2019-2020年中考数学专题复习第7章圆第18讲圆的有关基本性质

2019-2020年中考数学专题复习第7章圆第18讲圆的有关基本性质☞归纳1弧、弦、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，推论在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．【方法点拨】正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系在同圆或等圆中，

①圆心角相等，

②所对的弧相等，

③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．☞归纳2圆周角定理定理圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半推论1同弧或等弧所对的圆周角相等推论2:半圆或直径所对的圆周角是___直角__；90°的圆周角所对的弦是直径推论3:圆内接四边形的对角互补【方法点拨】在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧要掌握．【注意问题归纳】

①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．

②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．

③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件☞归纳3圆的切线性质圆的切线垂直于过切点的半径.如图所示，如果CD切⊙O于点A，那么OA⊥CD判定过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线如图所示，如果AB是⊙O的直径直线CD经过A点且CD⊥AB那么CD是⊙O的切线.☞【常考题型剖析】☜☺题型

一、圆心周角、弧、弦之间的关系【例1】（xx济宁）如图1，在⊙O中，，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（　　）图1图2A.40°B.30°C.20°D.15°【答案】C【解答】解连接CO，如图∵在⊙O中，∴∠AOC=∠AOB，∵∠AOB=40°，∴∠AOC=40°，∴∠ADC=∠AOC=20°，【例2】（xx河池）如图2，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，∠ABC=50°，则∠BDC的大小是．【答案】40°【分析】根据∠ABC=50°求出的度数为100°，求出的度数为80°，即可求出答案．【解答】解∵∠ABC=50°，∴的度数为100°，∵AB为直径，∴的度数为80°，∴∠BDC=×80°=40°，【举一反三】

1.xx娄底如图3，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°，则∠CAB的度数为（　　）图3图4A.20°B.40°C.50°D.70°【答案】C【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠ACB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解∵∠D=40°，∴∠B=∠D=40°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°-40°=50°．

2.xx内蒙古如图4，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=40°，则∠ABD与∠AOD分别等于（　　）A.40°，80°　　　　B.50°，100°　　　　C.50°，80°　　　　D.40°，100°【答案】B【分析】求出∠AEC=90°，根据三角形内角和定理求出∠C=50°，根据圆周角定理即可求出∠ABD，根据OB=OD得出∠ABD=∠ODB=50°，根据三角形外角性质求出即可．【解答】解∵CD⊥AB，∴∠AEC=90°，∵∠CAB=40°，∴∠C=50°，∴∠ABD=∠C=50°，∵OB=OD，∴∠ABD=∠ODB=50°，∴∠AOD=∠ABD+∠ODB=100°☺题型

二、圆周角定理及推论【例3】（xx重庆）如图1，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，BC，若∠AOB=120°，则∠ACB=度．【答案】60【分析】根据圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案．【解答】解∵∠AOB=120°，∴∠ACB=120°×=60°，图1图2图3【例4】（xx葫芦岛）如图2，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠C=110°，则∠BOD=　　　　　　度．【答案】140【分析】根据圆内接四边形对角互补和，同弧所对的圆心角是圆周角的二倍可以解答本题．【解答】解∵A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠C=110°，∴四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠C+∠A=180°，∴∠A=70°，∵∠BOD=2∠A，∴∠BOD=140°【举一反三】

3.xx湘西州如图3，在⊙O中，圆心角∠AOB=70°，那么圆周角∠C=　　　　　　．【答案】35°【分析】根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半列式计算即可得解．【解答】解∵圆心角∠AOB=70°，∴∠C=∠AOB=×70°=35°．

4.xx来宾如图4，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=110°，则∠α=．【答案】140°【分析】在优弧AB上任取一点D，连接AD，BD，先由圆内接四边形的性质求出∠ADB的度数，再由圆周角定理求出∠AOB的度数即可．【解答】解优弧AB上任取一点D，连接AD，BD，∵四边形ACBD内接与⊙O，∠C=110°，∴∠ADB=180°﹣∠C=180°﹣110°=70°，∴∠AOB=2∠ADB=2×70°=140°．图4图

55.xx张家界如图5，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC=60°，则∠BAC的度数是（　　）A.75°B.60°C.45°D.30°【答案】D【分析】根据AB是⊙O的直径可得出∠ACB=90°，再根据三角形内角和为180°以及∠OBC=60°，即可求出∠BAC的度数．【解答】解∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵∠OBC=60°，∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=30°．☺题型

三、圆的切线【例5】（xx泉州）如图6，AB和⊙O相切于点B，∠AOB=60°，则∠A的大小为（　　）图6图7A.15°B.30°C.45°D.60°【答案】B【分析】由切线的性质得出∠ABO=90°，由直角三角形的性质得出∠A=90°-∠AOB，即可得出结果．【解答】解∵AB和⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°，∴∠A=90°-∠AOB=90°-60°=30°；【举一反三】

