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2019-2020年高一数学上学期期末考试试卷(含解析)
一、选择题(每小题5分,共50分,每小题只有一个答案正确)1.设集合U={0,1,2,3,4,5},M={0,3,5},N={1,4,5},则M∩(∁UN)=( ) A.{5}B.{0,3}C.{0,2,3,5}D.{0,1,3,4,5} 2.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) A.y=cosx﹣1B.y=﹣x2C.y=x•|x|D.y=﹣ 3.已知函数f(x)的定义域为(﹣1,0),则函数f(2x+1)的定义域为( ) A.(﹣1,1)B.(,1)C.(﹣1,0)D.(﹣1,﹣) 4.a=log2,b=log,c=()
0.3( ) A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c 5.若α、β都是锐角,且sinα=,cos(α+β)=﹣,则sinβ的值是( ) A.B.C.D. 6.把函数y=sinx(x∈R)的图象上所有点向左平行移动个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是( ) A.,x∈RB.,x∈R C.,x∈RD.,x∈R 7.设a=(,1+sinα),b=(1﹣,),且a∥b,则锐角α为( ) A.30°B.45°C.60°D.75° 8.设f(x)=,则f(xx)=( ) A.B.﹣C.﹣D. 9.函数y=lncosx()的图象是( ) A.B.C.D. 10.定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x2﹣x,则当x∈[﹣1,0]时,f(x)的最小值为( ) A.﹣B.﹣C.0D.
二、填空题(每小题5分,共25分)11.已知α为锐角,sinα=,则tan(α+)= . 12.若函数y=x2+2ax+1在(﹣∞,5]上是减函数,则实数a的取值范围是 . 13.若函数f(x)是幂函数,且满足f
(2)=4,则f()的值为 . 14.如图,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,AP=3,点Q是△BCD内(包括边界)的动点,则•的取值范围是 . 15.函数f(x)的定义域为A,若x1,x2∈A且f(x1)=f(x2)时,总有x1=x2,则称f(x)为单函数.例如,函数f(x)=2x+1(x∈R)是单函数,下列说
①函数f(x)=x2(x∈R)是单函数;
②函数y=tanx,x∈(﹣,)是单函数;
③若函数f(x)是单函数,x1,x2∈A且x1≠x2,则f(x1)≠f(x2);
④若f A→B是单函数,则对于任意b∈B,它至多有一个原象;
⑤若函数f(x)是某区间上的单函数,则函数f(x)在该区间上具有单调性.其中正确的是 .(写出所有正确的序号)
三、解答题(共75分,解答应写出说明文字、演算式、证明步骤)16.已知A={x|<3x<9},B={x|log2x<2}.
(1)求A∩B和A∪B;
(2)定义A﹣B={x|x∈A且x∉B},直接写出A﹣B和B﹣A. 17.设与是两个单位向量,其夹角为60°,且=2+,=﹣3+2.
(1)求•;
(2)求||和||;
(3)求与的夹角. 18.某商场经营一批进价是30元/件的商品,在市场试销中发现,此商品销售价x元与日销售量y件之间有如下关系x4550y2712(Ⅰ)确定x与y的一个一次函数关系式y=f(x);(Ⅱ)若日销售利润为P元,根据(I)中关系写出P关于x的函数关系,并指出当销售单价为多少元时,才能获得最大的日销售利润? 19.已知函数f(x)=loga(x+3)﹣loga(3﹣x),a>0且a≠1.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断并证明函数f(x)的奇偶性;
(3)若a>1,指出函数的单调性,并求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值. 20.设函数f(x)=2cos2x+2sinx•cosx+m(m,x∈R).
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)当x∈[0,]时,求实数m的值,使函数f(x)的值域恰为,并求此时f(x)在R上的对称中心. 21.已知函数f(x)满足对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)•f(y)﹣f(x)﹣f(y)+2成立,且x>0时,f(x)>2,
(1)求f
(0)的值,并证明当x<0时,1<f(x)<2.
