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2019-2020年七年级数学下册平方差公式教案第2课时北师大版教学设计思想本节内容分两课时讲授;首先通过练习让学生探索发现平方差公式,再从计算面积入手,要求学生找出不同的计算方法,通过交流,得出了两种方法,继而通过观察发现了面积的求法与乘法公式之间的吻合,总结规律,这样的课堂设计不仅能激发学生学习兴趣,同时也激活了学生的思维
一、教学目标一知识与技能
1.知道平方差公式的几何背景.
2.会用面积法推导平方差公式,并能运用公式进行简单的运算.二能力目标
1.用符号运算证明猜想,提高解决问题的能力.
2.培养观察、归纳、概括等能力.三情感目标
1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释,体验学习数学的乐趣.
2.体验符号运算对猜想的作用,享受数学符号表示运算规律的简捷美.
二、教学重难点
(一)教学重点平方差公式的几何解释和广泛的应用.
(二)教学难点准确地运用平方差公式进行简单运算,培养基本的运算技能.
三、教具准备一块大正方形纸板,剪刀,投影片.
四、教学方法启发——探究相结合.
五、教学安排两课时.
六、教学过程Ⅰ.创设问题情景,引入新课[师]同学们,请把自己准备好的正方形纸板拿出来,设它的边长为a.这个正方形的面积是多少?[生]a
2.[师]请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上,剪下一个边长为b的小正方形如图1-
23.现在我们就有了一个新的图形如上图阴影部分,你能表示出阴影部分的面积吗?图1-23[生]剪去一个边长为b的小正方形,余下图形的面积,即阴影部分的面积为a2-b
2.[师]你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗?同学们可在小组内交流讨论.教师可巡视同学们拼图的情况,了解同学们拼图的想法[生]老师,我们拼出来啦.[师]讲给大伙听一听.[生]我是把剩下的图形即上图阴影部分先剪成两个长方形沿上图虚线剪开,我们可以注意到,上面的大长方形宽是a-b长是a;下面的小长方形长是a-b宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形,是由于大长方形的宽和小长方形的长都是a-b我们可以将这两个边重合,这样就拼成了一个如图1-24所示的图形阴影部分,它的长和宽分别为a+ba-b面积为a+ba-b.图1-24[师]比较上面两个图形中阴影部分的面积,你发现了什么?[生]这两部分面积应该是相等的,即a+ba-b=a2-b
2.[生]这恰好是我们上节课学过的平方差公式.[生]我明白了.上一节课,我们用多项式与多项式相乘的法则验证了平方差公式.今天,我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释,太妙了.[生]用拼图来验证平方差公式很直观,一剪一拼,利用面积相等就可推证.[师]由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式,也许你会发现它更“神奇”的作用.Ⅱ.讲授新课[师]想一想1计算下列各组算式,并观察它们的特点2从以上的过程中,你发现了什么规律?3请你用字母表示这一规律,你能说明它的正确性吗?[生]1中算式算出来的结果如下[生]从上面的算式可以发现,一个自然数的平方比它相邻两数的积大
1.[师]是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢?[生]我猜想是.我又找了几个例子如[师]你能用字母表示这一规律吗?[生]设这个自然数为a与它相邻的两个自然数为a-1a+1则有a+1a-1=a2-
1.[生]这个结论是正确的,用平方差公式即可说明.[生]可是,我有一个疑问,a必须是一个自然数,还必须大于2吗?同学们惊讶,然后讨论[生]a可以代表任意一个数.[师]很好!同学们能大胆提出问题,又勇于解决问题,值得提倡.[生]老师,我还有个问题,这个结论反映了数字之间的一种关系.在平时有什么用途呢?陷入沉思[生]例如计算29×31很麻烦,我们就可以转化为30-130+1=302-1=900-1=
899.[师]的确如此.我们在做一些数的运算时,如果能一直有这样“巧夺天工”的方法,太好了.我们不妨再做几个类似的练习.[例3]用平方差公式计算1103×972118×122[师]我们可以发现,直接运算上面的算式很麻烦.但注意观察就会发现新的奥妙.[生]我发现了,103=100+397=100-3因此103×97=100+3100-3=10000-9=
9991.太简便了![生]我观察也发现了第2题的“奥妙”.118=120-2122=120+2118×122=120-2120+2=1202-4=14400-4=
14396.[生]遇到类似这样的题,我们就不用笔算,口算就能得出.[师]我们再来看一个例题[例4]计算1a2a+ba-b+a2b2;22x-52x+5-2x2x-
3.分析上面两个小题,是整式的混合运算,平方差公式的应用,能使运算简便;还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简.解1a2a+ba-b+a2b2=a2a2-b2+a2b2=a4-a2b2+a2b2=a422x-52x+5-2x2x-3=2x2-52-4x2-6x=4x2-25-4x2+6x=6x-25注意在2小题中,2x与2x-3的积算出来后,要放到括号里,因为它们是一个整体.[例5]公式的逆用1x+y2-x-y22252-242分析逆用平方差公式可以使运算简便.解1x+y2-x-y2=[x+y+x-y][x+y-x-y]=2x·2y=4xy2252-242=25+2425-24=49Ⅲ.随堂练习
1.课本P32计算1704×6962x+2yx-2y+x+1x-13xx-1-x-x+可让学生先在练习本上完成,教师巡视作业中的错误,或同桌互查互纠解1704×696=700+4700-4=490000-16=4899842x+2yx-2y+x+1x-1=x2-4y2+x2-1=x2-4y2+x2-1=2x2-4y2-13xx-1-x-x+=x2-x-[x2-2]=x2-x-x2+=-x
2.补充练习解方程2x+12x-1+3x+2x-2=7x+1x-1先由学生试着完成解2x+12x-1+3x+2x-2=7x+1x-12x2-1+3x2-4=7x2-6x-14x2-1+3x2-12=7x2-6x-16x=12x=2Ⅳ.课时小结[师]同学们这节课一定有不少体会和收获.[生]我能用拼图对平方差公式进行几何解释.也就是说对平方差公式的理解又多了一个层面.[生]平方差公式不仅在计算整式时,可以使运算简便,而且数的运算如果也能恰当地用了平方差公式,也非常神奇.[生]我觉得这节课我印象最深的是犯错误的地方.例如aa+1-a+ba-b一定要先算乘法,同时减号后面的积a+ba-b算出来一定先放在括号里,然后再去括号.就不容易犯错误了.……Ⅴ.课后作业课本P
32、习题
1.
12.Ⅵ.活动与探究计算19902-19892+19882-19872+…+22-
1.[过程]先做乘方运算,再做减法,则计算繁琐,观察算式特点,考虑逆用平方差公式.[结果]原式=19902-19892+19882-19872+…+22-1=1990+19891990-1989+1988+19871988-1987+…+2+12-1=1990+1989+1988+1987+…+2+1==1981045
七、板书设计§
1.
7.2平方差公式
二一、平方差公式的几何解释
二、想一想特例——归纳——建立猜想——用符号表示——给出证明即a+1a-1=a2-1
三、例题讲解例3例4
四、练习。