6.xx株洲如图7，△ABC的内切圆的三个切点分别为D、E、F，∠A=75°，∠B=45°，则圆心角∠EOF=度．【答案】120【分析】首先根据∠A=75°，∠B=45°，求出∠C=60°；然后根据△ABC的内切圆的三个切点分别为D、E、F，可得∠OEC=∠OFC=90°，再根据四边形OEFC的内角和等于360°，求出圆心角∠EOF的度数是多少即可．【解答】解∵∠A=75°，∠B=45°，∴∠C=180°-75°-45°=105°-45°=60°∵△ABC的内切圆的三个切点分别为D、E、F，∴∠OEC=∠OFC=90°，∵四边形OECF的内角和等于360°，∴∠EOF=360°-（90°+90°+60°）=360°-240°=120°

7.xx梅州如下图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．

（1）求证CD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．【分析】

（1）连接OC．只需证明∠OCD=90°．根据等腰三角形的性质即可证明；

（2）阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．【解答】

（1）证明连接OC．∵AC=CD，∠ACD=120°，∴∠A=∠D=30°．∵OA=OC，∴∠2=∠A=30°．∴∠OCD=180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2=90°．即OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．

（2）解∵∠A=30°，∴∠1=2∠A=60°．∴=在Rt△OCD中，∵，∴．∴∴图中阴影部分的面积为☞【巩固提升自我】☜

1.xx茂名如图1，A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，则∠AOC的度数是（　　）图1图2图3A.150°B.140°C.130°D.120°【答案】A【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解∵A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，∴∠AOC=2∠B=150°

2.xx广东如图2，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为【答案】3【分析】作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理得到AC=BC=AB=4，然后在Rt△AOC中利用勾股定理计算OC即可．【解答】解作OC⊥AB于C，连结OA，如图，∵OC⊥AB，∴AC=BC=AB=×8=4，在Rt△AOC中，OA=5，∴OC=即圆心O到AB的距离为3．

3.xx广东如图3，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC=25°，则∠AOC的度数是【答案】50°【分析】根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知圆周角的度数，即可求出所求圆心角的度数．【解答】解∵圆心角∠AOC与圆周角∠ABC都对∴∠AOC=2∠ABC，又∠ABC=25°，则∠AOC=50°．

4.xx广东如下图⊙O是Rt△ABC的外接圆∠ABC=90°弦BD=BAAB=12BC=5BE⊥DC交DC的延长线于点E.1求证∠BCA=∠BAD;2求DE的长;3求证:BE是⊙O的切线.【分析】

（1）根据BD=BA得出∠BDA=∠BAD，再由∠BCA=∠BDA即可得出结论；

（2）判断△BED∽△CBA，利用对应边成比例的性质可求出DE的长度．

（3）连接OB，OD，证明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，继而判断BE⊥OB，可得出结论．【解答】

（1）证明∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD，∵∠BCA=∠BDA（圆周角定理），∴∠BCA=∠BAD．

（2）解∵∠BDE=∠CAB（圆周角定理）且∠BED=∠CBA=90°，∴△BED∽△CBA，∴，即，解得DE=

（3）证明连结OB，OD，在△ABO和△DBO中，∴△ABO≌△DBO（SSS），∴∠DBO=∠ABO，∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC，∴OB∥ED，∵BE⊥ED，∴EB⊥BO，∴BE是⊙O的切线．

5.xx广东改如下图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC=30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F.

（1）求证△ACF∽△DAE；

（2）若，求DE的长；【分析】

（1）根据圆周角定理得到∠BAC=90°，根据三角形的内角和得到∠ACB=60°根据切线的性质得到∠OAF=90°，∠DBC=90°，于是得到∠D=∠AFC=30°由相似三角形的判定定理即可得到结论；

（2）根据S△AOC=，得到S△ACF=，通过△ACF∽△DAE，求得S△DAE=，过A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到AH=DH=DE，由三角形的面积公式列方程即可得到结论；

（3）根据全等三角形的性质得到OE=OF，根据等腰三角形的性质得到∠OFG=（180°﹣∠EOF）=30°，于是得到∠AFO=∠GFO，过O作OG⊥EF于G，根据全等三角形的性质得到OG=OA，即可得到结论．【解答】

（1）证明∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∵∠ABC=30°，∴∠ACB=60°∵OA=OC，∴∠AOC=60°，∵AF是⊙O的切线，∴∠OAF=90°，∴∠AFC=30°，∵DE是⊙O的切线，∴∠DBC=90°，∴∠D=∠AFC=30°∴∠DAE=∠ACF=120°，∴△ACF∽△DAE；

（2）∵∠ACO=∠AFC+∠CAF=30°+∠CAF=60°，∴∠CAF=30°，∴∠CAF=∠AFC，∴AC=CF∴OC=CF，∵=，∴=，∵∠ABC=∠AFC=30°，∴AB=AF，∵AB=BD，∴AF=BD，∴∠BAE=∠BEA=30°，∴AB=BE=AF，∴，∵△ACF∽△DAE，∴∴=，过A作AH⊥DE于H，∴AH=DH=DE，∴=DE•AH=ו=，∴DE=；。