还剩6页未读,继续阅读
文本内容:
2019-2020年中考数学专题复习第4章三角形第14讲等腰三角形和直角三角形☞归纳
一、等腰三角形
1.等腰三角形的定义有两条边相等的三角形是等腰三角形.
2.等腰三角形的性质
①等腰三角形两个底角相等;
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合,简称“三线合一”
③等腰三角形是轴对称图形,有1条对称轴.
3.等腰三角形的判定方法
①定义判定一个三角形中,如果有两条边相等,那么这个三角形是等腰三角形.
②判定定理等角对等边;即一个三角形中,如果有两个角相等,那么这两个角所对的边相等.
4.等边三角形的性质
①等边三角形的各角都相等,并且每—个角都等于60度;
②等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴.
5.等边三角形的判定
①三边都相等的三角形是等边三角形;
②三个角都相等的三角形是等边三角形;
③有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形.☞归纳
二、直角三角形
1.直角三角形的定义有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
2.直角三角形的性质
①直角三角形的两个锐角互余;
②在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半;
③在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半
3.直角三角形的判定
①两个内角和为90°的三角形是直角三角形;
②一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形
4.勾股定理及逆定理【勾股定理】如果直角三角形两条直角边分别为,斜边为,那么【逆定理】如果三角形三边长满足,那么这个三角形是直角三角形☞【常考题型剖析】☜☺题型
一、等腰三角形【例1】xx贺州一个等腰三角形的两边长分别为4,8,则它的周长为( )A.12B.16C.20D.16或20【答案】C【分析】当等腰三角形的三边为448时,因为4+4=8,不符合题意,舍去;当等腰三角形的三边为488时,因为4+88符合题意,此时它的周长为4+8+8=20【例2】(xx邵阳)如图所示,点D是△ABC的边AC上一点(不含端点),AD=BD,则下列结论正确的是( )A.AC>BCB.AC=BCC.∠A>∠ABCD.∠A=∠ABC【答案】A【解答】∵AD=BD,∴∠A=∠ABD,∴∠ABC>∠A,所以C选项和D选项错误;∴AC>BC,所以A选项正确;B选项错误.【举一反三】
1.xx湘西州一个等腰三角形一边长为4cm,另一边长为5cm,那么这个等腰三角形的周长是( )A.13cmB.14cmC.13cm或14cmD.以上都不对【答案】c【分析】当等腰三角形的三边为445时,因为4+45,符合题意,此时它的周长为4+4+5=13cm;当等腰三角形的三边为455时,因为4+55符合题意,此时它的周长为4+5+5=
142.xx通辽等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°,则该等腰三角形的底角的度数为【答案】69°或21°【解答】分两种情况讨论
①若∠A<90°,如图1所示 ∵BD⊥AC, ∴∠A+∠ABD=90°, ∵∠ABD=48°, ∴∠A=90°﹣48°=42°, ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠C=69°;
②若∠A>90°,如图2所示 同
①可得∠DAB=90°﹣48°=42°, ∴∠BAC=180°﹣42°=138°, ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠C=21°; 综上所述等腰三角形底角的度数为69°或21°.
3.xx淮安已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4,则该等腰三角形的周长是【答案】10【分析】当等腰三角形的三边为224时,因为2+2=4,不符合题意,舍去;当等腰三角形的三边为244时,因为2+44符合题意,此时它的周长为2+4+4=
104.xx随州已知等腰三角形的一边长为9,另一边长为方程的根,则该等腰三角形的周长为 【答案】19或21或23【解答】解方程得x=3或x=5,当等腰三角形的三边长为
9、
9、3时,其周长为21;当等腰三角形的三边长为
9、
9、5时,其周长为23;当等腰三角形的三边长为
9、
3、3时,3+3<9,不符合三角形三边关系定理,舍去;当等腰三角形的三边长为
9、
5、5时,其周长为19;综上,该等腰三角形的周长为19或21或23,
5.xx安顺已知实数满足,则以的值为两边长的等腰三角形的周长是( )A.20或16B.20C.16D.以上答案均不对【答案】B【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值,再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解.【解答】解根据题意得,解得,
(1)若4是腰长,则三角形的三边长为
4、
4、8,不能组成三角形;
(2)若4是底边长,则三角形的三边长为
4、
8、8,能组成三角形,周长为4+8+8=20.
6.xx荆门已知3是关于x的方程的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长,则△ABC的周长为( )A.7B.10C.11D.10或11【答案】D【分析】把x=3代入已知方程求得m的值;然后通过解方程求得该方程的两根,即等腰△ABC的两条边长,由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可.【解答】解把x=3代入方程得9﹣3(m+1)+2m=0,解得m=6,则原方程为,解得,因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长,
①当△ABC的腰为4,底边为3时,则△ABC的周长为4+4+3=11;
②当△ABC的腰为3,底边为4时,则△ABC的周长为3+3+4=10.综上所述,该△ABC的周长为10或11.
