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2019-2020年高一(下)期末数学复习试卷含解析
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知A={1,2},B={2,3,4}则A∪B= . 2.函数f(x)=sinxcosx的最小正周期是 . 3.计算的值为 . 4.已知向量=(2,1),=(1,x),且(+)⊥,则实数x的值为 . 5.已知直线l x+my+6=0,若点A(﹣5,1)到直线l的距离为,则实数m的值为 . 6.若A(1,2),B(﹣3,4),C(2,t)三点共线,则实数t的值为 . 7.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4cm的半圆,则此圆锥的体积是 . 8.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,已知C=120°,c=2,acosB=bcosA,则△ABC的面积为 . 9.对于不重合直线a,b,不重合平面α,β,γ,下列四个条件中,能推出α∥β的有 .(填写所有正确的序号).
①γ⊥α,γ⊥β;
②α∥γ,β∥γ;
③a∥α,a∥β;
④a∥b,a⊥α,b⊥β. 10.(文科)已知函数f(x)=a+是奇函数,则实数a的值为 . 11.在平面直角坐标系xOy中,线段AB长为4,且其两个端点A,B分别在x轴,y轴上滑动,则△AOB面积的最大值为 . 12.已知公差不为零的等差数列{an}的前8项的和为8,且a12+a72=a32+a92,则{an}的通项公式为an= . 13.某地一天6时至20时的温度y(°C)随时间x(小时)的变化近似满足函数y=10sin(x+)+20,x∈[6,20].在上述时间范围内,温度不低于20°C的时间约有 小时. 14.已知函数,将集合A={x|f(x)=t,0<t<1}(t为常数)中的元素由小到大排列,则前六个元素的和为 .
二、解答题本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点M(3,5),AB边所在直线的方程为x﹣3y+8=0,点N(0,6)在AD边所在直线上.
(1)求AD边所在直线的方程;
(2)求对角线AC所在直线的方程. 16.在△ABC中,已知cosA=,tan(B﹣A)=,AC=5.求
(1)角B;
(2)AB边的长. 17.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知点D为棱BC中点.
(1)如果AB=AC,求证平面ADC1⊥平面BB1C1C;
(2)求证A1B∥平面AC1D. 18.设等差数列{an}的公差为d(d≠0),已知它的前10项和为110,且a1,a2,a4成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{}的前n项和Tn. 19.如图,某小区进行绿化改造.计划围出一块三角形绿地ABC.其中一边利用现成的围墙BC.长度为1(百米).另外两边AB,AC使用某种新型材料.∠BAC=120°设AB=x(百米),AC=y(百米)
(1)求x,y满足的关系式(指出x的取值范围)
(2)若无论如何设计另两边的长,都能确保围成三角形绿地,则至少需要准备长度为多少(百米)的此种新型材料. 20.已知函数f(x)=ax2﹣|x﹣a|
(1)当a=3时,求不等式f(x)>7的解集
(2)当a>0时,求函数f(x)在区间[3,+∞)上的值域. xx学年江苏省南京市高一(下)期末数学复习试卷参考答案与试题解析