(2)判断f(x)的单调性并加以证明.
(3)若函数g(x)=|f(x)﹣k|在(﹣∞,0)上递减,求实数k的取值范围. xx学年安徽省蚌埠市高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题(每小题5分,共50分,每小题只有一个答案正确)1.设集合U={0,1,2,3,4,5},M={0,3,5},N={1,4,5},则M∩(∁UN)=( ) A.{5}B.{0,3}C.{0,2,3,5}D.{0,1,3,4,5}考点交、并、补集的混合运算.专题集合.分析由全集U及N求出N的补集,找出M与N补集的交集即可.解答解∵集合U={0,1,2,3,4,5},M={0,3,5},N={1,4,5},∴∁UN={0,2,3},则M∩(∁UN)={0,3}.故选B.点评此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) A.y=cosx﹣1B.y=﹣x2C.y=x•|x|D.y=﹣考点函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明.专题计算题;函数的性质及应用.分析运用常见函数的奇偶性和单调性以及定义,即可得到既是奇函数又是增函数的函数.解答解对于A.定义域为R,f(﹣x)=cos(﹣x)﹣1=cosx﹣1=f(x),则为偶函数,则A不满足条件;对于B.定义域为R,f(﹣x)=f(x),则为偶函数,则B不满足条件;对于C.定义域为R,f(﹣x)=(﹣x)|﹣x|=﹣x|x|=﹣f(x),则为奇函数,当x>0时,f(x)=x2递增,且f
(0)=0,当x<0时,f(x)=﹣x2递增,则f(x)在R上递增,则C满足条件;对于D.定义域为{x|x≠0},关于原点对称,f(﹣x)==﹣f(x),当x>0时,f(x)递增,当x<0时,f(x)递增,但在定义域内不为递增,则D不满足条件.故选C.点评本题考查函数的奇偶性和单调性的判断,考查常见函数的奇偶性和单调性和定义的运用,考查运算能力,属于基础题和易错题. 3.已知函数f(x)的定义域为(﹣1,0),则函数f(2x+1)的定义域为( ) A.(﹣1,1)B.(,1)C.(﹣1,0)D.(﹣1,﹣)考点函数的定义域及其求法.专题函数的性质及应用.分析直接由2x+1在函数f(x)的定义域内列式求得x的取值集合得答案.解答解∵f(x)的定义域为(﹣1,0),由﹣1<2x+1<0,解得﹣1.∴则函数f(2x+1)的定义域为(﹣1,﹣).故选D.点评本题考查了函数的定义域及其求法,关键是掌握该类问题的解决方法,是基础题. 4.a=log2,b=log,c=()
0.3( ) A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c考点对数值大小的比较.专题函数的性质及应用.分析利用指数与对数函数的单调性即可得出.解答解∵a=log2<0,b=log=1,0<c=()
0.3<1,∴a<c<b.故选B.点评本题考查了指数与对数函数的单调性,属于基础题. 5.若α、β都是锐角,且sinα=,cos(α+β)=﹣,则sinβ的值是( ) A.B.C.D.考点两角和与差的正弦函数.专题三角函数的求值.分析利用同角三角函数间的关系式的应用,可求得sin(α+β)与cosα的值,再利用两角差的正弦函数,可求得sinβ=sin[(α+β)﹣α]的值.解答解∵cos(α+β)=﹣,α、β都是锐角,∴sin(α+β)==;又sinα=,∴cosα==,∴sinβ=sin[(α+β)﹣α]=sin(α+β)cosα﹣cos(α+β)sinα=×﹣(﹣)×=.故选A.点评本题考查两角和与差的正弦函数,考查同角三角函数间的关系式的应用,属于中档题. 6.