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2019年高中数学课时跟踪检测
(二十二)平面向量数量积的物理背景及其含义新人教A版必修41.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,则a与b的夹角θ为 A.B.C.D.解析选C 由题意,知a·b=|a||b|cosθ=4cosθ=2,又0≤θ≤π,所以θ=.2.已知|b|=3,a在b方向上的投影为,则a·b等于 A.3B.C.2D.解析选B 设a与b的夹角为θ.∵|a|cosθ=,∴a·b=|a||b|cosθ=3×=.3.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角是90°,c=2a+3b,d=ka-4b,c与d垂直,则k的值为 A.-6B.6C.3D.-3解析选B ∵c·d=0,∴2a+3b·ka-4b=0,∴2ka2-8a·b+3ka·b-12b2=0,∴2k=12,∴k=
6.4.已知a,b满足|a|=4,|b|=3,夹角为60°,则|a+b|= A.37B.13C.D.解析选C |a+b|====.5.在四边形ABCD中,=,且·=0,则四边形ABCD是 A.矩形B.菱形C.直角梯形D.等腰梯形解析选B ∵=,即一组对边平行且相等,·=0,即对角线互相垂直,∴四边形ABCD为菱形.6.给出以下命题
①若a≠0,则对任一非零向量b都有a·b≠0;
②若a·b=0,则a与b中至少有一个为0;
③a与b是两个单位向量,则a2=b
2.其中,正确命题的序号是________.解析上述三个命题中只有
③正确,因为|a|=|b|=1,所以a2=|a|2=1,b2=|b|2=1,故a2=b
2.当非零向量a,b垂直时,有a·b=0,显然
①②错误.答案
③7.设e1,e2是两个单位向量,它们的夹角为60°,则2e1-e2·-3e1+2e2=________.解析2e1-e2·-3e1+2e2=-6e+7e1·e2-2e=-6+7×cos60°-2=-.答案-8.若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,则向量a与b的夹角为________.解析∵c⊥a,∴c·a=0,∴a+b·a=0,即a2+a·b=
0.∵|a|=1,|b|=2,∴1+2cos〈a,b〉=0,∴cos〈a,b〉=-.又∵0°≤〈a,b〉≤180°,∴〈a,b〉=120°.答案120°9.已知e1与e2是两个夹角为60°的单位向量,a=2e1+e2,b=2e2-3e1,求a与b的夹角.解因为|e1|=|e2|=1,所以e1·e2=1×1×cos60°=,|a|2=2e1+e22=4+1+4e1·e2=7,故|a|=,|b|2=2e2-3e12=4+9-12e1·e2=7,故|b|=,且a·b=-6e+2e+e1·e2=-6+2+=-,所以cos〈a,b〉===-,所以a与b的夹角为120°.10.已知|a|=2|b|=2,且向量a在向量b方向上的投影为-
1.1求a与b的夹角θ;2求a-2b·b;3当λ为何值时,向量λa+b与向量a-3b互相垂直?解1∵|a|=2|b|=2,∴|a|=2,|b|=
1.又a在b方向上的投影为|a|cosθ=-1,∴a·b=|a||b|cosθ=-
1.∴cosθ=-,∴θ=.2a-2b·b=a·b-2b2=-1-2=-
3.3∵λa+b与a-3b互相垂直,∴λa+b·a-3b=λa2-3λa·b+b·a-3b2=4λ+3λ-1-3=7λ-4=0,∴λ=.层级二 应试能力达标1.已知|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为,则向量m=a-4b的模为 A.2 B.2C.6D.12解析选B |m|2=|a-4b|2=a2-8a·b+16b2=4-8×2×1×+16=12,所以|m|=
2.2.在Rt△ABC中,C=90°,AC=4,则·等于 A.-16B.-8C.8D.16解析选D 法一因为cosA=,故·=||·||cosA=||2=16,故选D.法二在上的投影为||cosA=||,故·=||||cosA=||2=16,故选D.3.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等,则|a-b|= A.1B.C.D.3解析选C 由于投影相等,故有|a|cos〈a,b〉=|b|cos〈a,b〉,因为|a|=1,|b|=2,所以cos〈a,b〉=0,即a⊥b,则|a-b|==.
4.如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E为BC的中点,则·= A.-3B.0C.-1D.1解析选C ·=·-=·-||2+||2=×2×2×cos60°-22+×22=-
1.5.设向量a,b,c满足a+b+c=0,a-b⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2的值是________.解析法一由a+b+c=0得c=-a-b.又a-b·c=0,∴a-b·-a-b=0,即a2=b
2.则c2=a+b2=a2+b2+2a·b=a2+b2=2,∴|a|2+|b|2+|c|2=
4.法二如图,作==a,=b,则=c.∵a⊥b,∴AB⊥BC,又∵a-b=-=,a-b⊥c,∴CD⊥CA,所以△ABC是等腰直角三角形,∵|a|=1,∴|b|=1,|c|=,∴|a|2+|b|2+|c|2=
4.答案46.已知向量a,b的夹角为45°,且|a|=4,·2a-3b=12,则|b|=________;b在a方向上的投影等于________.解析·2a-3b=a2+a·b-3b2=12,即3|b|2-|b|-4=0,解得|b|=舍负,b在a方向上的投影是|b|cos45°=×=
1.答案 17.已知非零向量a,b,满足|a|=1,a-b·a+b=,且a·b=.1求向量a,b的夹角;2求|a-b|.解1∵a-b·a+b=,∴a2-b2=,即|a|2-|b|2=.又|a|=1,∴|b|=.∵a·b=,∴|a|·|b|cosθ=,∴cosθ=,∴向量a,b的夹角为45°.2∵|a-b|2=a-b2=|a|2-2|a||b|cosθ+|b|2=,∴|a-b|=.8.设两个向量e1,e2,满足|e1|=2,|e2|=1,e1与e2的夹角为,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.解由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,得
0.即2te1+7e2·e1+te20,化简即得2t2+15t+70,解得-7t-.当夹角为π时,也有2te1+7e2·e1+te20,但此时夹角不是钝角,设2te1+7e2=λe1+te2,λ0,可得⇒∴所求实数t的取值范围是∪.。