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2019-2020年中考数学热身与圆有关的位置关系含解析
一、选择题1.⊙O的半径为5,圆心O到直线l的距离为3,则直线l与⊙O的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.无法确定2.如图,国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成,在这个图案中反映出的两圆位置关系有( )A.内切、相交B.外离、相交C.外切、外离D.外离、内切3.两圆半径分别为3和4,圆心距为7,则这两个圆( )A.外切B.相交C.相离D.内切4.如图,从圆O外一点P引圆O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果∠APB=60°,PA=8,那么弦AB的长是( )A.4B.8C.D.5.如图,P为⊙O外一点,PA切⊙O于点A,且OP=5,PA=4,则sin∠APO等于( )A.B.C.D.6.如图,⊙O1,⊙O2,⊙O3两两相外切,⊙O1的半径r1=1,⊙O2的半径r2=2,⊙O3的半径r3=3,则△O1O2O3是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形
二、填空题7.已知⊙O的半径是3,圆心O到直线l的距离是3,则直线l与⊙O的位置关系是 .8.如图,⊙O是△ABC的外接圆,⊙O的半径R=2,sinB=,则弦AC的长为 .9.已知,⊙O1的半径为5,⊙O2的半径为9,且⊙O1与⊙O2相切,则这两圆的圆心距为 .
三、解答题10.如图,线段AB经过圆心O,交⊙O于点A,C,点D在⊙O上,连接AD,BD,∠A=∠B=30度.BD是⊙O的切线吗?请说明理由.11.如图所示,⊙O的直径AB=4,点P是AB延长线上的一点,过P点作⊙O的切线,切点为C,连接AC.
(1)若∠CPA=30°,求PC的长;
(2)若点P在AB的延长线上运动,∠CPA的平分线交AC于点M,你认为∠CMP的大小是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变化,求出∠CMP的大小.12.如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连接AC,过点D作DE⊥AC,垂足为E.
(1)求证AB=AC;
(2)求证DE为⊙O的切线;
(3)若⊙O的半径为5,∠BAC=60°,求DE的长.13.如图所示,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交AC于点E,点D是BC边的中点,连接DE.
(1)求证DE与⊙O相切;
(2)若⊙O的半径为,DE=3,求AE.14.如图,点A,B在直线MN上,AB=11厘米,⊙A,⊙B的半径均为1厘米.⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动,与此同时,⊙B的半径也不断增大,其半径r(厘米)与时间t(秒)之间的关系式为r=1+t(t≥0).
(1)试写出点A、B之间的距离d(厘米)与时间t(秒)之间的函数表达式;
(2)问点A出发后多少秒两圆相切? 与圆有关的位置关系参考答案与试题解析
一、选择题1.⊙O的半径为5,圆心O到直线l的距离为3,则直线l与⊙O的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.无法确定【考点】直线与圆的位置关系.【专题】计算题.【分析】根据直线和园的位置关系可知,圆的半径小于直线到圆距离,则直线l与O的位置关系是相离.【解答】解∵⊙O的半径为5,圆心O到直线的距离为3,∴直线l与O的位置关系是相交.故选A.【点评】本题考查了直线和圆的位置关系,直接根据直线和圆的位置关系解答即可. 2.如图,国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成,在这个图案中反映出的两圆位置关系有( )A.内切、相交B.外离、相交C.外切、外离D.外离、内切【考点】圆与圆的位置关系.【专题】压轴题.【分析】根据圆与圆关系的定义,两个圆与圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时叫做这两个圆外离;两个圆有两个公共点时叫做这两个圆相交.