把函数y=sinx(x∈R)的图象上所有点向左平行移动个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是( ) A.,x∈RB.,x∈R C.,x∈RD.,x∈R考点函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.专题常规题型.分析根据左加右减的性质先左右平移,再进行ω伸缩变换即可得到答案.解答解由y=sinx的图象向左平行移动个单位得到y=sin(x+),再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到y=sin(2x+)故选C点评本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,平移变换时注意都是对单个的x或y来运作的. 7.设a=(,1+sinα),b=(1﹣,),且a∥b,则锐角α为( ) A.30°B.45°C.60°D.75°考点平面向量共线(平行)的坐标表示.专题平面向量及应用.分析根据平面向量共线的坐标条件列出方程,求出sinα的值,即可求出锐角α.解答解因为=(,1+sinα),=(1﹣,),且∥,所以×﹣(1+sinα)(1﹣)=0,解得sinα=,又α是锐角,则α=45°,故选B.点评本题考查平面向量共线的坐标条件,以及特殊角的三角函数值. 8.设f(x)=,则f(xx)=( ) A.B.﹣C.﹣D.考点函数的值.专题计算题;函数的性质及应用.分析由题意化简f(xx)=f(xx﹣4),从而代入求函数的值.解答解f(xx)=f(xx﹣4)=f
(2011)=sin(•2011)=sin=;故选D.点评本题考查了分段函数的函数值的求法,属于基础题. 9.函数y=lncosx()的图象是( ) A.B.C.D.考点函数的图象与图象变化.专题数形结合.分析利用函数的奇偶性可排除一些选项,利用函数的有界性可排除一些个选项.从而得以解决.解答解∵cos(﹣x)=cosx,∴是偶函数,可排除B、D,由cosx≤1⇒lncosx≤0排除C,故选A.点评本小题主要考查复合函数的图象识别.属于基础题. 10.定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x2﹣x,则当x∈[﹣1,0]时,f(x)的最小值为( ) A.﹣B.﹣C.0D.考点二次函数的性质.专题函数的性质及应用.分析设x∈[﹣1,0],则x+1∈[0,1],故由已知条件求得f(x)==,再利用二次函数的性质求得函数f(x)的最小值.解答解设x∈[﹣1,0],则x+1∈[0,1],故由已知条件可得f(x+1)=(x+1)2﹣(x+1)=x2+x=2f(x),∴f(x)==,故当x=﹣时,函数f(x)取得最小值为﹣,故选A.点评本题主要考查求函数的解析式,二次函数的性质应用,属于基础题.
二、填空题(每小题5分,共25分)11.已知α为锐角,sinα=,则tan(α+)= ﹣7 .考点两角和与差的正切函数.专题计算题;三角函数的求值.分析利用同角三角函数关系,求出tanα,再利用和角的正切公式,可求tan(α+).解答解∵α为锐角,sinα=,∴cosα=,∴tanα=,∴tan(α+)==﹣7.故答案为﹣7.点评本题考查同角三角函数关系、和角的正切公式,考查学生的计算能力,正正确运用公式是关键. 12.若函数y=x2+2ax+1在(﹣∞,5]上是减函数,则实数a的取值范围是 (﹣∞,﹣5] .考点二次函数的性质.专题函数的性质及应用.分析求函数y=x2+2ax+1的对称轴,根据二次函数的单调性即可求出a的取值范围.解答解原函数的对称轴为x=﹣a;∵该函数在(﹣∞,5]上是减函数;∴﹣a≥5,a≤﹣5;∴实数a的取值范围是(﹣∞,﹣5].故答案为(﹣∞,﹣5].点评考查二次函数的对称轴,以及二次函数的单调性. 13.若函数f(x)是幂函数,且满足f
