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2019-2020年中考数学专题复习第8章图形与变换第21讲图形的相似与位似☞归纳1比例的基本性质、黄金分割1成比例线段在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段.2比例的基本性质
①②③3平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例4黄金分割把一条线段(AB)分割成两条线段,使其中较长线段(AC)是原线段AB与较短线段(BC)的比例线段,就叫作把这条线段黄金分割.即AC·AC=AB·BC,AC=;一条线段的黄金分割点有两个.☞归纳2三角形相似的性质及判定1相似三角形的判定
①两角对应相等,两三角形相似;
②两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;
③三边对应成比例,两三角形相似;
④平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形与原三角形相似;2相似三角形性质
①相似三角形的对应角相等,对应边成比例,对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比,
②周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.☞归纳3相似多边形与位似图形
1.相似多边形的性质
①相似多边形对应角相等,对应边成比例.
②相似多边形周长之比等于相似比,面积之比等于相似比的平方.
2.位似图形1概念如果两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,这样的图形叫做位似图形.这个点叫做位似中心.2性质位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.☞【常考题型剖析】☜☺题型
一、平行线分线段成比例【例1】xx兰州如图在△ABC中,DE∥BC,若则=( )A. B. C. D.【答案】C【解析】根据三角形一边的平行线行性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的对应线段成比例,AE EC=AD DB=23,所以答案选C【举一反三】
1.xx济宁如图1,AB∥CD∥EF,AF与BE相交于点G,且AG=2,GD=1,DF=5,那么的值等于 (图1)(图2)【答案】D【解答】解∵AG=2,GD=1,∴AD=3,∵AB∥CD∥EF,∴
2.xx临沂如图2,在△ABC中,点D,E,F分别在AB,AC,BC上,DE∥BC,EF∥AB.若AB=8,BD=3,BF=4,则FC的长为【答案】【解答】解∵DE∥BC,EF∥AB,∴∵AB=8,BD=3,BF=4,∴解得FC=☺题型
二、相似三角形的判定和性质【例2】(xx盐城)如图,点F在平行四边形ABCD的边AB上,射线CF交DA的延长线于点E,在不添加辅助线的情况下,与△AEF相似的三角形有( )A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】C【分析】直接利用平行四边形的性质得出AD∥BC,AB∥DC,再结合相似三角形的判定方法得出答案.【解答】解∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥DC,∴△AEF∽△CBF,△AEF∽△DEC,∴与△AEF相似的三角形有2个.【例3】xx重庆已知△ABC与△DEF的相似比为14,则△ABC与△DEF的周长比为( )A.12 B.13 C.14 D.116【答案】C【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果.【解答】解∵△ABC与△DEF的相似比为14,∴△ABC与△DEF的周长比为14;【举一反三】
3.xx上海在△ABC中,点D、E分别是边AB、AC的中点,那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是.【答案】【解答】解如图,∵AD=DB,AE=EC,∴DE∥BC.DE=BC,∴△ADE∽△ABC,∴==,
4.xx兰州已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为,则△ABC与△DEF对应中线的比为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】∵△ABC∽△DEF,且相似比为34,∴△DEF与△ABC的面积比为3242,即△ABC与△DEF的面积比为916.
5.xx云南如图5,D是△ABC的边BC上一点,AB=4,AD=2,∠DAC=∠B.如果△ABD的面积为15,那么△ACD的面积为( )(图5)(图6)(图7)A.15B.10C.D.5【答案】D【分析】首先证明△ACD∽△BCA,由相似三角形的性质可得△ACD的面积△ABC的面积为14,因为△ABD的面积为9,进而求出△ACD的面积.【解答】解∵∠DAC=∠B,∠C=∠C,∴△ACD∽△BCA,∵AB=4,AD=2,∴△ACD的面积△ABC的面积为14,∴△ACD的面积△ABD的面积=13,∵△ABD的面积为15,∴△ACD的面积∴△ACD的面积=5.
