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2019-2020年高一数学上学期期中试卷(含解析)
一、选择题(共12小题,每小题4分,满分48分)1.(4分)若M={x|﹣2<x<1},N={x|0<x<2},则M∩N=()A.{x|x>1}B.{x|0<x<1}C.{x|﹣2<x<2}D.{x|﹣2<x<1}2.(4分)设集合A={x||x|<2},若B⊆A,则集合B可以是()A.{x|﹣1<x<0}B.{x|﹣1<x<3}C.{x|﹣3<x<2}D.{x|﹣3<x<3}3.(4分)函数f(x)=x+的图象关于()对称.A.y轴B.直线y=xC.坐标原点D.直线y=﹣x4.(4分)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,8),则f
(5)的值为()A.243B.125C.40D.255.(4分)f(x)=﹣x2+mx在(﹣∞,1]上是增函数,则m的取值范围是()A.{2}B.(﹣∞,2]C.[2,+∞)D.(﹣∞,1]6.(4分)三个数
70.3,
0.37,ln
0.3,的大小关系是()A.
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0.377.(4分)设f(x)=,则f(f
(2))的值为()A.0B.1C.2D.38.(4分)函数f(x)=|x+1|在[﹣2,2]上的最小值为()A.5B.2C.1D.09.(4分)若lg2=a,lg3=b,则log125可以用a,b表示为()A.B.C.D.10.(4分)若loga<1,则a的取值范围是()A.(0,)∪(,+∞)B.(,+∞)C.(,1)D.(0,)∪(1,+∞)11.(4分)如图,矩形ABCD的三个顶点A,B,C分别在函数y=logx,y=x,y=()x的图象上,且矩形的边分别平行于两坐标轴,若点A的纵坐标为2,则的D的坐标为()A.(,)B.(,)C.(,)D.(,)12.(4分)下列说法中,正确的个数是()
①任取x>0,均有3x>2x;
②在同一坐标系中,y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称;
③函数f(x)=log5(x2﹣2x)的单调递增区间是(1,+∞);
④若方程|log2x|=2﹣x的两个根分别为α,β,则αβ<1.A.1B.2C.3D.4
二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)13.(4分)若全集U=R,集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0},则∁UA=.14.(4分)函数y=1+logax,(a>0且a≠1)恒过定点.15.(4分)已知函数y=g(x)与函数y=3x互为反函数,则g
(27)的值为.16.(4分)设f(x)=|3x﹣1|,c<b<a且f(c)>f(a)>f(b),在关系式
①3c>3b
②3b>3a
③3c+3a>2
④3c+3a<2中一定成立的是.
三、解答题(共6小题,满分56分)17.(8分)求下列各式的值
(1)+8+25
(2)3+log35﹣log315+log38•log23.18.(8分)已知函数f(x)=x2﹣2|x|﹣a.
(1)当a=0时,画出函数f(x)的简图,并指出f(x)的单调递减区间;
(2)若函数f(x)有4个零点,求a的取值范围.19.(10分)函数y=lg(3﹣4x+x2)的定义域为M,函数f(x)=4x﹣2x+1(x∈M).
(1)求M;
(2)求函数f(x)的值域.20.(10分)已知函数f(x)定义域为R,当x>0时,f(x)>1,且对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)•f(y).
(1)求f
(0)的值;
(2)求证对任意x∈R,都有f(x)>0.21.(10分)通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间,讲座开始时,学生的兴趣增长,中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保持理想的状态,随后学生注意力开始分散.分析结果和实验表明,用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大,表示接受能力越强),x表示提出和讲授概念的时间(单位分),可以有以下的公式f(x)=
(1)开讲多少分钟后,学生的接受能力最强?能维持多少时间?
(2)开讲5分钟与开讲20分钟比较,学生的接受能力何时强一些?22.(10分)设f(x)是定义在(﹣2,2)上的奇函数,当x∈(﹣2,0)时,f(x)=﹣loga(﹣x)﹣loga(2+x),其中a>0,且a≠1.