(2)=4,则f()的值为 .考点幂函数的概念、解析式、定义域、值域.专题函数的性质及应用.分析设f(x)=xα,(α为常数).由4=2α,可得α=2即可.解答解设f(x)=xα,(α为常数).∵4=2α,∴α=2.∴f(x)=x2.∴=.故答案为.点评本题考查了幂函数的解析式,属于基础题. 14.如图,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,AP=3,点Q是△BCD内(包括边界)的动点,则•的取值范围是 [9,18] .考点平面向量数量积的运算.专题平面向量及应用.分析设与的夹角为θ,则•==,为向量在方向上的投影.据此即可得出.解答解设与的夹角为θ,则•==,为向量在方向上的投影.因此当点Q取点P时,•取得最小值==9.当点Q取点C时,•取得最大值==2×9=18.故答案为[9,18].点评本题考查了向量的投影的定义及其应用,考查了推理能力,属于中档题. 15.函数f(x)的定义域为A,若x1,x2∈A且f(x1)=f(x2)时,总有x1=x2,则称f(x)为单函数.例如,函数f(x)=2x+1(x∈R)是单函数,下列说
①函数f(x)=x2(x∈R)是单函数;
②函数y=tanx,x∈(﹣,)是单函数;
③若函数f(x)是单函数,x1,x2∈A且x1≠x2,则f(x1)≠f(x2);
④若f A→B是单函数,则对于任意b∈B,它至多有一个原象;
⑤若函数f(x)是某区间上的单函数,则函数f(x)在该区间上具有单调性.其中正确的是
②③④ .(写出所有正确的序号)考点命题的真假判断与应用.专题简易逻辑.分析
①由于(±1)2=1,可得函数f(x)=x2(x∈R)不是单函数;
②利用单函数的定义即可判断出;
③利用反证法即可判断出;
④若f A→B是单函数,则对于任意b∈B,它至多有一个原象,如若不然,b有两个原象,则函数f(x)不是单函数;
⑤不正确,举反例f(x)=,f(x)是区间[1,2)上的单函数,但不是单调函数.解答解对于
①由于(±1)2=1,因此函数f(x)=x2(x∈R)不是单函数,不正确;对于
②函数y=tanx,在x∈(﹣,)是单调函数,可得函数y=tanx是单函数,正确;对于
③若函数f(x)是单函数,x1,x2∈A且x1≠x2,则f(x1)≠f(x2),利用反证法即可得出正确;对于
④若f A→B是单函数,则对于任意b∈B,它至多有一个原象,如若不然,b有两个原象,则函数f(x)不是单函数,因此正确;对于
⑤若函数f(x)是某区间上的单函数,则函数f(x)在该区间上具有单调性,不正确,举反例f(x)=,f(x)是区间[1,2)上的单函数,但不是单调函数.其中正确的是
②③④.点评本题考查了新定义“单函数”的定义及其性质、单函数与单调函数之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
三、解答题(共75分,解答应写出说明文字、演算式、证明步骤)16.已知A={x|<3x<9},B={x|log2x<2}.
(1)求A∩B和A∪B;
(2)定义A﹣B={x|x∈A且x∉B},直接写出A﹣B和B﹣A.考点交、并、补集的混合运算;并集及其运算;交集及其运算.专题集合.分析
(1)根据条件求出集合A,B的等价条件,即可求A∩B和A∪B;
(2)根据定义定义A﹣B={x|x∈A且x∉B},即可写出A﹣B和B﹣A.解答解
(1)∵A={x|<3x<9}={x|﹣1<x<2},B={x|0<x<4}.∴A∩B={x|0<x<2},A∪B={x|﹣1<x<4};
(2)∵A﹣B={x|x∈A且x∉B},∴A﹣B={x|﹣1<x≤0},B﹣A={x|2≤x<4}.点评本题主要考查集合的基本运算,根据条件求出集合A,B的等价条件是解决本题的关键. 17.设与是两个单位向量,其夹角为60°,且=2+,=﹣3+2.