所以在这个图案中反映出的两圆位置关系有外离和相交.【解答】解在这个图案中反映出的两圆位置关系有两种外离和相交.故选B.【点评】本题可直接由图案得出圆与圆的位置关系,比较容易. 3.两圆半径分别为3和4,圆心距为7,则这两个圆( )A.外切B.相交C.相离D.内切【考点】圆与圆的位置关系.【专题】常规题型.【分析】根据圆心距和圆的半径之间的数量关系,可以判断出两圆的位置关系.设两圆的半径分别为R和r,且R≥r,圆心距为d外离,则d>R+r;外切,则d=R+r;相交,则R﹣r<d<R+r;内切,则d=R﹣r;内含,则d<R﹣r.【解答】解∵两圆的半径分别为3cm和4cm,且两圆的圆心距为7cm,3+4=7,由于两圆外切时,圆心距等于两圆半径的和,∴两圆外切.故选A.【点评】本题主要考查了两圆的位置关系和数量之间的等价关系两圆外切,则圆心距等于两圆半径之和. 4.如图,从圆O外一点P引圆O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果∠APB=60°,PA=8,那么弦AB的长是( )A.4B.8C.D.【考点】切线长定理;等边三角形的判定与性质.【专题】压轴题.【分析】根据切线长定理知PA=PB,而∠P=60°,所以△PAB是等边三角形,由此求得弦AB的长.【解答】解∵PA、PB都是⊙O的切线,∴PA=PB,又∵∠P=60°,∴△PAB是等边三角形,即AB=PA=8,故选B.【点评】此题主要考查的是切线长定理以及等边三角形的判定. 5.如图,P为⊙O外一点,PA切⊙O于点A,且OP=5,PA=4,则sin∠APO等于( )A.B.C.D.【考点】切线的性质;勾股定理;锐角三角函数的定义.【分析】连接OA,由勾股定理得OA=3,从而得sin∠APO=.【解答】解连接OA,由切线性质知,∠PAO=90°.在Rt△PAO中,OP=5,PA=4,由勾股定理得OA=3.∴sin∠APO=.故选B.【点评】本题可以考查锐角三角函数的定义在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边. 6.如图,⊙O1,⊙O2,⊙O3两两相外切,⊙O1的半径r1=1,⊙O2的半径r2=2,⊙O3的半径r3=3,则△O1O2O3是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形【考点】相切两圆的性质;勾股定理的逆定理.【分析】利用勾股定理来计算.【解答】解设半径为1与半径为2的圆心距为a=1+2=3,半径为1与半径为3的圆心距为b=1+3=4,半径为3与半径为2的圆心距为c=2+3=5;∵32+42=52,∴a2+b2=c2,即三个圆的圆心用线连接成三角形是直角三角形.故选B.【点评】本题利用了勾股定理的逆定理求解.
二、填空题7.已知⊙O的半径是3,圆心O到直线l的距离是3,则直线l与⊙O的位置关系是 相切 .【考点】直线与圆的位置关系.【专题】应用题;压轴题.【分析】圆心到直线的距离大于圆心距,直线与圆相离;小于圆心距,直线与圆相交;等于圆心距,直线与圆相切.【解答】解∵圆心到直线的距离=圆的半径,∴直线与圆的位置关系为相切.【点评】此题考查的是圆与直线的位置关系. 8.如图,⊙O是△ABC的外接圆,⊙O的半径R=2,sinB=,则弦AC的长为 3 .【考点】三角形的外接圆与外心;圆周角定理.【专题】综合题;压轴题.【分析】连接AO并延长至⊙O于点D,根据直径所对的圆周角为直角,则△ACD为直角三角形;又根据同弧所对的圆周角相等,所以∠B=∠D,则sinD=sinB==;因为AD=2R=4,所以AC=3.【解答】解连接AO并延长至⊙O于点D,则△ACD为直角三角形,∵∠B=∠D,∴sinD=sinB==,∵AD=2R=4,∴AC=3.【点评】本题重点考查了同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角及解直角三角形的知识,本题是一道较难的题目. 9.已知,⊙O1的半径为5,⊙O2的半径为9,且⊙O1与⊙O2相切,则这两圆的圆心距为 4或14 .【考点】圆与圆的位置关系.【专题】压轴题.【分析】两圆相切时,有两种情况内切和外切,根据两种情况下圆心距与两圆半径的数量关系求解.【解答】解当外切时,圆心距=9+5=14;当内切时,圆心距=9﹣5=4.故填4或14.【点评】本题考查了两圆相切时,两圆的半径与圆心距的关系,注意有两种情况.