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知A={1,2},B={2,3,4}则A∪B= {1,2,3,4} .考点并集及其运算.分析直接根据并集的定义求出结果即可.解答解∵A={1,2},B={2,3,4}A∪B就是把A和B中所有的元素放在一起,然后把重复的去掉.∴A∪B={1,2,3,4}故答案为{1,2,3,4}点评此题考查了并集的定义,属于基础题. 2.函数f(x)=sinxcosx的最小正周期是 π .考点二倍角的正弦;三角函数的周期性及其求法.专题计算题;三角函数的图像与性质.分析根据二倍角的正弦公式,化简可得f(x)=sin2x,再由三角函数的周期公式即可算出函数f(x)的最小正周期.解答解∵sin2x=2sinxcosx∴f(x)=sinxcosx=sin2x,因此,函数f(x)的最小正周期T==π故答案为π点评本题给出三角函数式,求函数的周期,着重考查了二倍角的三角函数公式、三角函数的图象与性质和三角函数周期的求法等知识,属于基础题. 3.计算的值为 ﹣ .考点运用诱导公式化简求值.专题三角函数的求值.分析所求式子中的角变形后,利用诱导公式化简,再利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果.解答解cos=cos(π+)=﹣cos=﹣.故答案为﹣点评此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键. 4.已知向量=(2,1),=(1,x),且(+)⊥,则实数x的值为 ﹣7 .考点平面向量数量积的运算.专题平面向量及应用.分析由向量的坐标加法运算求得+,然后由向量垂直的坐标表示列式求得x的值.解答解∵=(2,1),=(1,x),∴+=(3,1+x),由(+)⊥,得2×3+1×(1+x)=0.解得x=﹣7.故答案为﹣7.点评本题考查平面向量的数量积运算,考查向量垂直的坐标表示,是基础题. 5.已知直线l x+my+6=0,若点A(﹣5,1)到直线l的距离为,则实数m的值为 1 .考点点到直线的距离公式.专题直线与圆.分析根据点到直线的距离公式,代入计算即可.解答解根据点到直线的距离公式,d==,解得m=1,故答案为1.点评本题考查了点到直线的距离公式,属于基础题. 6.若A(1,2),B(﹣3,4),C(2,t)三点共线,则实数t的值为 .考点直线的斜率.专题平面向量及应用;直线与圆.分析方法一利用向量坐标的求法求出两个向量的坐标;利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程,求出t;方法二利用斜率公式,三点共线,则斜率相等,即可求出t.解答解方法一(向量法)∵A(1,2),B(﹣3,4),C(2,t).∴=(﹣4,2),=(1,t﹣2),∵A(1,2),B(﹣3,4),C(2,t)三点共线,∴﹣4(t﹣2))=2,∴t=,方法二(斜率法),∵A(1,2),B(﹣3,4),C(2,t)三点共线,∴kAB=kAC,∴=,解得t=,故答案为.点评本题考查三点共线的应用,斜率法和向量坐标的求法,属于基础题. 7.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4cm的半圆,则此圆锥的体积是 π .考点旋转体(圆柱、圆锥、圆台).专题空间位置关系与距离.分析利用圆锥的侧面展开图,求出圆锥的底面周长,然后求出底面半径,求出圆锥的高,即可求出圆锥的体积.解答解圆锥的侧面展开恰为一个半径为4的半圆,所以圆锥的底面周长为4π,底面半径为2,圆锥的高为2;圆锥的体积为π•22×2=π.故答案为π.点评本题是基础题,考查圆锥的侧面展开图,利用扇形求出底面周长,然后求出体积,考查计算能力,常规题型. 8.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,已知C=120°,c=2,acosB=bcosA,则△ABC的面积为 .考点正弦定理.专题解三角形.分析利用正弦定理把题设中关于边的等式转换成角的正弦,进而利用两角差公式化简整理求得A=B,进而求得a=b.根据余弦定理求得a,b,进而利用三角形面积公式即可得解.解答解∵acosB=bcosA,且C=120°,c=2,∴由题意及正弦定理可得sinAcosB=sinBcosA,即sin(A﹣B)=0,故A=B,由正弦定理可得a=b,∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC可得12=a2+a2﹣2×a×a×cos120°,解得a=b=2.∴△ABC的面积S=absinC==.故答案为.点评本题主要考查了余弦定理的应用,正弦定理的应用,两角和公式的化简求值,属于基本知识的考查. 9.对于不重合直线a,b,不重合平面α,β,γ,下列四个条件中,能推出α∥β的有
②④ .(填写所有正确的序号).
