2.5.已知偶函数y=fx满足fx+5=fx-5,且0≤x≤5时,fx=x2-4x,则f2018= B A.-3 B.-4 C.4 D.12解析 ∵fx+5=fx-5,∴fx+10=fx,∴fx为周期函数,且周期为10,∴f2018=f202×10-2=f-2=f2=22-4×2=-
4.故选B.6.已知fx是偶函数,且fx在[0,+∞上是增函数,如果fax+1≤fx-2在x∈时恒成立,则实数a的取值范围是 D A.[-21] B.[-50] C.[-51] D.[-20]解析 因为fx是偶函数,在[0,+∞上是增函数,如果fax+1≤fx-2在x∈时恒成立,则ax+1≤|x-2|,即x-2≤ax+1≤2-x.由ax+1≤2-x,得ax≤1-x,a≤-1,而-1在x=1时取得最小值0,故a≤
0.同理,x-2≤ax+1时,a≥-2,所以a的取值范围是[-20].
二、填空题7.xx·河南豫西南部分示范性高中期中已知奇函数fx=则实数a=__-4__.解析 因为函数fx为奇函数,则f-x=-fx,则f-1=-f1,所以4-21=-21+a,解得a=-
4.8.设定义在[-22]上的偶函数fx在区间
[02]上单调递减,若f1-mfm,则实数m的取值范围是____.解析 因为fx是偶函数,所以f-x=fx=f|x|.所以不等式f1-mfm,等价于f|1-m|f|m|.又当x∈
[02]时,fx是减函数.所以解得-1≤m.9.xx·山东卷已知fx是定义在R上的偶函数,且fx+4=fx-2.若当x∈[-30]时,fx=6-x,则f919=__6__.解析 ∵fx+4=fx-2,∴fx的周期为6,∵919=153×6+1,∴f919=f1.又fx为偶函数,∴f919=f1=f-1=
6.
三、解答题10.若fx,gx是定义在R上的函数,fx是奇函数,gx是偶函数,且fx+gx=,求fx的表达式.解析 在fx+gx=中用-x代替x,得f-x+g-x=.又fx是奇函数,gx是偶函数,所以-fx+gx=,联立方程两式相减得fx==.11.已知定义在R上的奇函数fx有最小正周期2,且当x∈01时,fx=.1求f1和f-1的值;2求fx在[-11]上的解析式.解析 1∵fx是周期为2的奇函数,∴f1=f1-2=f-1=-f1,∴f1=0,f-1=
0.2由题意知,f0=
0.当x∈-10时,-x∈01.由fx是奇函数,得fx=-f-x=-=-.综上,在[-11]上,fx=12.函数fx的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有fx1·x2=fx1+fx2.1求f1的值;2判断fx的奇偶性并证明你的结论;3如果f4=1,fx-12,且fx在0,+∞上是增函数,求x的取值范围.解析 1因为对于任意x1,x2∈D,有fx1·x2=fx1+fx2,所以令x1=x2=1,得f1=2f1,所以f1=
0.2fx为偶函数,证明如下fx定义域关于原点对称,令x1=x2=-1,有f1=f-1+f-1,所以f-1=f1=
0.令x1=-1,x2=x有f-x=f-1+fx,所以f-x=fx,所以fx为偶函数.3依题设有f4×4=f4+f4=2,由2知,fx是偶函数,所以fx-12,等价于f|x-1|f16.又fx在0,+∞上是增函数,所以0|x-1|16,解得-15x17且x≠1,所以x的取值范围是-151∪117.。