三、解答题10.如图,线段AB经过圆心O,交⊙O于点A,C,点D在⊙O上,连接AD,BD,∠A=∠B=30度.BD是⊙O的切线吗?请说明理由.【考点】切线的判定;圆周角定理.【专题】压轴题;探究型.【分析】可以先猜想BD是⊙O的切线,根据切线的判定进行分析,得到OD是圆的半径,且OD⊥BD,从而可得到结论.【解答】解BD是⊙O的切线.(2分)连接OD;∵OA=OD,∴∠ADO=∠A=30°,(4分)∵∠A=∠B=30°,∴∠BDA=180°﹣(∠A+∠B)=120°,(7分)∴∠BDO=∠BDA﹣∠ADO=90°,即OD⊥BD,∴BD是⊙O的切线.(9分)理由1连接OD,∵OA=OD,∴∠ADO=∠A=30°,(4分)∵∠A=∠B=30°,∴∠BDA=180°﹣(∠A+∠B)=120,(7分)∴∠BDO=∠BDA﹣∠ADO=90°,即OD⊥BD.∴BD是⊙O的切线.(9分)理由2连接OD,∵OA=OD,∴∠ADO=∠A=30°,(4分)∴∠BOD=∠ADO+A=60°,(7分)∵∠B=30°,∴∠BDO=180°﹣(∠BOD+∠B)=90°,即OD⊥BD,∴BD是⊙O的切线.(9分)理由3连接OD,∵OA=OD,∴∠ADO=∠A=30°,(4分)在BD的延长线上取一点E,∵∠A=∠B=30°,∴∠ADE=∠A+∠B=60°,(7分)∴∠EDO=∠ADO+∠ADE=90°,即OD⊥BD∴BD是⊙O的切线.(9分)理由4连接OD,∵OA=OD,∴∠ADO=∠A=30°,(4分)连接CD,则∠ADC=90°,(5分)∴∠ODC=∠ADC﹣∠ADO=60°,(6分)∵OD=OC,∴∠OCD=60°,∵∠B=30°,∴∠BDC=∠OCD﹣∠B=30°,(7分)∴∠ODB=∠ODC+∠BDC=90°,即OD⊥BD,∴BD是⊙O的切线.(9分)【点评】本题考查切线的判定方法及圆周角定理的综合运用. 11.如图所示,⊙O的直径AB=4,点P是AB延长线上的一点,过P点作⊙O的切线,切点为C,连接AC.
(1)若∠CPA=30°,求PC的长;
(2)若点P在AB的延长线上运动,∠CPA的平分线交AC于点M,你认为∠CMP的大小是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变化,求出∠CMP的大小.【考点】解直角三角形;切线的性质.【专题】综合题.【分析】
(1)作辅助线,连接OC,根据切线的性质知OC⊥PC,由∠CPO的值和OC的长,可将PC的长求出;
(2)通过角之间的转化,可知∠CMP=(∠COP+∠CPO),故∠CMP的值不发生变化.【解答】解
(1)连接OC,∵AB=4,∴OC=2∵PC为⊙O的切线,∠CPO=30°∴PC=;
(2)∠CMP的大小没有变化.理由如下∵∠CMP=∠A+∠MPA(三角形外角定理),∠A=∠COP(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半),∠MPA=∠CPO(角平分线的性质),∴∠CMP=∠A+∠MPA=∠COP+∠CPO=(∠COP+∠CPO)=×90°=45°.【点评】本题主要考查切线的性质及对直角三角形性质的运用. 12.如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连接AC,过点D作DE⊥AC,垂足为E.