(1)求•;
(2)求||和||;
(3)求与的夹角.考点平面向量数量积的运算.专题计算题;平面向量及应用.分析
(1)运用向量的数量积的定义和向量的平方即为模的平方,计算即可得到;
(2)运用向量的平方即为模的平方,计算即可得到;
(3)运用向量的夹角公式和夹角的范围,计算即可得到所求值.解答解
(1)由与是两个单位向量,其夹角为60°,则=1×=,=(2+)•(﹣3+2)=﹣6+2+•=﹣6+2+=﹣;
(2)||====,||====;
(3)cos<,>===﹣,由于0≤<,>≤π,则有与的夹角.点评本题考查平面向量的数量积的定义和性质,考查向量的平方即为模的平方,考查向量的夹角公式的运用,考查运算能力,属于基础题. 18.某商场经营一批进价是30元/件的商品,在市场试销中发现,此商品销售价x元与日销售量y件之间有如下关系x4550y2712(Ⅰ)确定x与y的一个一次函数关系式y=f(x);(Ⅱ)若日销售利润为P元,根据(I)中关系写出P关于x的函数关系,并指出当销售单价为多少元时,才能获得最大的日销售利润?考点根据实际问题选择函数类型.专题函数的性质及应用.分析(Ⅰ)设出y=f(x)的表达式,利用已知条件列出方程组求解即可得到函数的解析式;(Ⅱ)若日销售利润为P元,根据(I)中关系直接写出P关于x的函数关系,然后利用二次函数闭区间的最值即可求解最大的日销售利润.解答解(Ⅰ)因为f(x)为一次函数,设y=ax+b,解方程组…(2分)得a=﹣3,b=162,…(4分)故y=162﹣3x为所求的函数关系式,又∵y≥0,∴0≤x≤54.…(6分)(Ⅱ)依题意得P=(x﹣30)•y=(x﹣30)•(162﹣3x)…(8分)=﹣3(x﹣42)2+432.…(10分)当x=42时,P最大=432,即销售单价为42元/件时,获得最大日销售利润.…(12分)点评本题考查函数的模型的选择与应用,二次函数闭区间上的最值的求法,考查分析问题解决问题的能力. 19.已知函数f(x)=loga(x+3)﹣loga(3﹣x),a>0且a≠1.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断并证明函数f(x)的奇偶性;
(3)若a>1,指出函数的单调性,并求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值.考点对数函数的图像与性质;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.专题计算题;函数的性质及应用.分析
(1)由题意可得,从而求定义域;
(2)可判断函数f(x)是奇函数,再证明如下;
(3)当a>1时,由复合函数的单调性及四则运算可得f(x)为增函数,从而求最值.解答解
(1)由题意知,;解得,﹣3<x<3;故函数f(x)的定义域为(﹣3,3);
(2)函数f(x)是奇函数,证明如下,函数f(x)的定义域(﹣3,3)关于原点对称;则f(﹣x)=loga(﹣x+3)﹣loga(3+x)=﹣f(x),故函数f(x)是奇函数.
(3)当a>1时,由复合函数的单调性及四则运算可得,f(x)=loga(x+3)﹣loga(3﹣x)为增函数,则函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,故fmax(x)=f
(1)=loga2.点评本题考查了函数的定义域,奇偶性,单调性,最值的判断与应用,属于基础题. 20.设函数f(x)=2cos2x+2sinx•cosx+m(m,x∈R).
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)当x∈[0,]时,求实数m的值,使函数f(x)的值域恰为,并求此时f(x)在R上的对称中心.考点两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;二倍角的余弦;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的对称性.专题计算题;三角函数的图像与性质.分析
(1)利用二倍角的正弦与余弦及辅助角公式可求得f(x)=2sin(2x+)+m+1,从而可求其最小正周期;
(2)利用正弦函数的单调性可求得0≤x≤时,m≤f(x)≤m+3,利用使函数f(x)的值域为[,]可求得m的值,从而可求f(x)在R上的对称中心.解答解
(1)∵f(x)=2cos2x+2sinxcosx+m=1+cos2x+sin2x+m=2sin(2x+)+m+1,∴函数f(x)的最小正周期T=π.