①γ⊥α,γ⊥β;
②α∥γ,β∥γ;
③a∥α,a∥β;
④a∥b,a⊥α,b⊥β.考点平面与平面平行的判定.专题空间位置关系与距离.分析
①γ⊥α,γ⊥β时,α与β不一定平行;
②α∥γ,β∥γ时,α∥β;
③a∥α,a∥β时,α∥β不一定成立;
④a∥b,且a⊥α,b⊥β,能得出α∥β.解答解对于
①,当γ⊥α,γ⊥β时,α与β相交,或α与β平行;对于
②,当α∥γ,β∥γ时,根据平行平面的公理得α∥β;对于
③,当a∥α,a∥β时,α与β相交,或α与β平行;对于
④,当a∥b时,若a⊥α,则b⊥α,又b⊥β,∴α∥β;综上,能推出α∥β的是
②④.故答案为
②④.点评本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题,也考查了符号语言的应用问题,是基础题目. 10.(文科)已知函数f(x)=a+是奇函数,则实数a的值为 .考点函数奇偶性的性质.专题函数的性质及应用.分析由题意可得f(﹣x)=﹣f(x),即a+=﹣a﹣,即2a=﹣=1,由此求得a的值.解答解函数f(x)=a+是奇函数,可得f(﹣x)=﹣f(x),即a+=﹣a﹣,即2a=﹣=1,解得a=,故答案为.点评本题主要考查奇函数的定义和性质,属于基础题. 11.在平面直角坐标系xOy中,线段AB长为4,且其两个端点A,B分别在x轴,y轴上滑动,则△AOB面积的最大值为 4 .考点正弦定理.专题解三角形;不等式的解法及应用.分析设A(x,0),B(0,y),由两点间的距离公式可得x2+y2=16,由基本不等式可得xy≤,(当且仅当x=y=2时),由三角形面积公式即可得解.解答解设A(x,0),B(0,y),由两点间的距离公式可得x2+y2=16,故△AOB面积S=xy≤==4.(当且仅当x=y=2时)故答案为4.点评本题主要考查了两点间的距离公式,基本不等式的应用,属于基础题. 12.已知公差不为零的等差数列{an}的前8项的和为8,且a12+a72=a32+a92,则{an}的通项公式为an= ﹣2n+10 .考点等差数列的前n项和.专题等差数列与等比数列.分析根据等差数列的通项公式与前n项和公式,求出公差d与首项a1即可.解答解等差数列{an}中,s8=8a1+28d=8,即2a1+7d=2
①;又a12+a72=a32+a92,∴+=+,化简,得a1d+4d2=0,又d≠0,∴a1=﹣4d;代入
①得,﹣8d+7d=2,解得d=﹣2;∴a1=﹣4×(﹣2)=8,∴{an}的通项公式为an=8+(n﹣1)•(﹣2)=﹣2n+10.故答案为﹣2n+10.点评本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式的应用问题,是基础题目. 13.某地一天6时至20时的温度y(°C)随时间x(小时)的变化近似满足函数y=10sin(x+)+20,x∈[6,20].在上述时间范围内,温度不低于20°C的时间约有 8 小时.考点正弦函数的图象.专题三角函数的图像与性质.分析利用温度不低于20,则10sin()+20≥20,结合x的范围,即可得到此人在6时至20时中,可以进行室外活动的时间.解答解由题意,10sin()+20≥20∴sin()≥0∴2kπ≤≤2kπ+π∴16k﹣6≤x≤16k+2,∵x∈[6,20],∴10≤x≤18∴此人在6时至20时中,可以进行室外活动的时间约为18﹣10=8小时故答案为8.点评本题考查三角函数模型的运用,考查解不等式,考查学生的计算能力,属于中档题. 14.已知函数,将集合A={x|f(x)=t,0<t<1}(t为常数)中的元素由小到大排列,则前六个元素的和为 52 .考点函数的零点与方程根的关系.专题函数的性质及应用.分析通过分类讨论
①当1≤x≤2时,f(x)=x﹣1,由x﹣1=t,解得x=1+t;
②当2<x≤3时,f(x)=3﹣x,由3﹣x=t,解得x=3﹣t;
③当3<x≤6时,1<,则f(x)=3()=x﹣3,由x﹣3=t,解得x=3+t;
④当6<x≤9时,,f(x)==9﹣x,由9﹣x=t,解得x=9﹣t;
⑤当9<x≤18时,,则f(x)=3=x﹣9,由x﹣9=t,解得x=9+t;
⑥当18<x≤27时,,则f(x)==27﹣x,由27﹣x=t,解得x=27﹣t.即可得到答案.解答解
①当1≤x≤2时,f(x)=x﹣1,由x﹣1=t,解得x=1+t;
②当2<x≤3时,f(x)=3﹣x,由3﹣x=t,解得x=3﹣t;
③当3<x≤6时,1<,则f(x)=3()=x﹣3,由x﹣3=t,解得x=3+t;
④当6<x≤9时,,f(x)==9﹣x,由9﹣x=t,解得x=9﹣t;
⑤当9<x≤18时,,则f(x)=3=x﹣9,由x﹣9=t,解得x=9+t;
⑥当18<x≤27时,,则f(x)==27﹣x,由27﹣x=t,解得x=27﹣t.因此将集合A={x|f(x)=t,0<t<1}(t为常数)中的元素由小到大排列,则前六个元素的和=(1+t)+(3﹣t)+(3+t)+(9﹣t)+(9+t)+(27﹣t)=52.故答案为52.点评熟练掌握含绝对值符号的函数如何去掉绝对值符号、分类讨论的思想方法、函数的交点等是解题的关键.
