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2019-2020年高考数学第二章点直线平面之间的位置关系
2.
3.3直线与平面垂直的性质课时作业新人教A版必修【课时目标】 1.理解直线和平面垂直的性质定理,并能用文字、符号和图形语言描述定理.2.能够灵活地应用线面垂直的性质定理证明相关问题.3.理解并掌握“平行”与“垂直”之间的相互转化.直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线________符号语言⇒________图形语言作用
①线面垂直⇒线线平行
②作平行线
一、选择题1.下列说法正确的是 A.若l上有无数个点不在平面α内,则l∥αB.若直线l与平面α垂直,则l与α内的任一直线垂直C.若E、F分别为△ABC中AB、BC边上的中点,则EF与经过AC边的所有平面平行D.两条垂直的直线中有一条和一个平面平行,则另一条和这个平面垂直2.若M、n表示直线,α表示平面,则下列命题中,正确命题的个数为
①⇒n⊥α;
②⇒M∥n;
③⇒M⊥n;
④⇒n⊥α.A.1B.2C.3D.43.已知直线PG⊥平面α于G,直线EF⊂α,且PF⊥EF于F,那么线段PE,PF,PG的大小关系是 A.PEPGPFB.PGPFPEC.PEPFPGD.PFPEPG4.PA垂直于以AB为直径的圆所在平面,C为圆上异于A,B的任一点,则下列关系不正确的是 A.PA⊥BCB.BC⊥平面PACC.AC⊥PBD.PC⊥BC5.下列命题
①垂直于同一直线的两条直线平行;
②垂直于同一直线的两个平面平行;
③垂直于同一平面的两条直线平行;
④垂直于同一平面的两平面平行.其中正确的个数是 A.1B.2C.3D.46.在△ABC所在的平面α外有一点P,且PA=PB=PC,则P在α内的射影是△ABC的 A.垂心B.内心C.外心D.重心
二、填空题7.线段AB在平面α的同侧,A、B到α的距离分别为3和5,则AB的中点到α的距离为________.8.直线a和b在正方体ABCD-A1B1C1D1的两个不同平面内,使a∥b成立的条件是________.只填序号
①a和b垂直于正方体的同一个面;
②a和b在正方体两个相对的面内,且共面;
③a和b平行于同一条棱;
④a和b在正方体的两个面内,且与正方体的同一条棱垂直.9.如图所示,平面ABC⊥平面ABD,∠ACB=90°,CA=CB,△ABD是正三角形,O为AB中点,则图中直角三角形的个数为________.
三、解答题10.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.求证1MN∥AD1;2M是AB的中点.11.如图所示,设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧,AA′⊥α于A′,BB′⊥α于B′,CC′⊥α于C′,G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心,求证GG′⊥α.能力提升12.如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,CE=CA=2BD,M是EA的中点,N是EC的中点,求证平面DMN∥平面ABC.13.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1,M,N分别是A1B,B1C1的中点.1求证MN⊥平面A1BC;2求直线BC1和平面A1BC所成的角的大小.1.直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理,可以并入平行推导链中,实现平行与垂直的相互转化,即线线垂直⇒线面垂直⇒线线平行⇒线面平行.2.“垂直于同一平面的两条直线互相平行”、“垂直于同一直线的两个平面互相平行”都是真命题.但“垂直于同一直线的两条直线互相平行”、“垂直于同一平面的两个平面互相平行”都是假命题.2.3.3 直线与平面垂直的性质答案知识梳理平行 a∥b作业设计1.B [由线面垂直的定义知B正确.]2.C [
①②③正确,
④中n与面α可能有n⊂α或n∥α或相交包括n⊥α.]3.C [由于PG⊥平面α于G,PF⊥EF,∴PG最短,PFPE,∴有PGPFPE.故选C.]4.C [PA⊥平面ABC,得PA⊥BC,A正确;又BC⊥AC,∴BC⊥面PAC,∴BC⊥PC,B、D均正确.∴选C.]5.B [由线线、线面垂直与平行的性质知
②③正确,选B.]6.C [设P在平面α内的射影为O,易证△PAO≌△PBO≌△PCO⇒AO=BO=CO.]7.4解析 由直线与平面垂直的性质定理知AB中点到α距离为以3和5为上、下底的直角梯形的中位线的长.8.
①②③解析
①为直线与平面垂直的性质定理的应用,
②为面面平行的性质,
③为公理4的应用.9.6解析 由题意知CO⊥AB,∴CO⊥面ABD,∴CO⊥OD,∴直角三角形为△CAO,△COB,△ACB,△AOD,△BOD,△COD.10.证明 1∵ADD1A1为正方形,∴AD1⊥A1D.又∵CD⊥平面ADD1A1,∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD=D,∴AD1⊥平面A1DC.又∵MN⊥平面A1DC,∴MN∥AD1.2连接ON,在△A1DC中,A1O=OD,A1N=NC.∴ON綊CD綊AB,∴ON∥AM.又∵MN∥OA,∴四边形AMNO为平行四边形,∴ON=AM.∵ON=AB,∴AM=AB,∴M是AB的中点.11.证明 连接AG并延长交BC于D,连接A′G′并延长交B′C′于D′,连接DD′,由AA′⊥α,BB′⊥α,CC′⊥α,得AA′∥BB′∥CC′.∵D、D′分别为BC和B′C′的中点,∴DD′∥CC′∥BB′,∴DD′∥AA′,∵G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心,∴=,∴GG′∥AA′,又∵AA′⊥α,∴GG′⊥α.12.证明 ∵M、N分别是EA与EC的中点,∴MN∥AC,又∵AC⊂平面ABC,MN⊄平面ABC,∴MN∥平面ABC,∵DB⊥平面ABC,EC⊥平面ABC,∴BD∥EC,四边形BDEC为直角梯形,∵N为EC中点,EC=2BD,∴NC綊BD,∴四边形BCND为矩形,∴DN∥BC,又∵DN⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,∴DN∥平面ABC,又∵MN∩DN=N,∴平面DMN∥平面ABC.13.1证明 如图所示,由已知BC⊥AC,BC⊥CC1,得BC⊥平面ACC1A1.连接AC1,则BC⊥AC1.由已知,可知侧面ACC1A1是正方形,所以A1C⊥AC1.又BC∩A1C=C,所以AC1⊥平面A1BC.因为侧面ABB1A1是正方形,M是A1B的中点,连接AB1,则点M是AB1的中点.又点N是B1C1的中点,则MN是△AB1C1的中位线,所以MN∥AC1.故MN⊥平面A1BC.2解 如图所示,因为AC1⊥平面A1BC,设AC1与A1C相交于点D,连接BD,则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成的角.设AC=BC=CC1=a,则C1D=a,BC1=a.在Rt△BDC1中,sin∠C1BD==,所以∠C1BD=30°,故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°.。