(1)解方程f(x)=0;
(2)令t∈(0,2),判断函数f(x)在x∈(0,t)上是否有最大值、最小值;若有,求出最大值、最小值,并说明理由.吉林省长春市东北师大附中xx学年高一上学期期中数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题(共12小题,每小题4分,满分48分)1.(4分)若M={x|﹣2<x<1},N={x|0<x<2},则M∩N=()A.{x|x>1}B.{x|0<x<1}C.{x|﹣2<x<2}D.{x|﹣2<x<1}考点交集及其运算.专题集合.分析根据题意和交集的运算求出M∩N即可.解答解由题意得,M={x|﹣2<x<1},N={x|0<x<2},则M∩N={x|0<x<1},故选B.点评本题考查了交集的运算,属于基础题.2.(4分)设集合A={x||x|<2},若B⊆A,则集合B可以是()A.{x|﹣1<x<0}B.{x|﹣1<x<3}C.{x|﹣3<x<2}D.{x|﹣3<x<3}考点集合的包含关系判断及应用.专题计算题;集合.分析化简集合A={x|﹣2<x<2},从而可知,{x|﹣1<x<0}⊆{x|﹣2<x<2}.解答解集合A={x||x|<2}={x|﹣2<x<2},则{x|﹣1<x<0}⊆{x|﹣2<x<2},故A正确.故选A.点评本题考查了集合的化简与集合的包含关系的应用,属于基础题.3.(4分)函数f(x)=x+的图象关于()对称.A.y轴B.直线y=xC.坐标原点D.直线y=﹣x考点函数奇偶性的性质.专题函数的性质及应用.分析判断函数的奇偶性即可得出.解答解∵f(﹣x)==﹣=﹣f(x),(x≠0)∴函数f(x)是奇函数,其图象关于原点对称.故选C.点评本题考查了函数的奇偶性,属于基础题.4.(4分)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,8),则f
(5)的值为()A.243B.125C.40D.25考点幂函数的概念、解析式、定义域、值域.专题函数的性质及应用.分析由已知条件得f(x)=x3,由此能求出f
(5).解答解∵幂函数y=f(x)=xa的图象过点(2,8),∴2a=8,解得a=3,∴f(x)=x3,∴f
(5)=53=125.故选B.点评本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.5.(4分)f(x)=﹣x2+mx在(﹣∞,1]上是增函数,则m的取值范围是()A.{2}B.(﹣∞,2]C.[2,+∞)D.(﹣∞,1]考点二次函数的性质.专题计算题;函数的性质及应用.分析根据二次函数的图象,可得f(x)在区间(﹣∞,]上是增函数,在区间[+∞)上是减函数.由此结合题意建立关于m的不等式,解之即可得到m的取值范围.解答解∵函数f(x)=﹣x2+mx的图象是开口向下的抛物线,关于直线x=对称,∴函数f(x)=﹣x2+mx在区间(﹣∞,]上是增函数,在区间[+∞)上是减函数∵在(﹣∞,1]上f(x)是增函数∴1≤,解之得m≥2故选C点评本题给出二次函数在给定区间上为增函数,求参数m的取值范围,着重考查了二次函数的图象与性质等知识,属于基础题.6.(4分)三个数
70.3,
0.37,ln
0.3,的大小关系是()A.
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0.3B.
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0.37C.
