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文本内容:
2019-2020年七年级数学下册完全平方公式第1课时教案北师大版教学设计思想本节内容分两课时讲授;根据本节内容特点,本着循序渐进的原则,教师可以先从“边长为(a+b)的正方形面积是多少?”这个实际问题引入新课,关于两数和的平方公式通过实例、推导、验证几个步骤完成关于两数差的平方公式,教师可以为学生提供三种不同的思路,由学生自己选择学习、理解,然后再归纳的方法进行,再通过分层次练习,加以巩固
一、教学目标一知识与技能
1.会推导完全平方公式,并掌握其应用.
2.知道完全平方公式的几何背景.二过程与方法
1.经历探索完全平方公式的过程,进一步发展符号感和推理能力.
2.重视对算理的理解,有意识地培养他们有条理的思考和表达能力.三情感、态度与价值观
1.通过数形结合,激发学习数学的兴趣.
2.鼓励学生探索算法的多样化,有意识地培养创新能力.
二、教学重难点
(一)教学重难点
1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释.
2.完全平方公式的应用.
(二)教学难点
1.完全平方公式的推导及其几何解释.
2.完全平方公式结构特点及其应用.
三、教具准备投影片,直尺.
四、教学方法自主探索法.
五、教学安排2课时.
六、教学过程Ⅰ.创设问题情景,引入新课[师]去年,一位老农在一次“科技下乡”活动中得到启示,将一块边长为a米的正方形农田改成试验田,种上了优质的杂交水稻,一年来,收益很大.今年,又一次“科技下乡”活动,使老农铁了心,要走科技兴农的路子,于是他想把原来的试验田,边长增加b米,形成四块试验田,种植不同的新品种.同学们,谁来帮老农实现这个愿望呢?同学们开始动手在练习本上画图,寻求解决的途径[生]我能帮这位爷爷.[师]你能把你的结果展示给大家吗?[生]可以.如图1-25所示,这就是我改造后的试验田,可以种植四种不同的新品种.图1-25[师]你能用不同的方式表示试验田的面积吗?[生]改造后的试验田变成了边长为a+b的大正方形,因此,试验田的总面积应为a+b
2.[生]也可以把试验田的总面积看成四部分的面积和即边长为a的正方形面积,边长为b的正方形的面积和两块长和宽分别为a和b的面积的和.所以试验田的总面积也可表示为a2+2ab+b
2.[师]很好!同学们用不同的形式表示了这块试验田的总面积,进行比较,你发现了什么?[生]可以发现它们虽形式不同,但都表示同一块试验田的面积,因此它们应该相等.即a+b2=a2+2ab+b2[师]我们这节课就来研究上面这个公式——完全平方公式.Ⅱ.讲授新课
1.推导完全平方公式[师]我们通过对比试验田的总面积得出了完全平方公式a+b2=a2+2ab+b
2.其实,据有关资料表明,古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国人也是通过类似的图形认识了这个公式.我们姑且把这种方法看作对完全平方公式的一个几何解释.能不能从代表运算的角度也能推导出这样的公式呢?想一想1a+b2等于什么?你能用多项式乘法法则说明理由吗?2a-b2等于什么?你是怎样想的.同学们可先在自己的练习本上推导,教师巡视推导的情况,对较困难的学生以启示[生]用多项式乘法法则可得a+b2=a+ba+b=aa+b+ba+b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2所以a+b2=a2+2ab+b21[师]上面的几何解释和代数推导各有什么利弊?[生]几何解释完全平方公式给我们以非常直观的认识,但几何解释a+b2=a2+2ab+b2受到了条件限制:a0且b0;代数推导完全平方公式虽然不直观,但在推导的过程中,ab可以是正数,可以是负数,零,也可以是单项式多项式.[师]同学们分析得很有道理.接下来,我们来完成第2问.[生]也可利用多项式乘法法则,则a-b2=a-ba-b=a2-ab-ba+b2=a2-2ab+b
2.[生]我是这样想的,因a+b2=a2+2ab+b2中的a、b可以是任意数或单项式、多项式.我们用“-b”代替公式中的“b”利用上面的公式就可以得到a-b2=[a+-b]
2.[师]这位同学的想法很好.因为他很留心我们表述的每一句话的含义,你能继续沿着这个思路做下去吗?我们一块试一下.[师生共析]a-b2=[a+-b]2=a2+2·a·-b+-b2↓↓↓↓↓↓a+b2=a2+2·a·b+b2=a2-2ab+b
2.于是,我们得到又一个公式a-b2=a2-2ab+b22[师]你能用语言描述上述公式
1、2吗?[生]公式1用语言描述为两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和;公式2用语言描述为两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差.这两个公式为完全平方公式.它们和平方差公式一样可以使整式的运算简便.
