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2019-2020年高一下学期期末调研考试数学试题说明本试题共20题,考试时间120分钟.参考公式样本数据的方差,其中.
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在题中横线上.1.求值.2.已知向量,,其中R,若,则实数的值为.3.已知点在幂函数的图象上,则该函数的解析式.4.一个工厂有若干车间,今采用分层抽样方法从全厂某天生产的1024件产品中抽取一个容量为64的样本进行质量检查.若某车间这一天生产128件产品,则从该车间抽取的产品件数为.5.已知直线,则过点且与直线垂直的直线方程为.6.在一次演讲比赛中,七位评委为某选手打出的分数的茎叶图(如图所示),去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的方差为.7.若,为了运行如图所示的伪代码后输出的y值为,则应输入的值为.8.如图,在一个半径为3,圆心角为的扇形内画一个内切圆,若向扇形内任投一点,则该点落在该内切圆内的概率是.9.在中,若,,,则.10.已知两条不同的直线,两个不同的平面,在下列条件中,可以得出的是.(填序号)
①,,;
②,,;
③,,;
④,,.11.过直线上一点作圆的两条切线,.若,关于直线对称,则点到圆心的距离为.12.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象,若在上为增函数,则的最大值是.13.若圆上至少有三个不同点到直线l的距离为,则直线l的斜率的取值范围为.
14.定理三角形的外心O、重心G、垂心H依次在同一条直线(欧拉线)上,且,其中外心O是三条边的中垂线的交点,重心G是三条边的中线的交点,垂心H是三条高的交点.如图,在△ABC中,,,M是边BC的中点,AH⊥BC(N是垂足),O是外心,G是重心,H是垂心,,则根据定理可求得的最大值是.
二、解答题本大题共6小题,共计90分.请在试卷相应位置内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)已知,.
(1)求的值;
(2)求的值.16.(本小题满分14分)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图).分组频率[10001500)[1500xx)
0.0004[xx2500)[25003000)
0.0005[30003500)[35004000]
0.0001合计
(1)根据频率分布直方图完成以上表格;
(2)用组中值估计这10000人月收入的平均值;
(3)为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,则在[xx,3500)(元)月收入段应抽出多少人?17.(本小题满分14分)某种产品有一等品、二等品、次品三个等级,其中一等品和二等品都是正品.现有6件该产品,从中随机抽取2件来进行检测.
(1)若6件产品中有一等品3件、二等品2件、次品1件.
①抽检的2件产品全是一等品的概率是多少?
②抽检的2件产品中恰有1件是二等品的概率是多少?
(2)如果抽检的2件产品中至多有1件是次品的概率不小于,则6件产品中次品最多有多少件?18.(本小题满分16分)已知函数(其中)的相邻对称轴之间的距离为,且该函数图象的一个最高点为.
(1)求函数的解析式和单调增区间;
(2)若,求函数的最大值和最小值.19.(本小题满分16分)如图,点是单位圆与轴正半轴的交点,点,,,,,.
(1)若,求点的坐标;
(2)若四边形为平行四边形且面积为,求的最大值.20.(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆O,圆O1的圆心为O1,且与圆O交于点,过点P且斜率为k的直线l分别交圆O,O1于点A,B.
(1)若,且,求圆O1的方程;
(2)过点P作垂直于直线l的直线l1分别交圆O,O1于点C,D.当m为常数时,试判断是否是定值?若是定值,求出这个值;若不是定值,请说明理由.数学试题参考答案与评分标准
一、填空题(每题5分,共70分)1.2.3.4.85.6.47.8.9.110.
④
11.12.
213.14.
二、解答题(共90分)15.
(1)由,,得,所以,……………………………………………………………4分.……………………………………………………………6分
(2)由,…………………………………………8分又,所以,因此,……………………………10分,………………………………………………………………………………12分.…………………………………14分16.解
(1)分组频率[10001500)
0.
100.0002[1500xx)
0.
200.0004[xx2500)
0.
250.0005[25003000)
0.
250.0005[30003500)
0.
150.0003[35004000]
0.
050.0001合计
10.002……………………………………………………………………………………………6分
(2)所求平均值为1250×
0.10+1750×
0.20+2250×
0.25+2750×
0.25+3250×
0.15+3750×
0.05=2400(元).……………………………………………………………………………………………10分
(3)应该抽出100×(
0.25+
0.25+
0.15)=65(人).…………………………………14分17.解
(1)记“抽取的2件产品全是一等品”为事件,“抽取的2件产品中恰有1件是二等品”为事件.从6件产品中随机抽取2件,有5+4+3+2+1=15种抽法.……………………………4分从3件一等品中随机抽取2件,有2+1=3种抽法,故;……………6分抽取的2件产品中恰有1件是二等品的抽法有8种,故.………………8分
(2)设6件产品中有件次品,N.当或时,抽检的2件产品中至多有1件是次品的概率等于1;当时,则抽检的2件产品中至多有1件是次品的概率为;当时,则抽检的2件产品中至多有1件是次品的概率为;当时,则抽检的2件产品中至多有1件是次品的概率为;当时,则抽检的2件产品中至多有1件是次品的概率为.…………………………………………………………………………………………………13分于是,的最大值等于3.答抽检的2件产品全是一等品的概率是;抽检的2件产品中恰有1件是二等品的概率是.若抽检的2件产品中至多有1件次品的概率不小于,则6件产品中次品最多有3件.…………………………………………………………………………………………………14分18.
(1)由题意,,,得,所以,………………………………………………………………2分再由,且,得,所以的解析式为.……………………………4分由,……………………………………………………6分得,所以的单调增区间为.……………………………8分
(2)因为,所以,………………………………………10分所以,,………………………………………………………………12分,所以,.………………………………………………………16分19.解
(1)由点,,可知,.又,,所以,于是由可得.………………………………………4分,,因,故点的坐标为.…………………………………………………8分
(2),.因,故.………………10分因为平行四边形,故..…………………14分当时,取最大值.…………………………………………16分20.解
(1)时,直线l,即,由题意得,………………………………………2分整理得,,解得或(舍去),………………………………4分所以圆O1的方程为.………………………………………………6分
(2)设,,,.直线l,即,由消去y得,,由韦达定理得,(法2即有),得.………………………………………………………………………8分由消去y得,,由韦达定理得,(法2即有)得.…………………………………………………………………10分所以,.…………………………………………………………………………………………………12分同理可得,,…………………………………………………14分所以,为定值.…………………………………16分(第8题图)(第7题图)7896256482(第6题图)ABCMNHOG(第14题图)
0.
00010.
00020.
00030.
00040.000510001500xx2500300035004000月收入元频率/组距xOyBAPQ第19题图。