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2019-2020年高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形第7讲解三角形应用举例练习理北师大版
一、选择题
1.在相距2km的A,B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C两点之间的距离为 A.kmB.kmC.kmD.2km解析 如图,在△ABC中,由已知可得∠ACB=45°,∴=,∴AC=2×=km.答案 A
2.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是 A.10海里B.10海里C.20海里D.20海里解析 如图所示,易知,在△ABC中,AB=20,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理得=,解得BC=10海里.答案 A
3.xx·合肥调研如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与B的距离为 A.akmB.akmC.akmD.2akm解析 由题图可知,∠ACB=120°,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=a2+a2-2·a·a·=3a2,解得AB=akm.答案 B
4.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=
0.6km,一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1km,水的流速为2km/h,若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min,则客船在静水中的速度为 A.8km/hB.6km/hC.2km/hD.10km/h解析 设AB与河岸线所成的角为θ,客船在静水中的速度为vkm/h,由题意知,sinθ==,从而cosθ=,所以由余弦定理得=+12-2××2×1×,解得v=
6.选B.答案 B
5.如图,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB等于 A.5B.15C.5D.15解析 在△BCD中,∠CBD=180°-15°-30°=135°.由正弦定理得=,所以BC=
15.在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=15×=
15.答案 D
二、填空题
6.如图所示,一艘海轮从A处出发,测得灯塔在海轮的北偏东15°方向,与海轮相距20海里的B处,海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处,又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向,则海轮的速度为________海里/分.解析 由已知得∠ACB=45°,∠B=60°,由正弦定理得=,所以AC===10,所以海轮航行的速度为=海里/分.答案
7.江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距________m.解析 如图,OM=AOtan45°=30m,ON=AOtan30°=×30=10m,在△MON中,由余弦定理得,MN===10m.答案
108.在200m高的山顶上,测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°,60°,则塔高为________m.解析 如图,由已知可得∠BAC=30°,∠CAD=30°,∴∠BCA=60°,∠ACD=30°,∠ADC=120°.又AB=200m,∴AC=m.在△ACD中,由余弦定理得,AC2=2CD2-2CD2·cos120°=3CD2,∴CD=AC=m.答案
三、解答题
9.如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距12海里,渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上.1求渔船甲的速度;2求sinα的值.解 1依题意知,∠BAC=120°,AB=12,AC=10×2=20,∠BCA=α.在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=122+202-2×12×20×cos120°=
784.解得BC=
28.所以渔船甲的速度为=14海里/时.2在△ABC中,因为AB=12,∠BAC=120°,BC=28,∠BCA=α,由正弦定理,得=,即sinα===.
10.xx·安徽卷在△ABC中,A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.解 设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=32+62-2×3×6×cos=18+36--36=90,所以a=
3.又由正弦定理,得sinB===,由题设知0B,所以cosB===.在△ABD中,因为AD=BD,所以∠ABD=∠BAD,所以∠ADB=π-2B.由正弦定理,得AD====.
11.xx·全国Ⅲ卷在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA= A.B.C.-D.-解析 设BC边上的高AD交BC于点D,由题意B=,BD=BC,DC=BC,tan∠BAD=1,tan∠CAD=2,tanA==-3,所以cosA=-.答案 C
12.如图所示,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从D,C两点测得A点仰角分别为α,βα<β,则点A离地面的高AB等于 A. B.C. D.解析 结合题图示可知,∠DAC=β-α.在△ACD中,由正弦定理得=,∴AC==.在Rt△ABC中,AB=ACsinβ=.答案 A
13.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于________m.解析 如图,∠ACD=30°,∠ABD=75°,AD=60m,在Rt△ACD中,CD===60m,在Rt△ABD中,BD====602-m,∴BC=CD-BD=60-602-=120-1m.答案 120-
114.如图,在海岸A处,发现北偏东45°方向距A为-1海里的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°方向,距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间注≈
2.
449.解 设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获在D点走私船,则有CD=10t海里,BD=10t海里.在△ABC中,∵AB=-1海里,AC=2海里,∠BAC=45°+75°=120°,根据余弦定理,可得BC==海里.根据正弦定理,可得sin∠ABC===.∴∠ABC=45°,易知CB方向与正北方向垂直,从而∠CBD=90°+30°=120°.在△BCD中,根据正弦定理,可得sin∠BCD===,∴∠BCD=30°,∠BDC=30°,∴BD=BC=海里,则有10t=,t=≈
0.245小时=
14.7分钟.故缉私船沿北偏东60°方向,需
14.7分钟才能追上走私船.。