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2019-2020年中考试数学__(理科)含解析
一、本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的选项.1.如果命题“p或q”和命题“p且q”都为真,那么则有( ) A.p真q假B.p假q真C.p真q真D.p假q假 2.若a>b,则下列不等式中恒成立的是( ) A.B.lga>lgbC.2a>2bD.a2>b2 3.已知{an}是等差数列,且a2+a5+a8+a11=48,则a6+a7=( ) A.12B.16C.20D.24 4.方程x2+xy=x表示的曲线是( ) A.一个点B.一条直线 C.两条直线D.一个点和一条直线 5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若cosC>,则△ABC的形状是( ) A.等腰三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形 6.设f(x)=3ax﹣2a+1,若存在x0∈(﹣1,1),使f(x0)=0,则实数a的取值范围是( ) A.B.a<﹣1C.D. 7.数列{an}满足a1=1,a2=2,an=(n≥3且n∈N),则axx=( ) A.1B.2C.D.2﹣xx 8.一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的速度是每小时( ) A.5海里B.5海里C.10海里D.10海里 9.直角三角形的斜边长为m,则其内切圆半径的最大值为( ) A.mB.mC.mD.(﹣1)m 10.若不等式(﹣1)na<2+对任意n∈N*恒成立,则实数a的取值范围是( ) A.A.p真q假B.p假q真C.p真q真D.p假q假考点复合命题的真假.专题计算题.分析由题意,命题“p或q”为真命题,则p、q至少一个为真命题;命题“p且q”为真命题,则p、q都为真命题,故可得答案.解答解由题意,命题“p或q”为真命题,则p、q至少一个为真命题;命题“p且q”为真命题,则p、q都为真命题,故选C.点评本题考查命题的真假判断,解题时要熟练掌握判断真假命题的技巧.p或q命题一真则真,全假为假;p且q一假即假,全真为真. 2.若a>b,则下列不等式中恒成立的是( ) A.B.lga>lgbC.2a>2bD.a2>b2考点不等关系与不等式;函数单调性的性质;不等式比较大小.专题函数的性质及应用;不等式的解法及应用.分析利用不等式的基本性质和指数函数、对数函数、幂函数的单调性即可得出.解答解∵函数y=2x在R上单调递增,而a>b,∴2a>2b.故选C.点评熟练掌握不等式的基本性质和指数函数、对数函数、幂函数的单调性是解题的关键. 3.已知{an}是等差数列,且a2+a5+a8+a11=48,则a6+a7=( ) A.12B.16C.20D.24考点等差数列;等差数列的通项公式.专题计算题.分析由等差数列的性质可得a2+a11=a5+a8=a6+a7,代入已知可得答案.解答解由等差数列的性质可得a2+a11=a5+a8=a6+a7,因为a2+a5+a8+a11=48,所以2(a6+a7)=48,故a6+a7=24,故选D点评本题考查等差数列的性质,属基础题. 4.方程x2+xy=x表示的曲线是( ) A.一个点B.一条直线 C.两条直线D.一个点和一条直线考点轨迹方程.专题计算题;直线与圆.分析方程等价变形为即x(x+y﹣1)=0,化简可得x=0或x+y﹣1=0,表示两条直线.解答解方程x2+xy=x即x(x+y﹣1)=0,化简可得x=0或x+y﹣1=0.而x=0表示一条直线,x+y﹣1=0也表示一条直线,故方程x2+xy=x的曲线是两条直线,故选C.点评本题主要考查方程的曲线,化简方程,将方程进行等价变形,是解题的关键,属于中档题. 5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若cosC>,则△ABC的形状是( ) A.等腰三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形考点三角形的形状判断.专题解三角形.分析利用正弦定理可得sinAcosC>sinB,再利用两角和的正弦计算可得cosA<0,从而可得答案.解答解△ABC中,∵cosC>,∴由正弦定理得cosC>,又sinA>0,∴sinAcosC>sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,∴cosAsinC<0,又sinC>0,∴cosA<0,A为钝角,故选C.点评本题考查三角形的形状的判断,考查正弦定理与两角和的正弦的应用,属于中档题. 6.设f(x)=3ax﹣2a+1,若存在x0∈(﹣1,1),使f(x0)=0,则实数a的取值范围是( ) A.B.a<﹣1C.D.考点函数的零点与方程根的关系.专题计算题.分析根据已知中函数f(x)=3ax﹣2a+1,若存在x0∈(﹣1,1),使f(x0)=0,根据函数零点存在定理,我们易得f(﹣1)•f