7.xx荆门如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5,AD=3,则BC的长为( )A.5B.6C.8D.10【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC,BD=CD,根据勾股定理即可得到结论.【解答】解∵AB=AC,AD是∠BAC的平分线,∴AD⊥BC,BD=CD,∵AB=5,AD=3,∴BD==4,∴BC=2BD=8,☺题型
二、直角三角形【例3】xx毕节下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是()A.B.1C.678D.234【答案】B【分析】如果三角形三边长满足,那么这个三角形是直角三角形;因为,所以能够组成直角三角形【例4】xx南充如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=1,点D,E分别是直角边BC,AC的中点,则DE的长为( )A.1 B.2 C. D.1+【答案】A【解析】如图,∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∴BC=AB又∵BC=1∴AB=2BC=2.又∵点D、E分别是AC和BC的中点,∴DE是△ACB的中位线,∴DE=AB=1.故选A.【举一反三】
1.xx来宾下列各组线段中,能够组成直角三角形的一组是( )A.123B.234C.456D.1【答案】D【分析】如果三角形三边长满足,那么这个三角形是直角三角形;因为,所以能够组成直角三角形
2.xx甘孜州直角三角形斜边长是5,一直角边的长是3,则此直角三角形的面积为.【答案】6【分析】∵直角三角形斜边长是5,一直角边的长是3,∴另一直角边长为4.该直角三角形的面积S=×3×4=
63.xx泉州如图3,在Rt△ABC中,E是斜边AB的中点,若AB=10,则CE= .图3图4【答案】5【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得CE=AB==
5.
4.xx百色如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=12,则BC=( )A.6B.C.D.12【答案】A【解答】∵∠C=90°,∠A=30°,AB=12,∴BC=12sin30°=12×=6,
5.xx深圳龙岭期中如图,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,则下列结论中不正确的是( )A.AD=AEB.DB=ECC.∠ADE=∠CD.DE=BC【答案】D【分析】由DE与BC平行,得到△ADE∽△ABC,由相似得比例,根据AB=AC,得到AD=AE,进而确定出DB=EC,再由两直线平行同位角相等,以及等腰三角形的底角相等,等量代换得到∠ADE=∠C,而DE不一定为中位线,即DE不一定为BC的一半,即可得到正确选项.☞【巩固提升自我】☜
1.xx广东一个等腰三角形的两边长分别是3和7,则它的周长为()A.17B.15C.13D.13或17【答案】A【分析】
①当等腰三角形的腰为3,底为7时,3+3<7不能构成三角形;
②当等腰三角形的腰为7,底为3时,周长为3+7+7=17.
2.xx广州已知2是关于的方程的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,则三角形ABC的周长为( )A.10B.14C.10或14D.8或10【答案】B【分析】解将x=2代入方程,得4﹣4m+3m=0,解得m=4.当m=4时,原方程为,解得,∵2+2=4<6,∴此等腰三角形的三边为
6、
6、2,∴此等腰三角形的周长C=6+6+2=14.
3.xx广州如图3,已知△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分线,DE交AB于点D,连接CD,则CD=( )图3图4A.3B.4C.
4.8D.5【答案】D【解答】∵AB=10,AC=8,BC=6,∴,∴△ABC是直角三角形,∵DE是AC的垂直平分线,∴AE=EC=4,DE∥BC,且线段DE是△ABC的中位线,∴DE=3,∴AD=DC==5.
4.xx南宁如图4,在△ABC中,AB=AD=DC,∠B=70°,则∠C的度数为( )A.35°B.40°C.45°D.50°【答案】A解∵△ABD中,AB=AD,∠B=70°,∴∠B=∠ADB=70°,∴∠ADC=180°﹣∠ADB=110°,∵AD=CD,∴∠C=(180°﹣∠ADC)÷2=(180°﹣110°)÷2=35°
5.xx北京如图5,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AM的长为
1.2km,则M,C两点间的距离为( )图5图6A.
0.5kmB.
0.6kmC.
0.9kmD.
1.2km【答案】D【分析】∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,M为AB的中点,∴MC=AB=AM=
1.2km
6.xx丹东如图6,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,E为BC延长线上一点,∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D,则∠D的度数为( )A.15°B.
17.5°C.20°D.
22.5°【答案】A解∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∵∠ACE=∠A+∠ABC,即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A,∴2∠1=2∠3+∠A,∵∠1=∠3+∠D,∴∠D=∠A=×30°=15°
7.xx海南如图,AD是△ABC的中线,∠ADC=45°,把△ADC沿着直线AD对折,点C落在点E的位置.如果BC=6,那么线段BE的长度为( )A.6B.C.D.【答案】D解根据折叠的性质知,CD=ED,∠CDA=∠ADE=45°,∴∠CDE=∠BDE=90°,∵BD=CD,BC=6,∴BD=ED=3,即△EDB是等腰直角三角形,∴BE=BD=×3=,。