二、解答题本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点M(3,5),AB边所在直线的方程为x﹣3y+8=0,点N(0,6)在AD边所在直线上.
(1)求AD边所在直线的方程;
(2)求对角线AC所在直线的方程.考点待定系数法求直线方程.专题直线与圆.分析
(1)根据直线垂直的关系求出直线斜率即可求AD边所在直线的方程;
(2)求出交点M的坐标即可求对角线AC所在直线的方程.解答解
(1)解法一因为AB边所在直线的方程为x﹣3y+8=0,所以kAB=.…(2分)又因为矩形ABCD中,AD⊥AB,所以kAD=﹣=﹣3.…(4分)所以由点斜式可得AD边所在直线的方程为y﹣6=﹣3(x﹣0),即3x+y﹣6=0.…(6分)解法二因为矩形ABCD中,AD⊥AB,所以设AD边所在直线的方程为3x+y+m=0.…(4分)又因为直线AD过点N(0,6),所以将点N(0,6)代入上式得3×0+6+m=0,解得m=﹣6.所以AD边所在直线的方程为3x+y﹣6=0.…(6分)
(2)由,解得即A(1,3),…(10分)所以对角线AC所在直线的方程=,即x﹣y+2=0.…(14分)点评本题主要考查直线方程的求解,要求熟练掌握求直线方程的各种方法. 16.在△ABC中,已知cosA=,tan(B﹣A)=,AC=5.求
(1)角B;
(2)AB边的长.考点正弦定理;余弦定理.专题计算题;解三角形.分析
(1)解法一由cosA=,可求tanA,利用两角和的正切函数公式可求tanB=tan[(B﹣A)+A]的值,结合范围B∈(0,π),即可求B.解法二由cosA=,可求tanA,利用tan(B﹣A)==,解得tanB,结合范围B∈(0,π),即可求B.
(2)解法一可求sinA=,sinB=cosB=,从而利用两角和的正弦函数公式可求sinC=sin(A+B)的值,由正弦定理=,可求AB.解法二作CD⊥AB,垂足为D,由AC,cosA,可求CD,AD,又B=,即可记得AB的值.解答解
(1)解法一在△ABC中,因为cosA=,所以tanA==,…(2分)所以tanB=tan[(B﹣A)+A]===1.…(4分)因为B∈(0,π),所以B=.…(6分)解法二在△ABC中,因为cosA=,所以tanA=,…(2分)所以tan(B﹣A)===,解得tanB=1.…(4分)因为B∈(0,π),所以B=.…(6分)
(2)解法一在△ABC中,由cosA=,B=,可得sinA=,sinB=cosB=,…(9分)从而sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=.…(11分)由正弦定理=,代入得=,从而AB=7.…(14分)解法二作CD⊥AB,垂足为D,由AC=5,cosA=,所以CD=3,AD=4,…(9分)又B=,所以BD=CD=3,…(12分)所以AB=3+4=7.…(14分)点评本题考查了正弦定理,两角和的正切函数公式,正弦函数公式,同角三角函数关系式,勾股定理的应用,属于基本知识的考查. 17.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知点D为棱BC中点.
(1)如果AB=AC,求证平面ADC1⊥平面BB1C1C;
(2)求证A1B∥平面AC1D.考点直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定.专题证明题;空间位置关系与距离.分析
(1)由CC1⊥平面ABC.可证CC1⊥AD,由AB=AC,D为BC中点,可证AD⊥BC,即可证明AD⊥平面BB1C1C从而可证平面AC1D⊥平面BB1C1C.