(1)<0,进而得到一个关于实数a的不等式,解不等式即可得到实数a的取值范围.解答解∵函数f(x)=3ax﹣2a+1为一次函数∴函数f(x)=3ax﹣2a+1在区间(﹣1,1)上单调,又∵存在x0∈(﹣1,1),使f(x0)=0,∴f(﹣1)•f
(1)<0即(﹣3a﹣2a+1)•(3a﹣2a+1)<0解得故选C点评本题考查的知识点是函数的零点与方程根的关系,其中根据零点存在定理,结合已知条件得到一个关于实数a的不等式,是解答本题的关键. 7.数列{an}满足a1=1,a2=2,an=(n≥3且n∈N),则axx=( ) A.1B.2C.D.2﹣xx考点数列递推式.专题等差数列与等比数列.分析首先根据递推关系式,求出一部分的值,在观察出数列的各项具备的规律,利用周期最后求出结果.解答解数列{an}满足a1=1,a2=2,利用an=(n≥3且n∈N),则1,2,2,1,,,1,2,2,1,,,1,2,…所以数列的周期为6xx=335×6+4所以axx=a4=1故选A点评本题考查的知识要点数列递推关系式的应用,数列的周期性在运算中的应用.属于基础题型. 8.一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的速度是每小时( ) A.5海里B.5海里C.10海里D.10海里考点解三角形的实际应用.专题计算题.分析如图,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而CD=CA=10,在直角三角形ABC中,得AB=5,由此能求出这艘船的速度.解答解如图,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而CD=CA=10,在直角三角形ABC中,得AB=5,于是这艘船的速度是=10(海里/小时).故选C.点评本题考查三角形知识的实际运用,解题时要注意数形结合思想的灵活运用. 9.直角三角形的斜边长为m,则其内切圆半径的最大值为( ) A.mB.mC.mD.(﹣1)m考点基本不等式.专题解三角形.分析设此直角三角形的直角边分别为a,b,由勾股定理可得a2+b2=m2.其内切圆半径R=.利用(a+b)2≤2(a2+b2)=2m2,即可得出.解答解设此直角三角形的直角边分别为a,b,则a2+b2=m2.其内切圆半径R=.∵(a+b)2≤2(a2+b2)=2m2,当且仅当a=b=m时取等号.∴.∴R.∴其内切圆半径的最大值为.故选B.点评本题考查了勾股定理、直角三角形的内切圆的性质、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 10.若不等式(﹣1)na<2+对任意n∈N*恒成立,则实数a的取值范围是( ) A.﹣49=﹣n2+20n﹣49由y=﹣n2+20n﹣49>0得10﹣<n<10+又∵n∈N*,∴n=3,4∴n=3时,即该渔业公司第3年开始获利.答第3年开始获利;
(2)方案
①年平均获利为=﹣n﹣+20≤﹣2+20=6(万元)当n=7时,年平均获利最大,若此时卖出,共获利6×7+18=60(万元)方案
②y=﹣n2+20n﹣49=﹣(n﹣10)2+51当且仅当n=10时,即该渔业公司第10年总额最大,若此时卖出,共获利51+9=60万元 因为两种方案获利相等,但方案
②所需的时间长,所以方案
①较合算.答方案
①较合算.点评本题考查了函数模型的选择及应用,考查了简单的建模思想,训练了利用基本不等式求最值,考查了配方法,属中档题型. 21.已知正项数列{an}的前项n和为Sn,满足3Sn=1﹣an,且bn+2=3logan(n∈N*),数列{cn}满足cn=an•bn.
(1)求证数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{cn}的前n项和Tn;
(3)若cn≤(3t2+5t﹣1)对一切n∈N*恒成立,求t的取值范围.考点数列的求和;数列的函数特性;等差关系的确定.专题等差数列与等比数列.分析
(1)首先利用递推关系式求出,然后根据已知条件利用定义法证明数列是等差数列.
(2)根据
(1)的结论进一步利用乘公比错位相减法求数列的前n项和.
(3)进一步利用恒成立问题求参数的取值范围,其中要求出数列{cn}的最大项.最后确定参数的取值范围.解答解
(1)由题意知,因为当n≥2时,,所以4an=an﹣1,所以(n≥2),当n=1时,=a1,所以,所以{an}是以为首项是以为公比的等比数列,所以,因为bn+2=3logan(n∈N*),所以bn=3n﹣2,所以bn﹣1=3n﹣5,bn﹣bn﹣1=3(n≥2),所以{bn}是等差数列.
(2)由
(1)知cn=an•bn=Tn=c1+c2+c3+…+cn=
①所以
②①﹣
②得+…+=,整理后得到.
(3)若cn≤(3t2+5t﹣1)对一切n∈N*恒成立,只需,又,c1=c2>c3>c4>…所以最大值为.所以即3t2+5t﹣2≥0解得.点评本题考查的知识要点利用定义法证明数列是等差数列,递推关系式的应用,乘公比错位相减法的应用,利用恒成立问题求参数的取值范围. 。