6.xx巴中如图6,点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点,则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为( )A.12 B.13 C.14 D.11【答案】B【分析】证明DE是△ABC的中位线,由三角形中位线定理得出DE∥BC,DE=BC,证出△ADE∽△ABC,由相似三角形的性质得出△ADE的面积△ABC的面积=14,即可得出结果.【解答】解∵D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,DE=BC,∴△ADE∽△ABC,∴△ADE的面积△ABC的面积==14,∴△ADE的面积四边形BCED的面积=13;
7.xx湘西州如图7,在△ABC中,DE∥BC,DB=2AD,△ADE的面积为1,则四边形DBCE的面积为( )A.3B.5C.6D.8【答案】D【分析】根据相似三角形的判定与性质,可得△ABC的面积,根据面积的和差,可得答案.【解答】解由DE∥BC,DB=2AD,得△ADE∽△ABC,由,△ADE的面积为1,得得S△ABC=9.=﹣=8,
8.xx新疆如图8,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,下列说法中不正确的是( )(图8)(图9)A.DE=BCB.C.△ADE∽△ABCD.12【答案】D【分析】根据中位线的性质定理得到DE∥BC,DE=BC,再根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可判定.【解答】解∵D、E分别是AB、AC的中点,∴DE∥BC,DE=BC,∴,△ADE∽△ABC,∴∴A,B,C正确,D错误;
9.xx十堰如图9,以点O为位似中心,将△ABC缩小后得到△A′B′C′,已知OB=3OB′,则△A′B′C′与△ABC的面积比为( )A.13B.14C.15D.19【答案】D【分析】先求出位似比,根据位似比等于相似比,再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可.【解答】解∵OB=3OB′,∴∵以点O为位似中心,将△ABC缩小后得到△A′B′C′,∴△A′B′C′∽△ABC,∴∴☞【巩固提升自我】☜
1.xx广东若两个相似三角形的周长比为23,则它们的面积比是【答案】4:9【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比,再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可.【解答】解∵两个相似三角形的周长比为23,∴这两个相似三角形的相似比为23∴它们的面积比是49.
2.xx贵阳如图2,在△ABC中,DE∥BC,,BC=12,则DE的长是()(图2)(图3)A.3B.4 C.5 D.6【答案】B【分析】根据DE∥BC,得到△ADE∽△ABC,得出对应边成比例,即可求DE的长.【解答】解∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴∵BC=12,∴DE=BC=4.
3.xx新疆如图3,△ABC中,E,F分别是边AB,AC上的点,且满足,则△AEF与△ABC的面积比是___________________【答案】1:9【解答】又∴△AEF∽△ABC∴△AEF与△ABC的面积比是1:
94.xx广东如图,矩形ABCD中以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF使得另一边EF过原矩形的顶点C.1设Rt△CBD的面积为S1Rt△BFC的面积为S2Rt△DCE的面积为S3则S1______S2+S3用“”、“=”、“”填空;
(2)写出图中的三对相似三角形,并选择其中一对进行证明.分析
(1)根据S1=S矩形BDEF,S2+S3=S矩形BDEF,即可得出答案.
(2)根据矩形的性质,结合图形可得△BCD∽△CFB∽△DEC,选择一对进行证明即可.解答
(1)解∵,∴=∴∴
(2)答△BCD∽△CFB∽△DEC.证明△BCD∽△DEC;证明∵∠EDC+∠BDC=90°,∠CBD+∠BDC=90°,∴∠EDC=∠CBD,又∵∠BCD=∠DEC=90°,∴△BCD∽△DEC.
5.xx大庆如图,在菱形ABCD中,G是BD上一点,连接CG并延长交BA的延长线于点F,交AD于点E.
(1)求证AG=CG
(2)求证AG2=GE•GF【分析】1根据菱形的性质得到AB∥CD,AD=CD,∠ADB=∠CDB,推出△ADG≌△CDG,’根据全等三角形的性质即可得到结论;
(2)由全等三角形的性质得到∠EAG=∠DCG,等量代换得到∠EAG=∠F,求得△AEG∽△FGA,即可得到结论.【解答】解
(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,AD=CD,∠ADB=∠CDB,∴∠F=∠FCD,在△ADG与△CDG中,∴△ADG≌△CDG,∴∠EAG=∠DCG,∴AG=CG;
(2)∵△ADG≌△CDG,∴∠EAG=∠F,∵∠AGE=∠AGE,∴△AEG∽△FGA,∴∴AG2=GE•GF。