2.应用、升华[例1]利用完全平方公式计算12x-32;24x+5y2;3mn-a
2.分析利用完全平方公式计算,第一步先选择公式;第二步,准确代入公式;第三步化简.解1方法一[例2]利用完全平方公式计算1-x+2y2;2-x-y2;3x+y-z2;4x+y2-x-y2;52x-3y22x+3y
2.分析此题需灵活运用完全平方公式,1题可转化为2y-x2或x-2y2再运用平方差公式;2题需转化为x+y2利用和的完全平方公式;3题利用加法结合律变形为[x+y-z]2或[x+y-z]
2、[x-z+y]2再用完全平方公式计算;4题可利用完全平方公式,再合并同类项,也可逆用平方差公式进行计算.5题可先逆用幂的运算性质变形,再用平方差公式和完全平方公式.解1方法一-x+2y2=2y-x2=4y2-4xy+x2;方法二-x+2y2=[-x-2y]2=x-2y2=x2-4xy+4y
2.2-x-y2=[-x+y]2=x+y2=x2+2xy+y
2.3x+y-z2=[x+y-z]2=x+y2-2x+y·z+z2=x2+y2+z2+2xy-2zx-2yz.4方法一x+y2-x-y2=x2+2xy+y2-x2-2xy+y2=4xy.方法二x+y2-x-y2=[x+y+x-y][x+y-x-y]=4xy.52x-3y22x+3y2=[2x-3y2x+3y]2=[4x2-9y2]2=16x4-72x2y2+81y
4.Ⅲ.随堂练习课本P34,
1.计算1x-2y2;22xy+x2;3n+12-n
2.解1x-2y2=x2-2·x·2y+2y2=x2-2xy+4y222xy+x2=2xy2+2·2xy·x+x2=4x2y2+x2y+x23方法一n+12-n2=n2+2n+1-n2=2n+
1.方法二n+12-n2=[n+1+n][n+1-n]=2n+
1.Ⅳ.课后作业
1.课本P
36.习题
1.13的第
1、
2、3题.
2.阅读“读一读”,并回答文章中提出的问题.Ⅴ.活动与探究甲、乙两人合养了n头牛,而每头牛的卖价恰为n元.全部卖完后两人分钱方法如下先由甲拿10元,再由乙拿10元,如此轮流,拿到最后剩下不足十元,轮到乙拿去,为了平均分配,甲应该补给乙多少元钱?[过程]因牛n头,每头卖n元,故共卖得n2元.令a表示n的十位以前的数字,b表示n的个位数字.即n=10a+b于是n2=10a+b2=100a2+20ab+b2=10×2a5a+b+b
2.因甲先取10元,而乙最后一次取钱时不足10元,所以n2中含有奇数个10元,以及最后剩下不足10元.但10×2a5a+b中含有偶数个10元,因此b2中必含有奇数个10元,且b10,所以b2只可能是
1、
4、
9、
16、
25、
36、
49、
64、81,而这九个数中,只有16和36含有奇数个10,因此b2只可能是16或36,但这两个数的个位数都是6,这就是说,乙最后所拿的是6元即剩下不足10元.[结果]甲比乙多拿了4元,为了平均分配甲必须补给乙2元.
七、板书设计§
1.
8.1完全平方公式
一一、几何背景试验田的总面积有两种表示形式
①a2+2ab+b2
②a+b2对比得a+b2=a2+2ab+b2
二、代数推导a+b2=a+ba+b=a2+2ab+b2a-b2=[a+-b]2=a2-2ab+b2
三、例题讲例例
1.利用完全平方公式计算12x-3224x+5y23mn-a2
四、随堂练习略。