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2019-2020年高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量第6讲空间向量及其运算练习理北师大版
一、选择题
1.xx·铜川调研已知向量a=2m+1,3,m-1,b=2,m,-m,且a∥b,则实数m的值等于 A.B.-2C.0D.或-2解析 ∵a∥b,∴==,解得m=-
2.答案 B
2.xx·海南模拟在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱AA1和BB1的中点,则sin〈,〉的值为 A.B.C.D.解析 如图,设正方体棱长为2,则易得=2,-2,1,=2,2,-1,∴cos〈,〉==-,∴sin〈,〉==.答案 B
3.空间四边形ABCD的各边和对角线均相等,E是BC的中点,那么 A.·<·B.·=·C.·>·D.·与·的大小不能比较解析 取BD的中点F,连接EF,则EF綊CD,因为〈,〉=〈,〉>90°,因为·=0,∴·<0,所以·>·.答案 C
4.已知向量a=1,1,0,b=-1,0,2,且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是 A.-1B.C.D.解析 由题意得,ka+b=k-1,k,2,2a-b=3,2,-
2.所以ka+b·2a-b=3k-1+2k-2×2=5k-7=0,解得k=.答案 D
5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则·的值为 A.a2B.a2C.a2D.a2解析 如图,设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三向量两两夹角为60°.=a+b,=c,∴·=a+b·c=a·c+b·c=a2cos60°+a2cos60°=a
2.答案 C
二、填空题
6.已知2a+b=0,-5,10,c=1,-2,-2,a·c=4,|b|=12,则以b,c为方向向量的两直线的夹角为________.解析 由题意得,2a+b·c=0+10-20=-
10.即2a·c+b·c=-10,又∵a·c=4,∴b·c=-18,∴cos〈b,c〉===-,∴〈b,c〉=120°,∴两直线的夹角为60°.答案 60°
7.正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD中点,则EF的长为________.解析 ||2=++2=2+2+2+2·+·+·=12+22+12+21×2×cos120°+0+2×1×cos120°=2,∴||=,∴EF的长为.答案
8.xx·南昌调研已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是OA,BC的中点,点G在线段MN上,且=2,现用基底{,,}表示向量,有=x+y+z,则x,y,z的值分别为________.解析 ∵=+=+=+-=+=++,∴x=,y=,z=.答案 ,,
三、解答题
9.已知空间中三点A-2,0,2,B-1,1,2,C-3,0,4,设a=,b=.1若|c|=3,且c∥,求向量c.2求向量a与向量b的夹角的余弦值.解 1∵c∥,=-3,0,4--1,1,2=-2,-1,2,∴c=m=m-2,-1,2=-2m,-m,2m,∴|c|==3|m|=3,∴m=±
1.∴c=-2,-1,2或2,1,-
2.2∵a=1,1,0,b=-1,0,2,∴a·b=1,1,0·-1,0,2=-1,又∵|a|==,|b|==,∴cos〈a,b〉===-,即向量a与向量b的夹角的余弦值为-.
10.如图,在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF=x,其中0≤x≤a,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.1写出点E,F的坐标;2求证A1F⊥C1E;3若A1,E,F,C1四点共面,求证=+.1解 Ea,x,0,Fa-x,a,
0.2证明 ∵A1a,0,a,C10,a,a,∴=-x,a,-a,=a,x-a,-a,∴·=-ax+ax-a+a2=0,∴⊥,∴A1F⊥C1E.3证明 ∵A1,E,F,C1四点共面,∴,,共面.选与为在平面A1C1E上的一组基向量,则存在唯一实数对λ1,λ2,使=λ1+λ2,即-x,a,-a=λ1-a,a,0+λ20,x,-a=-aλ1,aλ1+xλ2,-aλ2,∴解得λ1=,λ2=
1.于是=+.
11.在空间四边形ABCD中,·+·+·= A.-1B.0C.1D.不确定解析 如图,令=a,=b,=c,则·+·+·=a·c-b+b·a-c+c·b-a=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=
0.答案 B
12.若{a,b,c}是空间的一个基底,且向量p=xa+yb+zc,则x,y,z叫向量p在基底{a,b,c}下的坐标.已知{a,b,c}是空间的一个基底,{a+b,a-b,c}是空间的另一个基底,一向量p在基底{a,b,c}下的坐标为4,2,3,则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标是 A.4,0,3B.3,1,3C.1,2,3D.2,1,3解析 设p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为x,y,z.则p=xa+b+ya-b+zc=x+ya+x-yb+zc,
①因为p在{a,b,c}下的坐标为4,2,3,∴p=4a+2b+3c,
②由
①②得∴即p在{a+b,a-b,c}下的坐标为3,1,
3.答案 B
13.xx·郑州调研已知O点为空间直角坐标系的原点,向量=1,2,3,=2,1,2,=1,1,2,且点Q在直线OP上运动,当·取得最小值时,的坐标是__________.解析 ∵点Q在直线OP上,∴设点Qλ,λ,2λ,则=1-λ,2-λ,3-2λ,=2-λ,1-λ,2-2λ,·=1-λ2-λ+2-λ1-λ+3-2λ2-2λ=6λ2-16λ+10=6-.即当λ=时,·取得最小值-.此时=.答案
14.如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算1·;2EG的长;3异面直线AG与CE所成角的余弦值.解 设=a,=b,=c.则|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,1==c-a,=-a,=b-c,·=·-a=a2-a·c=,2=++=a+b-a+c-b=-a+b+c,||2=a2+b2+c2-a·b+b·c-c·a=,则||=.3=b+c,=+=-b+a,cos〈,〉==-,由于异面直线所成角的范围是,所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.。