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0.37考点对数值大小的比较.专题计算题;转化思想.分析本题宜用中间量法比较,由相关的函数的性质,求出其所在的范围,再比较大小即可解答解由题,
70.3>1,
0.37∈(0,1),ln
0.3<0三者大小关系为
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0.3故选A点评本题考查数的大小比较,由于三个数涉及到三类函数,故无法用单调性直接比较,一般此类题都是用中间量法比较.7.(4分)设f(x)=,则f(f
(2))的值为()A.0B.1C.2D.3考点分段函数的解析式求法及其图象的作法.专题计算题.分析考查对分段函数的理解程度,f
(2)=log3(22﹣1)=1,所以f(f
(2))=f
(1)=2e1﹣1=2.解答解f(f
(2))=f(log3(22﹣1))=f
(1)=2e1﹣1=2,故选C.点评此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型,主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解.8.(4分)函数f(x)=|x+1|在[﹣2,2]上的最小值为()A.5B.2C.1D.0考点函数的最值及其几何意义.专题函数的性质及应用.分析分x≥﹣1与x≤﹣1两种情况去掉绝对值符号,再考虑函数的单调性,利用单调性求函数的最值.解答解当x≥﹣1时,|x+1|=x+1;当x≤﹣1时,|x+1|=﹣x﹣1,∴当﹣2≤x≤﹣1时,f(x)=|x+1|=﹣x﹣1,函数单调递减;当﹣1≤x≤2时,f(x)=|x+1|=x+1,函数单调递增,∴当x=﹣1时,函数f(x)取得最小值,∴f最小值=f(﹣1)=|﹣1+1|=0故选D.点评本题主要考查函数单调性,利用单调性求函数的最值,当函数表达式带有绝对值的符号时,去绝对值是解题的关键.9.(4分)若lg2=a,lg3=b,则log125可以用a,b表示为()A.B.C.D.考点换底公式的应用.专题函数的性质及应用.分析利用对数的换底公式、lg2+lg5=1即可得出.解答解∵lg2=a,lg3=b,∴log125===.故选A.点评本题考查了对数的换底公式、lg2+lg5=1,属于基础题.10.(4分)若loga<1,则a的取值范围是()A.(0,)∪(,+∞)B.(,+∞)C.(,1)D.(0,)∪(1,+∞)考点对数函数的图像与性质.专题函数的性质及应用.分析通过讨论a的范围,得到不等式组,解出即可.解答解若loga<1,则<,∴或,∴0<a<或a>1,故选D.点评本题考查了对数函数的图象及性质,考查了分类讨论思想,是一道基础题.11.(4分)如图,矩形ABCD的三个顶点A,B,C分别在函数y=logx,y=x,y=()x的图象上,且矩形的边分别平行于两坐标轴,若点A的纵坐标为2,则的D的坐标为()A.(,)B.(,)C.(,)D.(,)考点对数函数图象与性质的综合应用.专题函数的性质及应用.分析根据点在函数图象,把点A的纵坐标代入对应的函数解析式求出x,求出点A的坐标,再由四边形ABCD是矩形求出B、C的坐标,最后求出点D的坐标.解答解由题意得,A,B,C分别在函数y=logx,y=x,y=()x的图象上,把y=2代入y=logx得,2=logx,即x==,所以A(,2),由四边形ABCD是矩形得,B点的纵坐标也是2,把y=2代入y=x得,2=x,即x=4,所以B(4,2),则点C的横坐标是4,把x=4代入y=()x得,y=,所以点D的坐标是(,),故选A.点评本题考查利用函数图象和解析式求出点的坐标,考查识图能力、数形结合思想.12.(4分)下列说法中,正确的个数是()
①任取x>0,均有3x>2x;
②在同一坐标系中,y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称;
③函数f(x)=log5(x2﹣2x)的单调递增区间是(1,+∞);
④若方程|log2x|=2﹣x的两个根分别为α,β,则αβ<1.A.1B.2C.3D.4考点命题的真假判断与应用.专题函数的性质及应用.分析本题考查指数函数对数函数的图象与性质,
①②较简单,利用性质求解即可;
③先求定义域,可判断为假;
④较难,转化为两函数图象交点问题,利用图象求解.解答解
①令f(x)=3x,g(x)=2x,当x>0,f(x)=3x图象恒在g(x)=2x上侧,
①正确;
②在同一坐标系中,y=2﹣x=()x与y=2x的图象关于y轴对称,
②正确;
③函数f(x)=log5(x2﹣2x)的定义域为(﹣∞,0)∪(2,+∞),区间(1,+∞)不在函数定义域内,
③错误;
④求x的取值范围为即0<x≤2;且令f(x)=|log2x|,g(x)=2﹣x,f(x)与g(x)图象交点处的x值为方程两根α,β,作图得0<α<,1<β<,则αβ<1,
④正确.故选C.点评重点体现了数形结合的数学思想,也可使用根的存在性定理求解.