(1)求证AB=AC;
(2)求证DE为⊙O的切线;
(3)若⊙O的半径为5,∠BAC=60°,求DE的长.【考点】切线的判定;圆周角定理.【专题】计算题;证明题.【分析】
(1)根据垂直平分线的判断方法与性质易得AD是BC的垂直平分线,故可得AB=AC;
(2)连接OD,由平行线的性质,易得OD⊥DE,且DE过圆周上一点D故DE为⊙O的切线;
(3)由AB=AC,∠BAC=60°知△ABC是等边三角形,根据等边三角形的性质,可得AB=BC=10,CD=BC=5;又∠C=60°,借助三角函数的定义,可得答案.【解答】
(1)证明∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°;∵BD=CD,∴AD是BC的垂直平分线.∴AB=AC.
(2)证明连接OD,∵点O、D分别是AB、BC的中点,∴OD∥AC.∵DE⊥AC,∴OD⊥DE.∴DE为⊙O的切线.(6分)
(3)解由AB=AC,∠BAC=60°知△ABC是等边三角形,∵⊙O的半径为5,∴AB=BC=10,CD=BC=5.∵∠C=60°,∴DE=CD•sin60°=.(9分)【点评】本题考查切线的判定,线段相等的证明及线段长度的求法,要求学生掌握常见的解题方法,并能结合图形选择简单的方法解题. 13.如图所示,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交AC于点E,点D是BC边的中点,连接DE.
(1)求证DE与⊙O相切;
(2)若⊙O的半径为,DE=3,求AE.【考点】切线的判定;勾股定理.【专题】几何综合题;压轴题.【分析】
(1)根据切线的判定定理只需证明OE⊥DE即可;
(2)根据
(1)中的证明过程,会发现BC=2DE,根据勾股定理求得AC的长,进一步求得直角三角形斜边上的高BE,最后根据勾股定理求得AE的长.【解答】解
(1)证明连接OE,BE,∵AB是直径.∴BE⊥AC.∵D是BC的中点,∴DC=DB.∴∠DBE=∠DEB.又OE=OB,∴∠OBE=∠OEB.∴∠DBE+∠OBE=∠DEB+∠OEB.即∠ABD=∠OED.但∠ABC=90°,∴∠OED=90°.∴DE是⊙O的切线.
(2)法1∵∠ABC=90°,AB=2,BC=2DE=6,∴AC=4.∴BE=3.∴AE=;法2∵(8分)∴(10分)∴.(12分)【点评】此题主要考查切线的判定及勾股定理等知识点的综合运用. 14.如图,点A,B在直线MN上,AB=11厘米,⊙A,⊙B的半径均为1厘米.⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动,与此同时,⊙B的半径也不断增大,其半径r(厘米)与时间t(秒)之间的关系式为r=1+t(t≥0).
(1)试写出点A、B之间的距离d(厘米)与时间t(秒)之间的函数表达式;
(2)问点A出发后多少秒两圆相切?【考点】圆与圆的位置关系.【专题】压轴题;动点型.【分析】
(1)因为⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动,所以此题要分两种情况讨论当点A在点B的左侧时,圆心距等于11减去点A所走的路程;当点A在点B的右侧时,圆心距等于点A走的路程减去11;
(2)根据两圆相切时,两圆的半径与圆心距的关系,注意有4种情况.【解答】解
(1)当0≤t≤
5.5时点A在点B的左侧,此时函数表达式为d=11﹣2t,当t>
5.5时点A在点B的右侧,圆心距等于点A走的路程减去11,此时函数表达式为d=2t﹣11;
(2)分四种情况考虑两圆相切可分为如下四种情况
①当两圆第一次外切,由题意,可得11﹣2t=1+1+t,t=3;
②当两圆第一次内切,由题意,可得11﹣2t=1+t﹣1,t=;
③当两圆第二次内切,由题意,可得2t﹣11=1+t﹣1,t=11;
④当两圆第二次外切,由题意,可得2t﹣11=1+t+1,t=13.所以,点A出发后3秒、秒、11秒、13秒时两圆相切.【点评】此题一定要结合图形分析各种不同的情况.注意在解答第二问的时候,⊙B的半径也在不断变化.。