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2019-2020年高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量第4讲平行关系练习理北师大版
一、选择题
1.xx·榆林模拟有下列命题
①若直线l平行于平面α内的无数条直线,则直线l∥α;
②若直线a在平面α外,则a∥α;
③若直线a∥b,b∥α,则a∥α;
④若直线a∥b,b∥α,则a平行于平面α内的无数条直线.其中真命题的个数是 A.1B.2C.3D.4解析 命题
①l可以在平面α内,不正确;命题
②直线a与平面α可以是相交关系,不正确;命题
③a可以在平面α内,不正确;命题
④正确.答案 A
2.设m,n是不同的直线,α,β是不同的平面,且m,nα,则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 若m,nα,α∥β,则m∥β且n∥β;反之若m,nα,m∥β且n∥β,则α与β相交或平行,即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件.答案 A
3.xx·长郡中学质检如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于DE,则DE与AB的位置关系是 A.异面 B.平行C.相交 D.以上均有可能解析 在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,∵AB平面ABC,A1B1⊄平面ABC,∴A1B1∥平面ABC,∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1,∴DE∥AB.答案 B
4.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是 A.
①③B.
①④C.
②③D.
②④解析
①中,易知NP∥AA′,MN∥A′B,∴平面MNP∥平面AA′B,可得出AB∥平面MNP如图.
④中,NP∥AB,能得出AB∥平面MNP.在
②③中不能判定AB∥平面MNP.答案 B
5.已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是 A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,nα,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α解析 若m∥α,n∥α,则m,n平行、相交或异面,A错;若m⊥α,nα,则m⊥n,因为直线与平面垂直时,它垂直于平面内任一直线,B正确;若m⊥α,m⊥n,则n∥α或nα,C错;若m∥α,m⊥n,则n与α可能相交,可能平行,也可能nα,D错.答案 B
二、填空题
6.在四面体A-BCD中,M,N分别是△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是________.解析 如图,取CD的中点E.连接AE,BE,由于M,N分别是△ACD,△BCD的重心,所以AE,BE分别过M,N,则EM∶MA=1∶2,EN∶BN=1∶2,所以MN∥AB.因为AB平面ABD,MN⊄平面ABD,AB平面ABC,MN⊄平面ABC,所以MN∥平面ABD,MN∥平面ABC.答案 平面ABD与平面ABC
7.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于________.解析 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,∴AC=
2.又E为AD中点,EF∥平面AB1C,EF平面ADC,平面ADC∩平面AB1C=AC,∴EF∥AC,∴F为DC中点,∴EF=AC=.答案
8.xx·承德模拟如图所示,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M只需满足条件________时,就有MN∥平面B1BDD
1.注请填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑全部可能情况解析 连接HN,FH,FN,则FH∥DD1,HN∥BD,∴平面FHN∥平面B1BDD1,只需M∈FH,则MN平面FHN,∴MN∥平面B1BDD
1.答案 点M在线段FH上或点M与点H重合
三、解答题
9.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.1请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处不需说明理由;2判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论.解 1点F,G,H的位置如图所示.2平面BEG∥平面ACH,证明如下因为ABCD-EFGH为正方体,所以BC∥FG,BC=FG,又FG∥EH,FG=EH,所以BC∥EH,BC=EH,于是四边形BCHE为平行四边形,所以BE∥CH.又CH平面ACH,BE⊄平面ACH,所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG=B,所以平面BEG∥平面ACH.
10.xx·全国Ⅱ卷如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.1证明PB∥平面AEC;2设AP=1,AD=,三棱锥P-ABD的体积V=,求A到平面PBC的距离.1证明 设BD与AC的交点为O,连接EO.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EO∥PB.又因为EO平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC.2解 V=PA·AB·AD=AB.由V=,可得AB=.作AH⊥PB交PB于H.由题设知AB⊥BC,PA⊥BC,且PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB.又AH平面PAB,所以BC⊥AH,又PB∩BC=B,故AH⊥平面PBC.∵PB平面PBC,∴AH⊥PB,在Rt△PAB中,由勾股定理可得PB=,所以AH==.所以A到平面PBC的距离为.
11.给出下列关于互不相同的直线l,m,n和平面α,β,γ的三个命题
①若l与m为异面直线,lα,mβ,则α∥β;
②若α∥β,lα,mβ,则l∥m;
③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.其中真命题的个数为 A.3B.2C.1D.0解析
①中当α与β不平行时,也可能存在符合题意的l,m;
②中l与m也可能异面;
③中⇒l∥n,同理,l∥m,则m∥n,正确.答案 C
12.在四面体ABCD中,截面PQMN是正方形,则在下列结论中,错误的是 A.AC⊥BDB.AC∥截面PQMNC.AC=BDD.异面直线PM与BD所成的角为45°解析 因为截面PQMN是正方形,所以MN∥QP,又PQ平面ABC,MN⊄平面ABC,则MN∥平面ABC,由线面平行的性质知MN∥AC,又MN平面PQMN,AC⊄平面PQMN,则AC∥截面PQMN,同理可得MQ∥BD,又MN⊥QM,则AC⊥BD,故A,B正确.又因为BD∥MQ,所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角,即为45°,故D正确.答案 C
13.如图所示,棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD,则A1D∶DC1的值为________.解析 设BC1∩B1C=O,连接OD.∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD=OD,∴A1B∥OD,∵四边形BCC1B1是菱形,∴O为BC1的中点,∴D为A1C1的中点,则A1D∶DC1=
1.答案
114.xx·江苏卷如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC
1.设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.求证1DE∥平面AA1C1C;2BC1⊥AB
1.证明 1由题意知,E为B1C的中点,又D为AB1的中点,因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C,AC平面AA1C1C,所以DE∥平面AA1C1C.2因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC.因为AC平面ABC,所以AC⊥CC
1.又因为AC⊥BC,CC1平面BCC1B1,BC平面BCC1B1,BC∩CC1=C,所以AC⊥平面BCC1B
1.又因为BC1平面BCC1B1,所以BC1⊥AC.因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,因此BC1⊥B1C.因为AC,B1C平面B1AC,AC∩B1C=C,所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1平面B1AC,所以BC1⊥AB
1.。