二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)13.(4分)若全集U=R,集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0},则∁UA=(0,1).考点补集及其运算.专题计算题.分析由已知条件我们易求出集合A,再根据补集的定义,易求出CUA.解答解∵集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}={x|x≥1,或x≤0}∴CUA={x|0<x<1}=(0,1)故答案为(0,1)点评本题考查的知识点是补集及其运算,其中求出满足条件的集合A是解答的关键.14.(4分)函数y=1+logax,(a>0且a≠1)恒过定点(1,1).考点对数函数的单调性与特殊点.专题计算题.分析由对数的性质知,当真数为1时,对数值一定为0,由此性质求函数的定点即可.解答解令x=1,得y=1+loga1,得到y=1,故函数y=1+logax,(a>0且a≠1)的图象恒过定点(1,1)故答案为(1,1).点评本题考查对数函数的图象与性质,解题的关键是熟练掌握对数函数的性质,并能根据性质判断出本题求定点的问题可以令真数为1求定点.15.(4分)已知函数y=g(x)与函数y=3x互为反函数,则g
(27)的值为3.考点反函数.专题函数的性质及应用.分析由于函数y=g(x)与函数y=3x互为反函数,可得g(x)=log3x.即可得出.解答解∵函数y=g(x)与函数y=3x互为反函数,∴g(x)=log3x.∴g
(27)=log327=3.故答案为3.点评本题考查了互为反函数的性质、对数函数的运算,属于基础题.16.(4分)设f(x)=|3x﹣1|,c<b<a且f(c)>f(a)>f(b),在关系式
①3c>3b
②3b>3a
③3c+3a>2
④3c+3a<2中一定成立的是
④.考点指数函数的图像变换.专题计算题;函数的性质及应用.分析由y=3x递增可判断
①②不成立,由f(x)的单调性及已知条件可知c<0,a>0,再根据f(c)>f(a)可得3c+3a<2,从而可知
③④是否成立.解答解∵y=3x递增,且c<b,∴3c<3b,
①不成立;∵b<a,∴3b<3a,
②不成立;f(x)=|3x﹣1|=,可知f(x)在(﹣∞,0)上递减,在(0,+∞)上递增,由题意可知c<0,a>0,f(c)>f(a)即|3c﹣1|>|3a﹣1|,1﹣3c>3a﹣1,∴3c+3a<2,∴
③不成立,
④成立,故答案为
④.点评该题考查指数函数的单调性及其应用,考查学生分析问题解决问题的能力,属基础题.
三、解答题(共6小题,满分56分)17.(8分)求下列各式的值
(1)+8+25
(2)3+log35﹣log315+log38•log23.考点对数的运算性质.专题函数的性质及应用.分析
(1)利用指数幂的运算法则即可得出;
(2)利用对数的运算法则及对数换底公式即可得出.解答解
(1)原式=﹣4++=;
(2)原式=2++=2﹣1+3=4.点评本题考查了指数幂的运算法则、对数的运算法则及换底公式,属于基础题.18.(8分)已知函数f(x)=x2﹣2|x|﹣a.
(1)当a=0时,画出函数f(x)的简图,并指出f(x)的单调递减区间;
(2)若函数f(x)有4个零点,求a的取值范围.考点根的存在性及根的个数判断;函数图象的作法.专题函数的性质及应用.分析
(1)当a=0时,将函数转化为分段函数,进行化图.
(2)根据f(x)有4个零点,结合图象确定a的取值范围.解答解
(1)当a=0时,,由图可知,f(x)的单调递减区间为(﹣∞,﹣1)和(0,1).
(2)由f(x)=0,得x2﹣2|x|=a,∴曲线y=x2﹣2|x|与直线y=a有4个不同交点,∴根据
(1)中图象得﹣1<a<0.点评本题主要考查二次函数的图象和性质,以及函数零点的应用,利用数形结合是解决此类问题的关键.19.(10分)函数y=lg(3﹣4x+x2)的定义域为M,函数f(x)=4x﹣2x+1(x∈M).
(1)求M;
(2)求函数f(x)的值域.考点对数函数的图像与性质.专题函数的性质及应用.分析
(1)解不等式3﹣4x+x2>0,即可,
(2)令t=2x,(t>8,0<t<2),则f(x)=g(t)=t2﹣2t,(t>8,0<t<2),根据二次函数求解.解答解
(1)得x>3,或<1,∴定义域M为(﹣∞,1)∪(3,+∞)
(2)由
(1)可得f(x)=4x﹣2x+1,x∈(﹣∞,1)∪(3,+∞)令t=2x,(t>8,0<t<2),则f(x)=g(t)=t2﹣2t,(t>8,0<t<2),根据二次函数性质得[﹣1,0)∪(48,+∞)∴函数f(x)的值域为[﹣1,0)∪(48,+∞)点评本题综合考察了函数的性质,解不等式,属于中档题.20.(10分)已知函数f(x)定义域为R,当x>0时,f(x)>1,且对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)•f(y).