(2)连结A1C,设A1C∩AC1=E,连结DE.可得E为A1C中点,由D为BC中点,可证DE∥A1B,即可证明A1B∥平面AC1D.解答证明
(1)在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CC1⊥平面ABC.因为AD⊂平面ABC,所以CC1⊥AD.…(2分)因为AB=AC,D为BC中点,所以AD⊥BC.…(4分)因为BC⊂平面BB1C1C,CC1⊂平面BB1C1C,BC∩CC1=C,所以AD⊥平面BB1C1C.…(6分)因为AD⊂平面AC1D,所以平面AC1D⊥平面BB1C1C.…(8分)
(2)连结A1C,设A1C∩AC1=E,连结DE.因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,四边形AA1C1C为平行四边形,所以E为A1C中点.…(10分)因为D为BC中点,所以DE∥A1B.…(12分)因为DE⊂平面AC1D,A1B⊄平面AC1D,所以A1B∥平面AC1D.…(14分)点评本题主要考查了直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定,考查了空间想象能力和推理论证能力,属于中档题. 18.设等差数列{an}的公差为d(d≠0),已知它的前10项和为110,且a1,a2,a4成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{}的前n项和Tn.考点数列的求和;等差数列的通项公式.专题等差数列与等比数列.分析
(1)通过2a1+9d=22与a22=a1a4,进而计算即得结论;
(2)通过
(1)、裂项可知=(﹣),进而并项相加即得结论.解答解
(1)设{an}的前n项和为Sn,∵S10=110,∴2a1+9d=22.…
①∵a1,a2,a4成等比数列,∴a22=a1a4.…
②由
①、
②,解得a1=d=2,∴an=2n;
(2)由
(1)可知==(﹣),∴Tn=[(1﹣)+(﹣)+…+(﹣)]=(1﹣)=.点评本题考查数列的通项及前n项和,注意解题方法的积累,属于中档题. 19.如图,某小区进行绿化改造.计划围出一块三角形绿地ABC.其中一边利用现成的围墙BC.长度为1(百米).另外两边AB,AC使用某种新型材料.∠BAC=120°设AB=x(百米),AC=y(百米)
(1)求x,y满足的关系式(指出x的取值范围)
(2)若无论如何设计另两边的长,都能确保围成三角形绿地,则至少需要准备长度为多少(百米)的此种新型材料.考点解三角形的实际应用.专题解三角形.分析
(1)利用余弦定理,可求x,y满足的关系式,及x的取值范围;
(2)利用
(1)的结论及基本不等式,即可求得结论.解答解
(1)由余弦定理可得,1=x2+y2﹣2xycos120°,∴x2+y2+xy=1,其中0<x<1;
(2)∵(x+y)2=x2+y2+2xy=1+xy≤1+∴(x+y)2≤∴x+y≤,当且仅当x=y=时,取等号∴至少需要准备长度为百米的此种新型材料.点评本题考查余弦定理的运用,考查基本不等式,考查学生的计算能力,属于中档题. 20.已知函数f(x)=ax2﹣|x﹣a|
(1)当a=3时,求不等式f(x)>7的解集
(2)当a>0时,求函数f(x)在区间[3,+∞)上的值域.考点绝对值不等式的解法;带绝对值的函数.专题不等式的解法及应用.分析
(1)当a=3时,求不等式即3x2﹣|x﹣3|>7,故有
①,或
②.分别求得解
①和
②的解集,再取并集,即得所求.
(2)根据函数f(x)=ax2﹣|x﹣a|=.分
①a≤3和
②a>3,两种情况,分别根据函数f(x)的单调性求得函数的最小值,综合可得结论.解答解
(1)当a=3时,求不等式f(x)>7,即3x2﹣|x﹣3|>7,∴
①,或
②.解
①求得x≥3,解
②求得x<﹣2,或<x<3.综上,不等式的解集为{x|x<﹣2,或x>}.
(2)∵a>0时,函数f(x)=ax2﹣|x﹣a|=.
①若0<a≤3,则f(x)=ax2﹣x+a,当对称轴x=≤3,即≤a≤3时,函数f(x)在[3,+∞)上是增函数,故最小值为f
(3)=10a﹣3,函数没有最大值.当对称轴x=>3,即0<a<时,函数f(x)在(3,)上是减函数,在(,+∞)上是增函数,故函数的最小值为f()=a﹣,函数没有最大值.
②若a>3,当3≤x<a时,则f(x)=ax2+x﹣a,由于对称轴x=﹣<0,故函数f(x)在[3,a)上是增函数,函数的最小值为f
(3)=8a+3,最大值趋于f(a)=a3.当x≥a时,f(x)=ax2﹣x+a,由于对称轴x=<3,故函数f(x)在[a,+∞)上是增函数,函数的最小值为f(a)=8a+3,函数没有最大值.综上可得,当0<a<时,f(x)的值域为[a﹣,+∞);当≤a≤3时,f(x)的值域为[10a﹣3,+∞);当3<a时,f(x)的值域为[8a+3,+∞).点评本题主要考查带有绝对值的函数,绝对值不等式的解法,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题. 。