(2)∵0≤x≤,∴≤2x+≤,∴﹣≤sin(2x+)≤1,∴m≤f(x)≤m+3,又≤f(x)≤,∴m=,令2x+=kπ(k∈Z),解得x=﹣(k∈Z),∴函数f(x)在R上的对称中心为(﹣,)(k∈Z).点评本题考查两角和与差的正弦函数,着重考查二倍角的正弦与余弦及辅助角公式,考查正弦函数的单调性、周期性与对称性,属于中档题. 21.已知函数f(x)满足对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)•f(y)﹣f(x)﹣f(y)+2成立,且x>0时,f(x)>2,
(1)求f
(0)的值,并证明当x<0时,1<f(x)<2.
(2)判断f(x)的单调性并加以证明.
(3)若函数g(x)=|f(x)﹣k|在(﹣∞,0)上递减,求实数k的取值范围.考点抽象函数及其应用.专题综合题.分析
(1)f(x+y)=f(x)•f(y)﹣f(x)﹣f(y)+2中,令x=y=0,再验证即可求出f
(0)=2.设x<0,则﹣x>0,利用结合x>0时,f(x)>2,再证明.
(2)设x1<x2,将f(x2)转化成f(x2﹣x1+x1)=f(x2﹣x1)f(x1)﹣f(x2﹣x1)﹣f(x1)+2=f(x2﹣x1)[f(x1)﹣1]﹣f(x1)+2,得出了f(x2)与f(x1)关系表达式,且有f(x2﹣x1)>2,可以证明其单调性.
(3)结合
(2)分析出x∈(﹣∞,0)时,f(x)﹣k<0,k大于f(x)的最大值即可.解答解
(1)∵f(x+y)=f(x)•f(y)﹣f(x)﹣f(y)+2令x=y=0,f
(0)=f
(0)•f
(0)﹣f
(0)﹣f
(0)+2∴f2
(0)﹣3f
(0)+2=0,f
(0)=2或f
(0)=1若f
(0)=1则f
(1)=f(1+0)=f
(1)•f
(0)﹣f
(1)﹣f
(0)+2=1,与已知条件x>0时,f(x)>2相矛盾,∴f
(0)=2(1分)设x<0,则﹣x>0,那么f(﹣x)>2又2=f
(0)=f(x﹣x)=f(x)•f(﹣x)﹣f(x)﹣f(﹣x)+2∴∵f(﹣x)>2,∴,从而1<f(x)<2(3分)
(2)函数f(x)在R上是增函数设x1<x2则x2﹣x1>0,∴f(x2﹣x1)>2f(x2)=f(x2﹣x1+x1)=f(x2﹣x1)f(x1)﹣f(x2﹣x1)﹣f(x1)+2=f(x2﹣x1)[f(x1)﹣1]﹣f(x1)+2∵由
(1)可知对x∈R,f(x)>1,∴f(x1)﹣1>0,又f(x2﹣x1)>2∴f(x2﹣x1)•[f(x1)﹣1]>2f(x1)﹣2f(x2﹣x1)[f(x1)﹣1]﹣f(x1)+2>f(x1)即f(x2)>f(x1)∴函数f(x)在R上是增函数(3分)
(3)∵由
(2)函数f(x)在R上是增函数∴函数y=f(x)﹣k在R上也是增函数若函数g(x)=|f(x)﹣k|在(﹣∞,0)上递减则x∈(﹣∞,0)时,g(x)=|f(x)﹣k|=k﹣f(x)即x∈(﹣∞,0)时,f(x)﹣k<0,∵x∈(﹣∞,0)时,f(x)<f
(0)=2,∴k≥2(3分)点评本题是抽象函数类型问题.解决的办法是紧紧抓住题目中给出的抽象函数的性质,对字母灵活准确地赋值,一般可求出某一函数值,f(x)与f(﹣x)的关系式,在探讨单调性时,可将区间上的实数x1,x2,写成x2=(x2﹣x1)+x1或x2=(x2÷x1)×x1建立f(x2)与f(x1)关系式,结合前述性质证明. 。