(1)求f
(0)的值;
(2)求证对任意x∈R,都有f(x)>0.考点抽象函数及其应用.专题函数的性质及应用.分析
(1)利用赋值法,令x=2,y=0即可求得f
(0)的值,
(2)令x<0,且y=﹣x,则﹣x>0,f(﹣x)>1,得到0<f(x)<1,问题得以证明.解答解
(1)令x=1,y=0则f
(1)=f
(1)•f
(0),∵当x>0时,f(x)>1,∴f
(0)=1,
(2)令x<0,且y=﹣x,则﹣x>0,f(﹣x)>1,∴f(x﹣x)=f(x)•f(﹣x)=1,∵f(﹣x)>1,∴0<f(x)<1,综上所述,对任意x∈R,都有f(x)>0.点评本题主要考查了抽象函数表达式反映函数性质及抽象函数表达式的应用,关键是转化化归的思想的应用,属于基础题.21.(10分)通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间,讲座开始时,学生的兴趣增长,中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保持理想的状态,随后学生注意力开始分散.分析结果和实验表明,用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大,表示接受能力越强),x表示提出和讲授概念的时间(单位分),可以有以下的公式f(x)=
(1)开讲多少分钟后,学生的接受能力最强?能维持多少时间?
(2)开讲5分钟与开讲20分钟比较,学生的接受能力何时强一些?考点分段函数的应用.专题计算题;函数的性质及应用.分析第一小题求学生的接受能力最强其实就是要求分段函数的最大值,方法是分别求出各段的最大值取其最大即可.第二小题比较5分钟和20分钟学生的接受能力何时强,方法是把x=5代入第一段函数中,而x=20要代入到第二段函数中,比较大小即可.不同的自变量代入相应的解析式才能符合要求.解答解
(1)当0<x≤10时,f(x)=﹣
0.1x2+
2.6x+43,为开口向下的二次函数,对称轴为x=13,故f(x)的最大值为f
(10)=59,当10<x≤16时,f(x)=59当x>16时,f(x)为减函数,且f(x)<59因此,开讲10分钟后,学生达到最强接受能力(为59),能维持6分钟时间.
(2)f
(5)=
53.5,f=47,故开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些.点评此题考查的是分段函数的基本知识及分段函数图象增减性的应用.此题学生容易出错,原因是学生把分段函数定义理解不清,自变量取值不同,函数解析式不同是分段函数最显著的特点.22.(10分)设f(x)是定义在(﹣2,2)上的奇函数,当x∈(﹣2,0)时,f(x)=﹣loga(﹣x)﹣loga(2+x),其中a>0,且a≠1.
(1)解方程f(x)=0;
(2)令t∈(0,2),判断函数f(x)在x∈(0,t)上是否有最大值、最小值;若有,求出最大值、最小值,并说明理由.考点函数奇偶性的性质.专题函数的性质及应用.分析
(1)令﹣loga(﹣x)=﹣loga(2+x)=0,由已知条件能求出f(x)=0解集.
(2)由已知得,由此利用分类讨论思想能求出函数f(x)在x∈(0,t)上的最值.解答解
(1)令﹣loga(﹣x)=﹣loga(2+x)=0,∴,解得x=﹣1,又∵f(x)是定义在(﹣2,2)上的奇函数,∴f(x)=0解集为{﹣1,0,1}.
(2)∵f(x)是定义在(﹣2,2)上的奇函数,∴,当0<a<1时,f(x)=logax(2﹣x)在(0,t]上单调递减,∴f(x)min=f(t)=logat(2﹣t),无最大值;1<t<2,f(x)=logax(2﹣x)在(0,1]上单调递减,在(1,t]上单调递增,∴f(x)min=f
(1)=0,无最大值;当a>1时,0<t≤1,f(x)=logax(2﹣x)在(0,t]上单调递增,∴f(x)max=f(t)=logat(2﹣t),无最小值;1<t<2,f(x)=logax(2﹣x)在(0,1]上单调递增,在(1,t]上单调递减,∴f(x)max=f
(1)=0,无最小值.点评本题考查方程的解法,是中档题,解题时要认真审题,注意分类讨论思想和函数性质的合理运用.。